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Full text of "Élémens d'algèbre"

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t 




iA 




"'^M'^t:' 



niv'^^' 



E LEMENS 

DALGEBRE- 

Pai:iIf.CLAIRAUT, 

De i Académie Koyak des Sciences » 
des Sociétés Royales de Londres , de 
Berlin , ct^p/al & d Edimbourg , de^ 
^Académie de îlmjlimt de Bologne^ 




A PARIS, 

Rue* Saint Jacques f 

r Les Frères Guerin, à S. Thom» 
rVip» J d'AquijQ. 

^^^ i David l'aîné, à la Plume tfor. 

(^Durand, au Griffon. 

M. DCC. XLVI. 

AVEC Approbation ET FRinusGS du roi. 



X 



A 






qret\ 







PREFACE. 






E me fuis ptopofé de fuî* 
vre dans cet ouvrage la 
même méthode que dans 

mes Elémens de Géométrie î 

J ai taché d'y donner lés règles de T Al- 
gèbre dans un ordre que les Inven* 
teurs euffent pu fuîvre. Nulle vérité 
n'y eft préfentée fous la forme de Théo- 
rèmes ^ toutes fehiblent être décou- 
vertes en s'éxerçaht fuf les Pi'oblêmes 
que le befoîn ou la curîofité ont fait 
entreprendre de réfoudre» 

Des problêmes utiles au commerce 
comme ceux où il eft queftîon de par- 
tager des fommes entre différentes per- 
fonnes à raifon de leurs mîfes ou dô 
quelques conventions faites entr'elles $ 
des règles d'alliage , 6a:. font les pro- 

A 



îj PREFACE. 

blêmes que je fuppofe avoir occupé les 
premiers Algébrîftes* 

Je commence par donner la folution 
d'un des plus fimples de ces Problê- 
mes, telle qu'on la peut trouver fans 
avoir aucune teinture de TAlgébre* 
Il eft aifé de reconnoître dans cette 
folution que (î la mémoire fufEt à re- 
tenir tous les raifonnemens par lef- 
quels il faut paflfer pour y arriver, c'eft 
que la fuite de ces raifonnemens n'eft 
pas bien longue ; & Ton voit en même- 
tems que lorfqu'on s'élève à des Pro- 
blêmes qui en demandent une plus 
grande , il faut chercher à les écrire 
d'une manière fort abrégée , il faut ima- 
giner quelques fîgnes à l'aide delquels 
on puîue exprimer l'état où la difficul- 
té eft réduite à chaque pas qu'on fait 
pour la réfoudre. Cetce manière d'é- 
crire les queftions , eft l'Algèbre que je 
fais pour ainfî dire inventer au Leàeur^ 

Pour aller toujours du plus fîmple au 
plus compofé , je ne propofe d'abord 
que des queftrons numériques , parce 
que ce font celles qui fixent le plus l'ef* 
prit des commençans. Aprè^ en avoir 



PREF4CE. îîj 

réfolu plufîeurs qui ne différent les unes 
des autres que par les nombres donnés 
dans renoncé 5 on s'apperçoît aifément 
qu'il y a toujours une partie de Topé- 
ration qui fe trouve commune dans 
chaque réfolutîon , & qu'il feroît à fou- 
haîter de ne faire qu'une feule fois : 
je fki/îs cette occafîon d'expliquer la 
manière de réfoudre généralement les 
Problêmes, en employant au lieu des 
nombres donnés par les conditions, des 
lettres qui expriment toutes fortes de- 
grandeurs : & je montre enfuite à ti- 
rer des folutions générales les folu-' 
rions parriculieres au moyen de la fub- 
ftîtutîon des nombres à la place des 
lettres. 
Parmi les différens Problêmes où 

{'employé des lettres au lieu de nom- 
>res , il s'en trouve d'affés compliqués 
pour ne pouvoir pas être réfolus fans 
employer les règles d'addition , fouf»- 
traâion , multiplication & divifion : je 
montre alors comment on doit faire 
ces opérations. Je n'ai pas cru devoir 
les enfeignei" plutôt, parce que les com- 
mençans les luivent avec peine & avec 

a îj 



îv PREFACE. 

dégoût lorfqu'on les leur enfeîçne dans 
un tems où ils n'ont aucune idée des 
quantités fur lefquelles ils opèrent. 

. La multiplication eft de toutes ces 
ospérations celle qui arrête ordinaire- 
ment le plus les commençans y & dont 
Texplication embaraflc le plus les maî- 
tres ; ce principe qu'elle renferme , que 
deux quantités négatives donnent pour 
leur produit une quantité pofîtive, eft 
prefque toujours Técueil des uns & dbs 
autres. 

. Pour éviter d'y tomber, je n'établis 
ce principe qu'après avoir fait faire des 
opérarions dans lefquelles on a dû en 
remarquer la néceifité. Je coriimence 
par enfeigner à multiplier une quan- 
tité compofée de plufieurs termes po- 
iîtifs & négatifs par un feul terme que 
ie fuppofe toujours pofitif , parce que 
ton ne s'accoutume pas ordinairement 
à confîdérer une quantité négative 
comme exiftant feule* Cette multipli- 
cation étant expliquée, je paffe à celle 
où le multiplicateur ^ft auifi bien que 
le multiplicande compofé de plufieurs 
termes poiîtifs & négatifs , & je fais 



PREFACE. Y 

voir facaement que cette opération 
n'eft autre chofe que la première répé- 
tée autant de fois qu^il y a de termes 
dans le multiplicateur , & que fuivant 
que les termes de ce multiplicateur font 
pofitifs ou négatifs , les produits qu'ils 
donnent doivent être ou ajoutés ou re- 
tranchés. 

Par ce moyen je famîliarife les com* 

mençans avec la multiplication , fans 

que j'aye feulement befoîn d'énoncer 

ces principes ordinaires , que moins par 

plus donne moins , moins par moins don- 

i ne plus y &c. qui en préfentant à To- 

j reille une contradiction dans les mots ,. 

I laiffent prefque toujours croire qu'il y 

: en a ime dans la chofe. 

On pourroit croire d'abord que je 
n'ai fait qu'éluder la difficulté , & je 
ri'auroîs fait réellement que l'éluder , ft 
I je ne parloîs pas de la multiplication 

i dQs quantités purement négatives , par 

d'autres quantités auflî entièrement né^ 
\ garives , opération dans laquelle on ne 

\ fçauroit éviter la cqntradiâîon appa- 

rente dont je vitns de parlar. Mais je 

traite à fond de cette muitiplicatibii 

••• » 
a uj 



vj T REFACE. 

après en avoir montré la néceffité au 
Leâeur , en le conduifant à un Pro- 
blême où Ton eft obligé de confidérer 
des quantités négatives indépendam- 
ment d'aucunes quantités pofiuves dont 
jclles foîent retranchées. 
. Lorfque je fuis parvenir dans ce 
Problème au point où il s'agit de mul- 
tiplier ou de divifer des quantités né- 
gatives les unes par les autres , je prends 
le parti qu'pnt fans doute pris les pre- 
miers Analyftes qui ont eu de ces opé- 
rations à faire , & qui ont voulu fuivre 
une route entièrement fure , je cher- 
che une autre folution du Problême 
par laquelle je puifle éviter toute ef- 
péce de multiplication ou de divifîon 
de quantités négatives , par ce moyen 
j'arrive au réfultat fans employer d'au- 
tres raifonncmens que ceux fur lef- 
quels on ne peut former aucun doute ; 
& je vois ce que doivent être ces pro- 
duits ou quotients de quantités néga- 
tives que m'avoit donnés la première 
folution. Il n'ejfl: pas difficile enluîte d'en 
tirer ces principes fi fameux que moins 
par moins donne plus y &c# 



TREPACE. vî) 

Je délivre aînfi ces principes de tout 
ce qu'ils ont de choquant ,& le Ledeur 
parvient en mcme-tems à connoître la 
nature des folutions négatives des Pro- 
blêmes , il apprend cette vérité fi uti- 
le^ que lorique dans une foluaon on 
arrive à trouver l'inconnue négative ^ 
elle doit être prife dans un fens oppo* 
fé à celui fuivant lequel on Tavoit em- 
ployée en exprimant les condîrions du 
Problême- 
La première Partie de cet ouvrage 
traite uniquement des équations du 
premier degré , foit à une , foît à plu- 
fieurs inconnues , & de toutes les opé- 
rations que demandent ces équations ^ 
tant pour arriver à leur réfolution , que 
pour la rendre àuffi fimple qu'elle puîflc 
être. Telle eft par exemple la règle 
qu'il faut fuivre pour trouver le plu^ 
grand commun divifeur laquelle naît de 
la nécellîté de réduire une fraâion à fa 
plus fimple expreflîon. Cette règle eft 
expliquée d'une manière nouvelle, & 
Yy ai ajouté plufieurs réflexions qui la 
rendent applicable à des cas où la ma- 
nière ordinaire de la traiter pourroit 

amj 



vîîj PREFACE. 

rebuter par la longueur des calculs , .& 
ne pas toujours donner la quantité 
qu'on cherche. 

Dans la féconde Partie je parle des E- 
quations du fécond degré , un Problême 
où il s'agît d'intérêt d^iyrércts m'amène 
à une de ces Equations ; je l'ai choîfi 
de nature à donner pour fes deux fo-^ 
lutions deux nombres poiîtifs ^ afin de 
mieux faire voir comment deux nom- 
bres difFérens réfolvent te même Pro- 
blême* J'en ai ufé ain(î,depeur que les 
commençans qui ne regardent pas vo-^ 
lontîers les racines négatives comme de 
véritables folutions y ne cruffent que le 
Problême n'avoic réellement qu'une 
folution* 

Afin cependant de les accoutumer 
aux racines négatives , je donne enfui- 
te un Problême dans lequel il y a une 
de ces racines, & telle cependant qu'au- 
cun commençant ne peut s'empêcher - 
de voir qu'elle fatîsfalt auwnt au Pro. 
blême que la pofitive, 

J-a réfolurion des Equations que de- 
wandenc ces Problêmes & ceux de mê-. 
me efpéce qu'on peut fe propcfer;, en* 



TREFACE. h 

gagent les Leâeurs à apprendre plu- 
fleurs opérations eflènrielles de TAlgé- 
bre, telles que les extradions des raci- 
nes quarrées y la réduâion des radicaux, 
leurs additions , fouftraûions , &c. opé-»» 
rations qu'on donne d'ordinaire au 
commencement des Elémens d' Algè- 
bre y mais que mon Plan exîgeoit de 
placer en ce lieu. 

De ces opérations je pafle à un Pro- 
blême dans lequel on doit employer 
plusieurs Equations du fécond degré 
contenant chacune pluHeurs inconnues^ 
& je donne les moyens de réduire tou- 
tes ces Equations à une feule oui ne 
contienne qu'une inconnue. Je fais voir 
^n même-tems que cette méthode n'cft 

f>as feulement propre aux Equations où 
es inconnues ne montent -qu'au iSecond 
degré , mais qu'elle s'étend à tous les 
dégrés. 

, La troifiéme Partie a pour objet les 
Equations de tous les degrés prifes en 
général j jje traite du nombre de leurs 
racines , des propriétés que les coèffi- 
ciens du fecond , du troifiéme, &c. ter- 
me got d'être oukibmme des racines^ 



X T REFACE. 

OU celle des produits de ces racines , &c# 
Je tîre de ces propriétés la fameufe rè- 
gle de Defcartes , pour trouver toutes 
les racines commçnfurables qui font 
dans une Equation j & comme cette 
méthode engage dans des calculs exceC- 
fifs à caufe du grand nombre de divi- 
fions qu'il faut tenter , je donne la mé- 
thode de Mr Newton , qui s'étend non- 
feulement aux racines commenfurables 
ou dîvifeurs d'une dimenfion , mais aux 
divifeurs de tant de dimenfions que l'on 
veut. Je ne me contente pas de donner 
la démonftratîon de cette méthode que 
Mr Newton- avoît fupprimée y mais je 
fais voir par quelle route il a pu la dé- 
couvrir. C'eft un avantage que je ne 
croîs pas qu'on puiflfe trouver dans la 
démonftration que Mr s'Gravefande en 
a donnée (dans fon Sfecimen commenta^ 
rii in arithmeticam univerfatem, inféré à 
la fin de fes Elémens d'Algèbre ) & 

3ui eft la feule que je fâche avoir été 
onhée malgré le grand nombre de 
traités d'Algèbre qui ont paru depuis 
Mr Newton. J'ai appris cependant que 
k R. P.. Jacquier^connu pour avoir com- 



PREFACE. x| 

mente les recherches de Mr Nevton 
les plus élevées avoît pris la peine de 
traiter celle-ci , mais ce qu'il a fait fur 
cette matière n'eft pas venu à ma con- 
noiflànce. 

Au refte dans cette Partie & dans cel- 
les qui fuivent , je ne m'arrête pas, com- 
me dans les deux précédentes , à mon- 
trer les Problèmes qui pourroient avoir 
conduit aux Equations que j'examine, 
parce que je ne crois plus avoir befoin 
de ce motif pour exciter la curiofité 
des Ledeurs. Us ont dû fuffifartiment 
voir parles premiers Problêmes, de quel- 
le importance il étoit de fçavoir réfou- 
dre toutes fortes d'Equations. 

Je traite dans la quatrième Partie 
des Equations de tous les dégrés lors- 
qu'elles n'ont que deux termes , ou lorC- 
qu'en ayant trois , elles fe réduîfent à 
la méthode des Equations du fécond 
degré par une fimple transformation. 
J'enfeigné par ce moyen aux commen- 
çans , un grand nombre d'opérations 
. fur les quantités radicales de toute ef- 

J)éce , & je leur donne une connoif- 
ànce entière de l'élévation des puip 



xîj PRE F A CE. 

fances , & de Textradion des racines. * 
Une règle qui eft abfolument nécef^ 
faire pour la réfolution corhplette de 
ces Equations , & qui a toujours été 
omife dans tous les Auteurs Elémen- 
taires j, (excepté Mrs'Gravefande ) c'eft 
Textradîon des racines des quantités en 
partie commenfurables , & en partie 
incommenfurables : Mr Newton à qui 
on doit cette règle, Tayant donnée à 
fon ordinaire fans démonftration, je 
Taî traitée ici comme un Problême j 
par ce moyen la découverte &c la dé- 
monftradon marchent toujours de con- 
cert, 

La Méthode de Mr Newton s'étend 
aux quantités numériques quelque foit 
Texpofant de la racine, mais elle ne s'ap- 
plique pas aux quantités littérales , lorf- 
que cet expofant paffe le fécond degré ; 
je fupplée ce qui manque à cette Mé- 
thode, en donnant le procédé qu'il faut 
fuivre pour les quantités littérales. De. 
plus je fais voir que la Méthode de Mr 
Newton , pour lés quantités numéri- 
ques , peut induire en erreur dans quel- 
ques occafions , c'eft lorfque la racine 



T REFACE. xiij 

d^tinc quantité contient des fradîons 
quoique la quantité n'en contienne 
point. Je montre ce qu'il faut faire alors 
pour remédier à cet inconvénient» 

Mr s'Gravefande qui a commenté Tar- 
tîcle de TArithmétique univerfelle de 
Mr Nevton , où fe trouve cette Mé- 
thode, n'a point remarqué les cas qui 
peuvent y échapper , & il n'a point 
donné la manière de l'appliquer aux 
quantités littérales de tous les dégrés. 

Toutes CCS opérations fuppofant dans 
le cas d'une puîflance quelconque la 
formule du Binôme y j'en donne une 
démonftration nouvelle > & je montre 
les différentes utilités qu'on peut tirer 
de cette formule, pour trouver par ap- 
proximation toutes fortes de quantités 
compofées à volonté de radicaux , de 
frayions , &c. ce qui peut préparer les 
commençans à l'analyte de l'infini. 

La cinquième Partie traite des Equa- 
tions du troifiéme & du quatrième dé- 
gré qui ont tous leurs termes , c'eft-à- 
dire , toute la complication qu'elles peu- 
vent avoir. Je donne d'abord la tolu-* 
don générale des Equations du troî- 



xîv PREF4 ÇK 

fiéme degré , & je fais voir enfuîte les 
Equations particulières , où cette folu- 
tion n'apprend point la valeur de Tin-, 
connue ^ ce qui forme le cas qu'on ap- 
pelle irrédudible- Dans ces Equations 
au défaut des racines exades > j'ap- 
prends à en trouver par approximation ; 
]e donne pour y parvenir une méthode 
nouvelle beaucoup plus fîmple que cel- 
les qui ont paru jufqu'à préfent. Par 
cette méthode dès la première opéra- 
tion , j'ai la valeur de la racine cher- 
chée à un millième près , & à la fécon- 
de à un millionième y & ainfi de fuite. 

Je pafle de-là aux Equations du qua- 
trième degré , & après avoir donné 
leur réfolution générale , Je fais voir 
aue cette réfolution , ainfi que celle 
aes Equations du fécond degré , a cQt 
avantage fur la réfolution des Equa- 
tions du troifiéme , qu'une feule & mê- 
me formule peut à l'aide des fignes plus 
& moins exprimer toutes les racines de 
l'Equation. Je démontre auflî , ce que 
tous les Auteurs Elémentaires n'ont fait 
que fuppofei'^que les quatre racines d'u- 
ne Equation du quatrième degré > font 



PREFACE. XV 

toujours ou toutes quatre réelles , ou 
toutes quatre imaginaires y ou deux réel- 
les, & deux imaginaires ; c'eft-à-dire , 
que je prouve que les racines imaginai- 
res des Equations du quatrième degré , 
peuvent , aînfi que celles du fécond , 
être regardées comme compofées d'une 
partie réelle, & d'une partie qui eft la 
racine quarrée d'une quantité négative. 

La réfolution des Equations du qua« 
triéme degré étant fondée fur celle des 
Equations du troifîéme , elle a de mê- 
me que ces Equations cet inconvénient, 
que dans un cas on ne fçauroit avoir les 
racines que par approximation. Je don- 
ne une manière bien (impie de trouver 
cette approximation en employant celle 
que j^avois donnée précédemment pour 
les Equations du troifîéme degré. 

Quant aux Equations qui partent le 
quatrième degré , je ne donne rien pour 
leur réfolution en général, parce que jus- 
qu'à préfent on nk pu y parvenir quel- 
ques efforts qu'ayent fait les Analyftes* 
L'on eft réduit , excepté quelques cas 
particuliers que j'ai traités, pour la plu- 
part , dans la troifîéme & quatrième 



itvj PREFACE. 

partie , à de (impies approxîmatîorts ^ 
& comme ces approximations font 
beaucoup plus faciles lorfqli'ori eft ai- 
dé de la Géométrie , je remets à traiter 
de ces Equations y lorfque j'enfeîgneraî 
la Théorie des lignes courbes* 

On devoir s'attendre après ce que 
j'avois dit en annonçant mes Eléndens 
d'Algèbre^ à y trouver des applications 
de cette fcience à la Géométrie ^ j'ai 
crû cependant devoir les réfervei* pour 
Un autre ouvrage. Il m'a paru qu'en 
donnant un traité entier de pure Al- 

{çebre^ c'étoît offrir aux commençans 
es moyens de s'y fortifier davantage , 
& qu'ils gagneroient à ne l'appliquer à 
la Géométrie y que lorfque les opéra- 
tions Analytiques ne leur couteroient 
plus. J'efpere que les Principes qu'ih 
trouveront dans cet ouvrage , les met- 
tront en état de furmonter les plus 
grandes difficultés qu'ils rencontreront 
dans la haute Géométrie. 

Au refte , je ne fuppofe pour l'in- 
telligence de ce traité , que les opéra- 
tions principales de l'Arithmétique , 
parmi lefquelles je compte la règle de 

trois , 



PREFACE. xvîj 

trois ; ceux qui auront lu mes Elemens 
de Géométrie poflederont la théorie 
des proportions autant qu*il eft néceA 
faire pour entendre tout ce que je dis 
ici. J'avois d'abord compté donner dans 
le même Livre tant les Elemens d'A- 
rithmétique que ceux d'Algèbre , & je 
n'aurois pas manqué alors de traiter des 
proportions plus à fond que je n'ai fait 
dans mes Elemens de Géométrie , mais 
l'ordre que j'ai fuivî m'a paru deman- 
der de traiter féparément ces deux 
Sciences. En effet, voulant me rap- 
procher autant qu'il eft poffible du 
chemin des Inventeurs , j'ai dû fuppo- 
fer l'Arithmétique familière à ceux qui 
vouloient pénétrer dans TAlgebre. 



ELEMENS 




ELEMENS 

DALGEBRE- 



PREMIERE PARTIE. 

De la Méthode Algébrique itexprimet 
les Problêmes par des Equations y& 
de la réfolution des Equations du 
premier degré, 

A.RMI les difiërens Problêmes 
dont le9 premiers Mathématicien» 
qui ont eu le nom d'Algebriftes fe 
font occupés , je choifis celui-d , 

comme un des plus propres à faire 

voir comment ils font parvenus à former la 
Science qu'on nomme Algèbre ou Analyfe, 

l. 

Jartager me fmm> {^ txmfU Z$o * 

A * 




a ELEMENS 

Exemple À tr<Ài f^rfinnes y ^nfirte que la première dte 
m^iïàit' *8o ft déplus que la féconde, & la féconde. 
bic à ceux 1 1 y ft de plus que la treifiéme. 
STcw Âfgcl Voici d'abord comme j'imagine qu'aura raî- 
brificsontpA fonné un liomme , qui , fans aucune teinture 
fcpropofcr. j^ l' Algèbre , fera parvenu à réfoudre ce Pro- 

blême, 
c/Sêmc }^ ^^ évident que fi on connoiflbit une des 
telle qu'on la trois p^rts « OU coiinoitroît aufli-tôt les deux 
ï!^v« fans^^?^^» fuppofons, par exemple, qu on cpn- 
Ai&cbic. noiflë la troifiéme qui eil la plus petite , il 
faudra y ajouter ii j* , & Pon aura là va- 
leur de la féconde ; enfuice pour avoir la pre* 
miere , il faudra ajouter i8o * a cette fé- 
conde , ce qui revient au même que fi on ajou- 
toit i8q* plus iijft ou a85*.à la troi- 
fiéme. 

Quelle que foit la.troifiéine part 9 nous fça- 
vons donc que cette part , plus elle-même avec 
1 1 y fc plus encore elle-même avecapj ft doit 
faire unefomme égale à 8^0 tb» 

De-là , il fuit que le triple de la plus petite 
part , plus 1 1 y^ plus 2p 5 ft ou en une fois plus 
^10 ft eft égal à 8po^. 

Or , fi le triple de la part qu on cherche plus 
410 tb cil égal à 8po * , il faut donc que ce 
triple de la part qu'on cherche; foit plus petit 
que 8po ft de 4 1 o ft . Donc ce triple de la plus 
petite part eft égal à 480 ^. Donc la plus pC' 
tite part eft égale à 160 tfe. 

La féconde fera par conféquent de 175* * , 
& la première ou la plus grande de 45*0 ^. 
Ceft vraifemblablement ainfî que les pre- 



È^ À LG E B R È. I 

thitts Àlgebriftes ont raîrotiné quaiad ils feionc 
proposés de pareilles queilions , fahs doute qu'à 
mefure qu'ils avançoiem vers la foiution d'une 
queitioh , ils chargeoieht leur mémoire de tou^ 
les raifonhemens qui les avoient cohduits au 
|>oint où ils en étoient -, Se lorfque les queflionâ 
n'étoient pas plus compliquées que la précé^i 
dente » il n'y avoit pas de quoi fe rebuter ^ mais 
dès que leurs recherches ont ofièrt plus d'idéei 
à retenir ^ il a fallu qu'ils cherchafltnt une ma^ 
Hiére plus courte de s'exprimer > qu'ils enflent 
quelques fighes fîmples > avec lefquels quel« 
qu'avancés qu'ils furent dans la foiution d'uû 
rrobléme ^Is pttflent voir d'un coup d'oeil ce 

Ïu'ils ayoient fait & ce qui leur reftoit à faire. 
)r l'efpece de langage particulier qu'ils ont 
imaginé pour cela > c'eil T Algebrcé 

Pour mieuk ddnner les principes de cette 
J5cience> nous allons reprendr» lamâmê duef- Akfi^i^ 
tion , nous écrirons en langagâ ordinaire les d'exprimer 
raifohnemens que l' Algebnfte fait pour réfou- jf^^^^^^J^^^* 
dre fon Problême & en caraâeres Algébriques > 
ce qu'il lui fudSt d'écrire pour aider fa ihemoire, 

La plus petite ou la troifiéme part ^ quelle 
iqu'elle foit , je l'eiprime par une feule lettre 
i^ui fera par exemple. . * . . ^ é ^ * x 

La féconde fera par confequent ^ plus 1 1 y^ 

ce que j'écris ainïî jr + 1 1 y, 

çhoifîffant le fîgfte ^ qu on prononce fluf - 
pour défîgner l'Addition des deux quantités joliq^IJi^ 
entre lefquelies on le place^ ^ lUcion* 

. Quant à lap,remie{e part ou la plusgrande^ 

Aij 



^ Ë L £ M É N s 

comme elle furpafle la féconde de 1 8ô elle fera 

donc exprimée par • . • at+i i j+iSo 

Ajoutant ces trois parts ^ on aura ^ * w . • » 

^ *. ........3^+115+115+180 

ou en réduifant « ; . . . . ^ .^ . . . .3^4.410 

Maïs cette fomme des trois parts doit égaler 

mwquI'T'é- 8p^1^. ce que j'exprime aimfi. • ^x+^ias=S^o 

gaiitc. Employant le càraftere î= qui fe prononce 

égal pour exprimer l'égalité des deux quantités 

entre lerquelles on le placé. 

La queftion » par ce Calcul^ eft donc changé eti 

une autre , où il s'agit de trouver une quantité" 

ua-'^*^'^^ '^ triple étant ajouté avec 410 feflè 890 

lion eft l'é- Trouvcr la réfolutionde fembiables queftions > 

gaiité de .ç'efj QQ qu'on appdfc réfoudre une Equation i 

deux quanti- „,^ -^ j ^-^ -A ^ o 

tés. lEquation dans ce cas ci eft 3;r-f 41 0=^=890 

On refout on l'appelle ainfi , parce qu'elle indique Téga- 
lorîq^'^or^" lité de deux quantités,, réfoudre cette Ecjua- 
trouvc la va- tioD, c'eft tTouvcT lô Valeur dé rinconnue x par 
imi«!^q?cî" ^^^® condition que fon triple plus 41 o faffe 89O 

le renferme. . - ' i I I, * 

Pour réfoudre cette Equation > voici corn- 

:^é^iution ment l'Algebrifte raifonne , & comment il écrit 

tion qm^cx-^fes raifonncmens, L'Equation à réfoudre . . • * 

mimeleçro.. ^ _ , DX -^ 4lOt=S^O 

blemeprecè- > ^j ri r ^ • -^^ ^ ^ i.. 

dent. m apprend quiltaut ajouter .... .410 a 3i^ 

pour faire la fomme de 850, donc 3 Jt Cont 

\ pioindres que 890 de .410 , ce que j'éCris 

Le caraûcre ainfi . 3 ATSss 89O 4IO 

loiiu S^ ^* Prenant le caraftere — qui fe prononce moif$s 
' pour faire reflbuvenir que la quantité qu'il pré* 
cède doit être retranchée de celle qu'il fuit. 
, Decette noiivçUe £quatioii 3Jirs£=S^o.-^ia 



iy A L G Ê BR E. j 

JbtL tire , en retranchant en effet 410 de 890 , 
cette autre Equation jjf==48o. 

Mais «fi trois x valent 480, uo *• vaqt donc 
le tiers de 480 ou i(Jo ce qiie f écris ainfî , 
:f £= ij^ = 1 60, & la queffion eft réfolue , puiC- 
qu'il iuffit de connoître une des parts pour 
connoitre les autres. 

I y: 

Si on avoît voulu réfoudre la queftion en Autre foio- 
commençant par chercher la plus grande part, bièSi^préc?^ 
on J'auroit pu de même. <lcnt« 

Voici comment on s'y feroit pris; 

Soit cette première part. • • • , « «^ 

La féconde ayant 1 80 de moins fera >— 1 80 

Et la troifiéme ayant 1 1 y de moins que la 
féconde fera. . . • • . . . y — 180— ny 

Or la foirnné de ces trois quantités eft- • i 
.......... ^ . îjr_i8o—i8o — ixj 

c'eft-à^dire }j^_47y ^ 

^ Mais cette fommc doit égaler 89O 

On a donc l'Equation jj^— 47j'==890 qui 
apprend que 3 y furpaflent 8po de 47 J, puif- 
quil faut retrancher 475" de ^y pour avoir 
8po. Donc }j^ 2=890 4^ 47 j ovL^y=: i^éf 

Donc y ou la plus grande part ânes 4^ j coni-^ 
me 'ci-dei&us. 

V. 

Si dans le Problême il avoît fallu partager 
une femme plus ou moins grande que celle 
qu'on a em ploy ée , & que les différences euflent 
été d'autres nombres que ceux dont on s'eft 
fer vis, il eft évident qu'on Fauroit réfolu de 
la mime manière. Suppofons , par exemple, qut 

A iij 



t E L E M E N S" 

le ProHêmc eut été énoncé ainfî. 
Autre «cm. Partager p6oo à i]Uaire ferfonnes , enfiru éjuf 
fie du Pror la frcmicre ait^OQ de fins que lafecomde ,&la 
|i^etncp;éçé.y^^^^^^ ayo déplus que la trtnfiéme , ^ la trou 
fiéme 200 déplus que la quatrième. 

On auroic raifonné de la manière foivantç; 
£n nommant la quatrième 
part ••••*••••• •••• • 9 m X 

La troifiéme feiia •••••• *^4-^0Q 

/ La féconde .♦..•.. • • • ^-4.100+1^0 

La première ..,..•.•. .y4-2oo4'i J0+30Q 
Or la fonuiife de toutes ces parts doit être 
é^aie à 9^00, On a donc TËquation, 

4Arr+-l400«=:9(ÎQO, 
Pour réfoudre cette Equation , je remarque 
comme dans la précédente, que fi i|^ne font 
égaux à ç$0<> que lorfqu'on leur a ajouta 
1400, il faut qu4Is foient égaux à ce qu'il refte 
de 5>6oo lorfqu'on en a retranché 1400, ce 
^uefopéçrUmnG, • . 4 AT *= 5)600 ^1400 

ou 4A'r=8iOO^ 

Maïs fi quatre x font égaux à 81OO, un ^ 
vaut donc le quart de 8200, c'eft- à- dire quç 
^ 9=sz ^^ a= 20 j o a la plus petite part ^ étant 
connue les autres fe trouvant tout de fuite ^ la 
troîfîéme s= 22 jo , la fççondeç=ç?2j|'OQ , ^ 
la prçmiere 3=1;; z8oo. 

VI. 

Le Problême pourroit être encore plus varié 

& dépendre toujours des mêmes principes j 

Troifiémc fuppofons , par exemple, qu'il fut énoncé ainfi. 

fxçmpic du Partager J j'OQ en J^ux parties de manier^ 

JîliWm. V^^ '^ fretnicre m m tiers 4^ fins <^U€ h Jk-t 



n' AZ G E n RE. 7 

fènicy fins encore iSo. 

Voici commeAt on le réibiudroit* 

Soit Id féconde paît x 

On aura pour la première Ar4•Yi^f-l80L. 

Or comme leur fomme doit égaler yyoo , <m 
a donc l'Ëquation â ;r 4^4. f 4:4.1 Sosayjoo. 
Pour réCoudre cette Equation je commencerai 
par ajouter 2 AT avecy^^ ce qui me donne jx 
parce que deux entiers valém fix tiers, & que 

}>ar conféquent ces deux entiers avec un tier» 
ont fept tiers* Donc l'Equatioii précédente £b 
réduit à • Ji^'iioo^ssn^^oo 

3ui deviendra par te même raisonnement que 
ans les çxemples précédens lîs^yyoo-— -iSq 

ou 7^3=J320. 

Or fi le tiers de 7 ;ir vaut J3 7,0 les jx enriew 
valent donc trois fois davantage, ce que Ton 

écrit ainfi. .'•. ,.^. . . 7Ar=5}iOX ?• LciSçnex 

Employant le fîgne x qui k prononce p4ir in<iiqae u 
pour défigner la multiplication des deux quaii^ SSnî*^^*^*' m 
tités qu'il fépare, 

Enfuite an lieu àe 'jx:s=z^^ 2ox } il fufKc d'é- 
crire 7,vte=i J960 que Uon a çn njultipli^nt tq^ 
efièt J310 par jjt 

Et parte i^oyen de cette nouvelle^Equatîoa 
on a ^ftqss'VJ^^a'i 228 valeur de la féconde part. 

La première part fera aifée à trouver enfuké, 
puifqu il ne faudra qu'ajouter à. cette quantité 
2180 fon tiers 760 & de plus i'8o , ainfi qu oà 
l'avoît propofé , & Ton aura 5328 pour là 
première part. 

Sut^ commençans pourront s- exercer à Va-r 

Aiiij 



rfer encore davantage retoncé du Probléii4f 
précèdent > &.à le réfoudre .dans le» diifërens 
cas qu*ils imagineront .. ils feront rççompeûféa 
de^eiirs peines par la facilité qu ijs acquerront. 
Mn de les aider davantage, je vais donner 
ua autre Problème qui a en^or^ beaucoup dç 
jrapport avec le précédent. 

: . VIL 

>?o«vcaq' Tr9ts Marchands font m^ Société » le premier 
Ic^êml fi^^^^ 17000 Ib U fécond 1 3000 ^, le troifiéme 
ïiaturc que 1 0000 j comnMi Uiont beffi» de queléjitun quife 
^L^-^" donne les foins que demanda Unr commerce , cer 
, fui qui rla mis que 10000 ^^fe charge de toHtCf 
, les affaires , à condition qu^il tirera de plus que 
les autres ^four lOp de tout le gain qui fe fer a ; 
// arrive que ce gain monte à lOOOOO * on 
demande ce quHl faut qtiils en ^ent chacun. 
■ Soit la part du premier ••••.•••• a: 
' ' Le fécond ayant mis moins dans h 
raîfon de 13 à 17 doit avoir une fom-t 
me moindre dans cette jmême raifon , 

ç'eft-à-dire feulemept , , , ♦ ff * 

* Le troifîérae en fuppofànt qu'il n'eut 

3' u'à raifon de fâ mife auroit les t^''"" 
U premier, mais devant avoir lie plus j 
pour loô fur tout , c'eft-à-dire jooo ib 
fa |)art fera. , . , • . ,'. ,.,,..♦.,., jf-^'+Joooi 
: Et comme la fdmme de ces trois? 
ysxx% doit être j 00000 *' on 

jRUr^f. .. , ^V'^-yJAT^-yI A'+JOOOîrasiOOOOQ 

ou W4.||^ + f^.Vp=..p700Q 

. ^fm dégager rinconnue dç cette équation foiç 



2>' Â LGËSRE. ' j 

Tit fîgnîfie autre chofe que ^ a: on a donc ^ x 

ç=P*7000 ou ^O 4: =:p7000 X 17 ou 4.0 ATtSES 

1649000 ou A: = ^|^t=4I22y. 

La part du premier étant trouvée celle du 
fécond exprimée par f^- x fera f} x 41 2i j, c'eft- 
à- dire 3 1525 , celle au troifîéme exprimée par 
i^;f4- 5000 fera 77X41 2a J+}ooos=z7ijo. 

Par ces deux Problêmes les Lefteurs entre- Lafoiarfon 
voyent ce que c'eft que TAlgebre, & ils appreri- ^^^^^'^^è^ 
pent qu'en général fa folution d'un Problême me a deux 
cft compofée de deux parties j dans la première p*'**"' 
on nomme par une lettre comme x ovty ^^^ ^tfmicrc^n 
Ja quantité inconnue qu'on cherche , ou une de exprime ce 
ççUes qui étant connue , détermineroît les au- ^'^onrE* 
très , on tâche enfuite d'arriver à une Equa- quadon, 
tion ou ^inconnue fe trouve , ce qui fe fait ça 
exprimant de deux manières différentes une mô- 
me quantité. 

•Dans la féconde partîç il s'agît de d^gag^ff^^We oa 
l'inconnue de .l'Equation. ^ réfout cetto 

La première de ces deux parties eft difficile E^aa^"- 
à réduire en préceptes clairs pour les commen- 
çans , ce ne peut-être xjue par des exemples 
qu'on la fafl[e bien fenHr* 

Quant à la féconde on' la peut beaucoup 
plusi aifcment expliquer d'une manière générale. 

, Dans les queftîons que nous venons de ré- 
foudre on eft arrivé à des Equations dans leC- ^^^'^^^^ 
quelles l'inconnue ne fe trouvoit pas autre* micr degré 
ment engagée que par la multiplication ou la ^^^^\,{iJ^Jf^^^^ 
divifioa de iiombre«-CQi|imsj 09 appelle cc8nuç n*çft 



ÇOllftUCI» 



ï© E L E M E N s 

multipliée fortes d'Equations , Equations du premier dé-i 

que par des grC , telles font 2 ^~-«lClsac=JO , j ^«-H ^S=^ 

coi^îj^' ^-^ 7 ^4-30 &c. Et les Problèmes qui condui- 
"^'^ fênt à ces Eauations (ont nommés des Problê- 
mes du premier dégre'. 

On les appelle ainfî pour tes diiftinguer de ceux 
dans lefquek Tinconnue feroît ou quarrée, '^ 
ou cubée , &c. qu'on, dit être y aum bien que 
leurs Equations y du fécond degré fi rinconnue^ 
eft quarréç , du troifiémç û Tinconnue eft cu- 
bée &c. 

Qu'on demandât , par exempte un nombre^ 
dont le triple étant ajouté avec le quatre-, don- 
nât 6s le Problême qu'il faudroit réfoudre 
alors feroît du fécond degré. Et TEquatioi^ 
^x^^xssiôj (danslaquelleAr^rdéfîgnelequar- 
réde x) qui exprimeroit les conditions de ce 
Problème feroit une équation du fécond 
degré. 

. On n'a pu parvenir à là réfolutîon de ce& 
Equations qu'après s'être exercé long-tems aux 
Equations du premier degré. Nouis allons donc 
chercher toutes les règles que demandent ceU 
les-ci, 

X. 

Pour les trouver reprenons d'abord l'Equa- 
tion 4^^! ^o==^(Soo traitée Art. v> laquelle 

* Oh doit ayolr y(i en Âritbmedque qvfvLti no^ibre 
>eft ^uarrc ou cubé , fiiivànt qu'il efi multiplié une ou 
deux fois par lui • nnéme. On quarre 7 pur exemple 
lorfque, en lemulwliaiit^rlui-âiême, on en forme 4$% 
de même on le cube Icmgue le mulnpliaitt deux fois 
f su: hàmùoc on ex fimie i4}* 



ly A L G E B R E. 4f 

eft compofëe des trois termes ^x, lAoo, 9^00, 
( on appelle ainfî toutes les parties a une Equa- 
tion feparées les iines des autres par lés fignes Lesteffcnet 
j- ou •-^) & remarquons q«e par le mêafe raî- <i*unc E<i«a- 

VT i 11^ • » tion font Cet 

(bnnement^ par lequel nous en avons UfC qu« patûet répa- 
^Lx^s^éoG"-^ 1 400, nous pourrons dans toutes j^ p^\J« 
fortes d'Equations prendre quelque terme que ^^* 
ce foit précédé du iîgne ^- éç le paflër de l'ai^ 
tre côté du fîgne = en lui donnant le figM-^ 
Qu'on ait par exemple jo+-^.*'ï=rJ^+3odfera 
permis de paflèr le terme ^ x en-^de Tautre 
coté décrire ainfî r£quatioii ^os^^x^^^^k-^ 
^ x^czton peut direcommedans TArt. y. ooe 
puifqu'il i^ut ajouter ^ at à 5 o pour ^tre égal a la 
quantité S^^O^ il faut donc que 5^0 fok {>lus 
petit que y^r+jo de la quantité ^ x c'eft-à-dine 
qu il foit égal à 5^4.30—^-^4:. 

De la roçme manière qu'on a vft Art. \\u 
que TEquation 5jH-«475=8po fc changeoit 
^n 3 jf=c890+.475 , on varra qu'en général les 
termes qui font en— >- d'un coté du figne d'Ega- 
lité peuvent être i^^Sé^ en 4. de l'autre. Qu'on 
ait par exemple ^%r^^xrs9;^xJ^\i^ on en ti- 
rera j2=^6A:4.pjr+iip. Car fi 3^ dok être 
diminué de 6»: ^pour é^ler -94^4.1 29 » il faut 

2u'il fôit plus grand de 6k que cette quantité^ 
eft-à'^dire qu^l foit égal à €^^^x^i vfy. 

XL 
Voilà donc un principe géoeral pour toutes Toutwrmc 
\ , c eft que les termes que l'on friwAti 



les Equations « c eft que 

voudra pourront être paflés cTun côte de iH- dei'Eqaa- 
quation à l'autre , en obfervant de changer leurs cnchîng^ 
ugoes. Or ce principe xft .dHtoç si^iî^ vaùsk ^^ H^- 



i« E L E M E N S^ 

-en ce qu'il épargne beaucoup de raifonnemens; 

XH. 

Par fon moyca on peut tou jours changer une 

Equation en une autre , où l'on ait d'un côté 

du fîgne = , c'eft-à-dire dans l*un des membre» 

, On appcUe de FEquation les termes afFeftés de ;i: & de Tau». 

?u^ Equa- tre côté du figne == c'eft-à-^dire dans l'autre 

tionfesdeux membre de l'Equation tout ce qui eft entière- 
parties fépa- ^ A * * 
rées par le ^ittit COUnU. 

fi^nc ^ Que Ton ait par exemple TEquation 8 ^ + 

"50s=ai;r4-27o;j'entire8;f — 1^^=250-—*^ 
joj que Ton ait do — '4:^=5250-—}^, on 
«n tire t^— 1 A-astriyo — 60 & ainfi des autres. 
XIH. 
Lorfqu^après les tranfpofîtîoni néceflaires; 
on aura fait palTer tous les termes afièdés de ^ 
d'un côté & les termes connus de l'autre; ce 

3 ai fe prcTente le plus naturellement c'eft de ré- 
uire chacurt des deux membres de FEquatioft 
à fa plus fîmple expreffion. Qu'on ait par exem- 
ple é^ — 1^= 25-0 -^-50 on en tire aufEtôt 
s -i"! Ars= 220 , en retranchant en eflfet jo de 250^ 

& en retranchiant auifi \x à^Bxoaàt^fx qui 
lui eft égal. 
Qu'on ait | Aw-,i .vssraS je— -(f o on la change 
, tn -14 *=s=ipo à caufe qu'en redulfant ^.xSc\x 
au même (jénoOiinateur on a ^xdc\{xàovki la 
diffètence ^^Wx^Sç, qu'en retranchant 60 de 
aco îlrefte ioo. 

XIV. 
Par de femblables rédudîons qui font tou- 
jours faciles^ à ceux oui fçavent F Arithmétique 
on changem toutes les Ëquatiços du premier 



Jff A LG E BR E. t% 

^égrë > qùelaues compofées qu'elles foient ea 
d'autres qui d auront yxc deux termes. Ton étant 
coniporé d'un certain nombre d' x entier oa 
roihpû^ l'autre étant un terme entièrement coiv- 
xiû , telles que font les Equations ^xxss 8200^ 
|^Ar=s^}2oo & réfolues dans les Articles v. 

& VI. 

Rappelions nous maintenant ce que nous a- 
Vons dit fur ces Equations, Se nous en tire- 
Tons âès principes généraux pour toutes les 
autres. 

De TEquation 4 x^s:^2XK) nous avons tiré x 
JBss ?^ parce qu il s'enfttivoît de ce que quatre 
X vsdoient 8200, quun x ne pouvoit valoir 
que le quart de cette fomme^de ce raifonnement 
&de ceux que l*on formeroit pareillement pour 
iés autres nombres d'^r , on tire ce principe gé-r llUmctcém 
néral , qu on peut ôter le multiplicateur qui af- ^uj/i^*" 
fefte l'inconnue dans un des membres deTJÇqua» multiplica- 
tion , en le faifant fervir de divifeur à Vautre f^^^^jf" 
membre.' connue» 

xy. 

De rË'quatîon j ^== j }2oo nous avons tiré 
y >:= 3 X 5 3200 en remarquant que fi le tiers 
de 7 AT vaut 5*3100 , yx entiers doivent valoir 
trois fois davantage. Delà on forme ce prin- ^, , , 
cipe gênerai, que pour faire dilparoitre le divi- faire difpa- 
feur'qui afïefte l'inconnue dans un membre de '?^^ ^*^^^*** 
'l'Ec^uation , on n*a qu*à le faire fervir dé mul- affcaé vk^ 
tiplicateur à Fautre memb«.* connue. 

XVI. . 

Avec ces règles on eft en état de réfoudre 
toutes fortes d'Equatioûs du* premier degré. 



t4 tLÈMÈk^ 

Four exercer les Commençans : voici quelques 
exemples. 
Exemples fAri**—po*|-|;f Ses ^JT**-^ 82 fe change par la 
dif?rS thihfpoïîtioh en f:c+^x^^jc=90^S2 0VL 

principes bu 7^ ^ = 8 OU 8 4? fc= 8x i 7 ôtt en dernier lieu 

Deménef^+^~=iArtt-^io devient en 
tranrpofant f AT— fA-é=: 10+90U j;^*— f Arfcs 
ijpou -fiVî=ip ou;f==3y9. 

Enfin I ATi— 40 i-- i A? fe=6oi^ f x donne erl 
trsnfpofentf ^ *^^ *v + f ^ «: ipo, qui eh ré* 
duifam d'abord f & ^ au même Dcnomina^ 
teur devient^ ^--*^J^a:= 100, &quî en ré* 
duîfant I iSc -3- au même Dénominateur de* 
yjent enfiiite ^J ;r == 100 ou ;t »=: ^!-^ 
XVII. 
Au Heu de réduirç toutels les fraôîons àU 
liieme Dénominateur ^ oh peut faire difpa- 
roître l'un après Tautre tous les Divifeurs de 
l'Equation donnée par la méthode faivanté 
qui a dû être bien-tôt imaginée par les premiers 
qui ont manié ces fortes d'Equations. 
Maniercdc Soit repris leîcen: pie prébédeht f ^-^~ x + 
noulr^îèT f-^=îOo, îlefldair que fi on multiplie les 
fraOions oeux men bres de cette Equation par 9, les 
d'une Equa- deujc produits feront les mêmes j tardes quan- 
tités égales multipliées par le même nom- 
bre doivent donner le même produit , oA 



produit 
«j^ATtejooqui^ à caûfe que -î^^Lsâ^r/fe ré- 



aura par cette multiplication ^x^^-^^x*^ 



ï^ À IGÊ ÈRE. tf 

tàùîtà air»«^f ^+ 4i^^=»^oo, dans laquelle 
le DiviCeur p a difparu , & Ton voit bien que 
tela de Yoh arriver oëceflàireiiient 9 car ^ de 

3ucl()ué quantité que ce foit multipliés par 9 
oivem donner 1 entiers de x:ette même quan- 
tité. Pouir faire difparottre de n^mt 4 « il fau- 
dra mttltiplier tous les termes de l'Equation 
par 4 , en obfervant feulement pour le terme 
f X que la multiplication par 4 fe fera en ôtant le 
4 dedeflbus. Ainfî l'on aura 8 ^— <*pjH*^;r =a 

3 600 CM ^ ^«-^ X =2» 5 600 ^ qui , multipliant 
les deu^ membres par ç \ deviendra ^^^x^-^^x 
i= iSooo ou 247;r=z3 j8ooo ou x^sz^i^ 

Le principe général qu'on tire de-là ^ c'efl que 
pour faire difparoitre un Divifeur d'un terme ^ 
il faut multiplier tous les autres termes par le 
Ôivifeur ^ & l'ôter du terme, où il e(L 

XVI LI, 

; :0»-peut trouver une manière de faire dîfpa- Amrè mé- 
roître tous les Divifeurs à la fois , en remar- ^fcSIJi^; 
quant quelS on multiplie tous les termes par Bdt tous 
un même nombre qui puiflè fe divifer par cha- u^SS"** * 
cim de ces Divifeurs , chaique terme fe réduira. 
Multiplions par exemple l'Ëquation ^at— ^iH-» 
\x,=!sz 1 00 par 1 80 qui peut fe divifer par 9, par 

4 & par Si on aura ^ ;t— '-^x '¥^ x a=a 
1800a ou 4.0^— .^y^t^+aja^s:^ 18000 ou 

^ Or pour trouver ce nombre qui puiflè fe di- 
vifer par tous les Divifèui^ i iV ne faut que 
multiplier fnccefltvemeht ces Divifeurs les uns^ • 

par les autres, ^u'oa jiit > par exemple^ 



t6 IS L EME NS ^ 

^x^^xss±i6ù'-^jx dont on veutUe faire 
évanouir les Divifeursy je multiplie d'abord 
) par y 9 & je multiplie énfuite leur produit ij 
par 7 , Ce qui nre donne 105 pour le nombre qui 
eft divifible par 3 , y , 7 ; ce nombre trouvé , je 
m'en fers pour multiplier toute TËquationj ce 
qui me donne ^ x^-^f k =1 6800---^;^ 
ou i4j';ir-+*2iJftBS3ii 6800^-^3 OJr 
' Pour abréger encore cette opération » au lieu 
de former le produit 10 J des trois Divifeurs , 
on peut fe contenter d'écrire ainfi ce produit 
3x5x7 la multiplication donné aldrs 7X^xfX7Af 
[4* TXiiLi a:-=:i6ox3 XîX7*-*7xrx i.xî % dans 

lac^ueile on voit tout de fuite que le ttombre ^ 
doit s'en aller du numérateur de la Première 
fiaftîcto, puifque la dîvifîoh par ^ doit être dé- 
truite euTaîfânt là multiplication paf' 3 , iSc de 
même du y & du 7I,' qui font à la fois âujc nii* 
meràtëurs & aux.divifeurs des autres fraâions* 
Par ce poyen on arrive à TÊquatiori 
7x5x7^: H- 7x3 A" =Fi <îox3 xjrx7 — 2x3 xyAf 
oui en faifant les hiuitiplications indiquées par les 
fignçs X donpe 24»j^H-iii^ ==•16800—30^ 
délivrée de fraâionSi 

.;■ xix* .. . >■. 

Pouf (liîvre, le plus yraifemblablem^nt qu'il 
eft pofEble Tordrf des inventeurs , nous ne nous 
arrêterons pas maintenant à approfondir davan- 
tage la métho4^ de dégager Finconnue , mais 
nqu$ reviendrons à la manière de mettre les ^ 
Problèmes en ;équaÇLons ; la réfolution des 
équations a pu , indgpegdamment des Proble-» 
mes àufquelles elles ont rapport > occuper les 

Algebrifted 



^Xg^hriRes lorfque cette Science a été aVdncéf 
à un certain point , niaîis il eft à préfuraer que 
ceux gui en ont jette les fondemen$ , n'ont exa- 
lté les Sduations qu'à Foccafion d^ Problé^ 
thés dont elles étoiént,^our aîïifidire, le dé-» 
toouement. D'ailleurs il fe trouve quelquefois 
dans les Equations des complications dont oti 
lie fe feroit pas douté^fi là natute des Problâmes 
'f^u'on cberchoitne lesavoitpas amenées. 

Nous ne pouvons rien dire ici de plus net , 
ixir ia manière générale de mettre les Problèmes 
en équations , que ce que nous avons dit art. 
y III. mais nous allons donner. plusieurs exem- 
})lés qui àccoutume):ontlesConmiençans àcettô 
irecherchè. 

Peur paj^fr un certain nofhhire iOuvriersfur ^ ... 
U vied ^e ^ ^ chacun , il ihan^uc . 8 t^ à ProbSmc» 
un nomme 'qui les fait travailler ^mais en ne leur 
donnait chacun éjue a* il lui rejte ^^ ^ on 
demande combien cet homme 41 d argent. 
' Suit X le nombre de livres c^ue poflede cet On employé 
homme 5 do^c ^ -4- 8 eilla fomme oui peut ùif- aigcbTc com- 
tisfalre tous léis Ouvriers fur le pied de 3 * Ôc me en arith- 
comme le nombre des Ouvners doit être troiiî [jj^^ J/^p^^^ 
fois plus petit que celui qui exprime cette fom- DlviUoai 
me 3 il fera exprimé p^r le tiers de A" •«l-S , c^ 
qu'oïl écrira ainfî , £+8 j car ea Algèbre comme 

en arithmétique une barre horizontale indique 
toujours la divifiondela quantité fuperieure par 
l^infêrieure, 

, De plus puîfqu'il refle 5 * quand on n^ 
donne qufîitfe à chaque Ouvrier, a:— 3 eft n 
donc la fonmie fuii&fame ipour payer tous 

B 



t« lELEMENS 

Ces Ouvriers à raifon de i tb chacun. Donc 

£^ peut exprimer le nombre d'Ouvriers, mal& 

Euifque nous avons deux valeurs du même nom* 
re > il Êiut qu'elles foient égales, le Problême 
efl donc réduit à la réfolution de l'Equation 

•^ — — I 

Pour le refondre nous commencerons par 
feire difparoître le divifeur a du manbre i^ de 

(bette Equation , cri multipliant Fautre mem- 
bre par ce même nombre 2 , ce qui changera 
rEquàtiôn eri x — 3= Li±-1; car il eft évi^ 
dent que le double de '-? eft x — 3 & que le 
double de £±i fera ii±ill par la même raifon 
que 2Ar *+-i 6 eft le double de Ar*+-8» On fera 
enfuite évanouir le divifeur 3 de rEquatîon 
i a:4*t<_, jv -.iifi. j ^ en multipliant le fécond mern* 

bt-e par 3 & en Tôtant du premier ^ ce qui don* 
nera 2x^^i 6=±=3 x — — 9 ou x^stmf^ 

Sî on veut fçaVoir à préfent combien il y a 
d*Ouvrîtrs , il faut prendre une des déiix eic- 
preffions î:ii ou îjti qu'on a ti'ouvëes pour ce 
nombre, ^^ par exemple.Pùifqii'oh fçait malnw 
tenant que Ar== 2 j , ir — 3 fera donc 22 , izi 
j^rtant fera ^«=11 nombre d'Ouvriers de- 
mandé* 

XX, . 
Il eft bon de remarquer à propos de FEquatîon 
if-? 2-^^8 , qtj'il ne feroic pas permis pour 

y appliquer la règle de Taft, xi. de changer de 
côté & de fignc les^quantités— 3 & -+^2* & 



D' A L G E B R E. ip 

d'écrire ainfi TEquation jr-8 ^^--^-^J., parce que 

nombre —5 n'eft pas proprement un ternie du 
premier membre,maîs feulement un terme de fon 
dividende ^r — 5 ; la quantité de '-» n'étant 
réellement qu'un feul terme de l'Equation^ 
ainfi que ,idLL- Pour appliquer donc la règle de 
l'art. XI* il faudroit commencer par prendre , 
ainlî qu'il eft indiqué par le nombre 2 qui eô 
fous la première barre , la moitié de jr— - j ce 
qui donneroit t**''— rî enfuite il faudroit 
prendre , à caufe du 5 qui eft fous l'autre bar- 
re , le tiers de x — 8 qui feroit i at — | , éga- 
lant alors cts deux quantités on auroit l'Equa- 
tion {«^ — |r=|Ar-+-j dans laquelle on 
pourroit faire les tranfpofitions qu'on vour 
croît, 

XXL 

Le Problème précédent pourroit encore éire Autre fo- 
téfolu de la manière fuivante. ^««o" ^ 

Que y exprime le nonàt^ d'Ouvriers, Jj^uèmc. '^' 
fera 1 argent qu'il faudroit leur donner fur le 
pied de ) tb chacun. Mais il manque 8 tb pour 
les fatisfaire à ce prix : donc j j*— 8 eft l'argent 
que poflede celui qui les doit payer. 

D'un autre côté 2y feroit ce qu'il fajudroîç 
pour pa3^r ces Ouvriers à .raîfori .de 2 ^ * 
& il refteroit en ce cas 3 *• Donc 2J^-+-| eft 
une autre expreffion de l'argent que jpoffede 
celui qui les doit payer. 

Il faut donc égaler les deux quantités ^y -+- 
•3 & JJ'— -8, ou ce qui revient au même, il 
faut réfoudre l'Equation 2j?*i^335s:jjf-~8 pour 

Bij 



ÙO EL E M E N s 

avoir Ja valeur dejr. Cette Equation étant fit 
folue par \ts principes précédens » ce qui efl 
fort facile , on aura 1 1 pourj^ c'eil- à-dire pour 
le nombre d'Ouvriers demandé* 

XXII 

Quatrième Un CoUrrur' efi parti £un lUu , ilj a p heures 

Problème. ^ jait J lieues en 2 heures , on envoyé un autre 

Courrier après lui , dont la vitejfe ^ telle qiiil 

fait 1 1 lieuts en 3 heures s H ^a^git deffovoir 

,j^ où ce fécond Courrier attrapera le premier. 

Soit X le chemin que le fécond Courrier fera 
avant d'avoir attrapé le premier , il eft évident 
que ce chemin doit être égal à celui que le prt* 
mier Courrier avoit fait pendant Tes 9 heures 
d'avance , plus au chemin que le même premier 
Courrier fait pendant le temps que marche le; 
fecondCourrier.Pour trouver d'abord le chemin 
que le premier Courrier avoit fait pendant 9 
, heures , îl faut faire cette proportion * ou ré- 
glé de trois* . • . \ . 
Comme 2 heures font à J lieues aînff p heures 
font à un quatrième terme qui, fuivant les règles 
connues en Arithmétique, fe trouvera en multi* 
pliant le fécond terme y de la proportion parle 
troifiéme^^, &cn divifant leur produit par le pre- 
mier 1 ; & qui fera par confequent ^ nombre de 
lieues faites par le premier Courrier pendant \ts^ 
heures. - 

* Je Tuppolè ici , ou qu*on ait lu dans mes Elemens 
de Géométrie les Articles ix , x , &c. de la féconde Par- 
m y dans lesquels on traite des proportions , ou qu'au 
moins on pofiede bien la règle de trois expliquée dans 
to^s}es livres d*Antl|aietique. 



It ÂLG EB R E. 21 

Maïs comme en Algèbre on veut écrire ton- Manière 
jours le plus courtement qu'il eft pofEbfe fes ^'^^^'\^^^ 
opérations» voici comment on dénote cette proponiont 
•proportion; cuAigebic. 

beiircf Ileoet hearer- iceuct 

a : s=z p : ^ 

Les iîgnes : fervant , l'un à comparer 2 à j» & 
l'autre p à ^ & le figne == fervant à marquer 
Tégalité y qui doit être entre le rapport de 2 
à j & ccluidcpà^. 

Pour trouver enfuite le chemin que le même 
Courrier fera pendant le temps que le fécond 
Courrier fera le chemin :c , on cherchera pre- 
mièrement le temps qu'il faut au fécond Cour- 
rier pour faire le chemin ;ir ^ ce qui fe trouvera 
par cette proportion j 

heures llcnet heures lieues 

II : ) =Ar : UL 

par laquelle on apprend que fans s'emBarraf- 
fer du nombre de lieues contenues dans^Cj il 
fuffit de multiplier ce nombre par 3 & de le di- 
vifer par II , pour avoir le nombre d'heures 
^u'il faut au fécond Courrier pour le parcourir. 
Sans faire attention maintenant fi le nombre 
d'heures exprimé par -j^x t& conaû, ou s'il eft 
incounu, on fera cette proportion. 

heures iieoes heures lieues 

dont le quatriénie terme \{ x exprime le che- 
min du premier Courrier , pendant le tenaps -^x 
c'efl-à-dire avant d'être attrapé. 

*I^ ce moyen oaa U même quantité exprî^ 
mée de deux façons différentes ^ car le cbemio 

B iij . 



22 E L E ME N S 

du fécond Courrier a premièrement pour ex- 
prefîion x , en fécond lieu il efl la fomme des 
^ lieues d'avance qu'avoit le premier Courrier 
fur lui , & des ^ x que ce même premier Cour- 
rier devoit avoir fait , jufqu'à ce qu'il fut attrap- 
Fé. Egalant donc ces deux exprenîons , on aura 
Equation a: =:^-H [|; a: qui donne par les 
règles précédentes a: = 70 ■+- f • 

XXIII. 

Si le premier Courrier, outre l'avantage qu'il 
a d être parti plutôt , avoir encore celui d'être 
parti d'un lieu plus avancé , la ^ueftion , quoi- 
que plus compliquée , feroit aifément réduite 
aux mêmes principes. 

Que le premier Courrier par exemple allant 
en Efpagne , foit parti d'Orléans le lundi à 8 
heures du foir en faifant 7 lieues en j heures ; 
&que le fécond Courrier allant après le premier 
foit parti le mardi matin à lo heures de Paris , 
fuppofé à 34 lieues d'Orléans , en faifant 13 
lieues en 4 heures , on demande le lieu de leur 
rencontre. 

Pour réfoudre cette queftîon il faut prendre 
la différence de 8 heures du foir, à 10 heures 
du matin 9 ce qui donne 14 heures; 6c comme 
le premier fait 7 lieues en 3 heures, on aura par 
cette proportion 

beures Jieues heures lieues 

3 : 7 c= 14 : |i lefquelles étant ajoutées 
avec les 54 lieues d'avance donneront 34 ^^ 
ou ~ lieues pour la diftance de Paris où étoit 
le premier Courrier , lorfqùe le fécond eft parti. 
Enfuite on fera comme ci«deiiùs cette propor- 
tion. 



Jf A LGE B R E, 23 

Il eue* heures licuet bcorct 

Ï3 : 4 ==:Ar: -^ x nombre d'heu- 
res nécellaires au fécond Courrier pour £dre 
le chemin x. 
Mais pendant ce même nombre d'heures j!e pre- 
mier Courrier aura &it un chemin qu'on trou- 

henrei lieuei beorea Ueiie« 

vera aînfî 3 : 7 =ta ^ jr : ^x 

L'on aura donc l'Equation atb y| jr -4« ±^ 
d'où Ton tire par les réglés expliquées d-deilus 
jf = 25 5 •+- 7^ , chemin du fécond Courrier | 
lotCqvLÏL aura attrappé le premier. 

XXIV. 

Lorfque les premiers Algebriftes ont eu trou- 
vé la folution de quelque quefiiqn qui les inté- 
relfoit, ils n'ont gueres manqué d'en faire diâfé- 
rentes applicaitions en variant les nombres don- 
nés dans c^ queilions. Par exemple ils auront 
xepeté plufîeurs fois la queAion précédente » ei^ 
changeant les rapports des vitdfes des Cour- 
riers 9 & la diftance entre leurs départs. Dans 
ces différentes applications ils ont (enti qu'il y 
avoit une partie de l'opération qu'on repetpit 
à chaque exeipple particulier du même Problê-* 
me^ ^ qui pouypit fe faire une fois pour tou- 
tes çn ch^rdtiant quelque folutign où rpn nç Çk 
refli^gnit point ^ tel ou tel nombre par^cqlier^ 
mais tmi fm générale poiir tout nomore doxméf 
Four faire voir ce qu Ûs ont imaginé à ce fujet» 
iiou$ allons reprendre le Problême précédent^ 
& le traiter le plus géncr^emem qii'xi nous fera 
poffiblo* 



a4 , E L E M EhT S 

Solution du Soit exprimée la diftance qui eft entre le$ 

prl:^édcnt ^^"^ Courricrs par la lettre a 

P"s généra- oti fera de cet a le nombre de lieues qu'on vottr 
fcmwK. dra, lorfque la queftion fera pouflee j[ufqu*à 
la fin. • 

Soit exprimée enfuite le nombre d'heures 
dont le départ du premier Courrier a précédé 

celui du fécond par la lettre • B 

Que la viteiTe du premier Courrier foît telk 

qu'il fafiè le nombre de lieues c 

pendant le nombre d'heures d 

Que la viteffe du fécond Courrier foittelle 

qu'il fafTe le nombre de lieues e 

dans le nombre d'heures / 

Soit enfin comme dans la folution particulière 
le chemin que le fécond Courrier doit faire pour 

joindre le premier . x 

UsVx^icJe% ^'^* ""^ attention qu'on a cormnunément 
lettres de dans l'Algèbre , de prendre les premières lettres 
î^llt ^prL' '^ >^ ^^ > *c, de r Alphabet , pour exprimer les 
Tnçt ce que quantités connues & les dernières s ^ t,Uy x\ 
^X""^^' ^^' pour celles qu^on cherche, 
«ierçj pour Pour trouver préfentement à l'exemple de la 
cwwSpw^ méthode qu'on a fuivie dans l'exemple précé- 
dent , le chemin que fait le premier Courrier 
pendant le nombre a heures B , il faudra chercher 
le quatrième terme d'une proportion , dont le 
premier terme ibit le nombre d'heures d , le fé- 
cond le nombre de lieues r, le troifiéme le 
nombre d^heures B, & il eft clair que cette ope- 
ration fe fera , comme dans toutes les autres rè- 
gles de trois en multipliant le fécond & le 
troifiéme terme , l'un par l'autre, & en -divifont 



leur produit par le ffremier terme. 

Quant à la manière d'exprimer le produit de Le* lettre* 
ces termes qui ne font plus comme ci-defliis des ''" ** *"" 
chififres . mais des lettres propres à exprimer des «n fig"'": 
nombres quelconquesjce qu'on a trouvé de plus "**"•* *""* 
fimple c'eft de placer à côté IW de 1 Wre , m^lftuc:, • 
les lettres qu on veut multiplier , à l'égard de la 
divifion,nous avons déjà vu qu'en Algèbre com- 
me en Arithmétique , on mettoit une barre ho- 
rizontale entre ks quantités qu'on veut divifen 

Par ce moyen la proportion précédente s'é- 
crit ainfi ^ : ^ = i : li 

Ayant donc -^ pour exprimer le chemin que 
le premier Courrier a fait avant que le fécond 
foit parti , fi on ajoute à ce chemin la diftance 
a qui étoit entr'eux , on aura pour le chemin 
d'avance du premier au moment du départ du 
fécond , . . ^-H^Lf 

Pour trouver enfuite le chemin que |e pre- 
mier Courrier fait pendant que l'autre court 
après lui & qu'il parcourt x ; commençons 
ainfî que ci-dcffus paï trouver le temps que le 
fécond Courrier met à parcourir Tefpace x, ce 
qui Ce fera par le moyen d'une proportion . . ^ 
/ :f=x : ii dont le premier terme fera le 
nombre de lieues * , le fécond le nombre d'heu- 
res /, le troifiéme le nombre de lieues x Scie 

quatrième Ol le tems cherché. 

Or quel que foit le nombre d'heures ^ qu'ait 
couru le fécond Courrier pour attrapper le pre^ 



a^ EL E MENS 

mier , on fçait que fi on fait une proportioil 
dont les trois premiers termes foient i ^. le nom- 
bre d'heures d^ 2". le nombre de lieues r ; 3 ^. 
le nombre précédent^, le quatrième terme 
fera le chemin que le fécond a fait dans le même 
temps que le premier Courrier a fait x. 
Cette proportion s'écrira ainfi li : r =5= -^: 

rx^ nombre de lieues faîtes par le premier 

d 
Courrier pendant que le fécond parcourt x. 
Mais le chemin du premier Courrier ajouta 

avec le chemin ^ ■+■ -y qu'il avpit d'avance , 

doit égaler le chemin du fécond, ^ 

On a donc l'Equation jr x5=;=^-+--y -+-^X ^ 

Si on fe reflbuvient des opérations des frac- 
tions , on doit fçavoir que pour nmltiplicr une 
fraôion comme | par 4 il feut multiplier le nu- 
mérateur * & écrire if^ ou ^. De même 
pour multiplier^ par c il faut multiplier c par 
fx 8c laiffer le divifeur c , ce qui donne ^ pour 

* On doit avoir vu dans T Arithmétique, que le numé- 
rateur d'une fraaion eft le nombre placé 4u dèflus de la 
barre, & qui fert de Dividende; de même quon ap- 
peUe dénominateur , le nombre qui eft au deffous de U 
barre & qui fert 4e divifeur. Les opçwtions d Anthmeti- 
que que je fïippofeici, & dans beaucoup d'autres en- 
droits de cet ouvrage , font expliquées affei dairemept 
dans plufîeurs livres. Pour éviter cependant aux Lec- 
teurs la peine d'y recourir. Je vais en peu de mots rap- 
peller ces opérations & les raifoos fyf kftuelks elles 
font fondées» 



D* A LG E BRE. ay 

cxtl. On fçaic de plus que quand on dîvire 
une fraâîon comme | par un nombre quelcon* 
que comme 6 , il faut multiplier le dénomîna*- 
teur 5 par ce nombre 6 > ce qui donne *rjf^ ou 

.•^.De même pour divifer la fraftioa ^-i^par 

^ il faut écrire î^. 

a e 

Pour mulûpUer une fraâton telle que 1 par a on 
multiplie le numérateur 5 par 8 9 & l'on écrit leméoie 
di vifeur 7 fous leur produit 40, ce qui donne 1^ la raij. 
fàn en eA claire, car 8 fois 5 lèpdémes doivent &ire 
40 Septièmes » comm» 8 fois f grandeurs quelconques 
font 40 de ces mêmes grandeurs. 

Pour divifer | par 4 9 il feut écrire (bus le numéra- 
teur 3 le prodmt 10 de 4 oar le dénominateur r , ce qui 
donne ^. Laraifonen eft que x cinquième devenant i 
vingtième , lor(qa*on le divine par 4^ 3 dnqmémes doi- 
yent devenir % vingtièmes par la même divifion. 

Pour multiplier ^ par | on multiplie les numérateurs 
^5 & 8 , & on divife leur produit 40 par le produit 41 des 
dénominateurs 3 & ;r ce qui donne ^» Cette operadon 
eft Fondée fur ce que le produit de y par j doit être 
3 fois plus petit que celui de 8 par j , mais 8 par :^ 
a donné ^ doncf par \ doit donner le tien de ^ c'eft- 
â-dire 77. 

Enfin pour divifer \ par ir îl ^^ut multiplier le nii- 
merateur j de la première fradion par le dénominateur 
1 1 de la féconde^ & divifer leur produit j 3 par le pro- 
duit 10 du déf^ominateur 5 de la première ftaâion Se du 
numérateur 4 de h fecondé , ce qui donne H» Opé- 
ration dont on voit la raifon en remarquant que -i divi- 
fés par 4 donneroient 1^ & que 1 divifcs par -4- qui font 
IX fois plus petits que 4 doivent donner un quotient ix 
fois plus grand, ç'eft» à-dire H* 



^8 E LE MENS 

Ayaot aiofi changé TExpreffion précédente 

cx^ en l/f TEquation qu'on doit réfoudre 

eftxsssa'^ j^^^S^* Opération qui de- 
mande qu'on commence , aînfi qu'on l'a ensei- 
gné Art. XVIII. par multiplier tous Jes termes, 
excepté le dernier par le divifeur d e afin de Fô- 
ter de ce terme.. 

Nous aurons par cette opération dex =s 

ade^ i^ -j- cfx ondex =za d e ^b c e 

m\mcfx à cattfe que -j^ efl la même chofe 

' que boe puifque la quantité^ c e refte la mê^ 

me lorfqu'on la multiplie & qu'on la divife par d. 

Paflànt le terme cfx dans le premier mem- 
bre on aura de X'-'-^cfxzssade'^bce. 

Afin de trouver x dans cette Equation, nous 
remarquerons que fi nous connoiiuons les nonn 
bres de , Se cj qui expriment ce que contien- 
nent d^x les termes dex ^ Sa cf x^ nous retran- 
cherions le fécond du premier, & que le refte 
qui exprimeroit la quantité d'^ contenues 
dans le premier membre de l'Equation, ferviroit 
de divifeur au fécond membre pour avoir hi 
valeur de x* Or fans connoître les nombres^ r, 
& r/, il efl clair que i r—r/ exprime leur dif- 
férence , & par conféquent la quantité d'^ que 
contient le premier membre de l'Equation dex 
*-^ cjx :s=::ad e^^bc e. Donc x a pour valeur 
ce qui vient en divifant le fécond membre par 
ce nombre d e •—* cf. Donc x s= ^^^J^^l} 
& c'eft là la folution générale du Problème pré- 



icatxon 



jy A LO EBR E. 2f 

Cèdent , car qu'on fçache à préfent ce que c?eft 
que ayb^c,d,e,f,on n'aura plus qu'à en faire 
Tufage indiqué par cette valeur générale de x, 
€'eft-à-dîre, multiplier fucceffivement a^ d» r> 
TiMi par l'autre : ajouter à ce produit celui que 
Ton a en multipliant fucceflîvcment h,c, e,Sc 
divifer la femme de ces deux produits , par le 
nombre qui eft la différence du produit de c par 
f au produit de d par e, & l'on i^ura par cette ope- 
ration telle folution particulière qu'on voudra. 
XXV. 

Suppofons , par exemple , comme dans l'Art. Appiicatic 
xxiii. queladiftance entre les deux Courriers 4^ i» foï«- 
foit de 54 lieues , que le premier Courrier foit dcn« àdel 
parti 14 heures plutôt que le fécond , qu'il faflè nombxci. 
7 lieues en ^ heures , & que le fécond fàflè i j 
lieues en 4 heures , on aura 

tf=^34,*==i4,r=±=7 

qui donneront ii ^ r =3= 34X 3 x i j, tfeft.a-dire 

z=: 102. X I } = 131^^ 

Ar^==5i4-><7Xi3 = i274. 
1 & par confequent ade^^icc == i^oo 

I ^^=35).r/=28&partanti/<r— r/=:ii 

'où l'on tirera ^= — JTZTf^ ^T^=^3o+ TT 
ainfî qu^on l'a trouvé dans F Art. xxîit. - 
' Si on veut enfuite tirer de la folution gêné- j^^^ ^p 

! xale le premier cas calculé dax^s l'art, xxii oq les pUauon. 

1 'deux Courriers étoient fuppofés partir du mê- 

me lieu , ie premier ayant % heures d'avance , 
Se une vîteffe capable de lui faire faire j 
lieues «a % iieiircs ^ tai^s que Je fecQod ca fait 



30 E LE MENS 

Il en }• On aura dans ce cas •••••;«.••« » 

& fubftittiant ces valeurs dans la formule gêné- 
raie ou valeur de x on aura ^i=^ ^Xrxn a— 

42J-r5= 7 o «-+-X aînfi ' qu'on Ta trouve dans 

Tart. 3CXII, On fera de même tant d autres ap- 
plications qu'on voudra. 

XXVI. 

On n'a pas eu plutôt trouvé la manière de ^é* 
tiéralifer un Problême en fe fervant de lettres 
au lieu de nombres, qu^on a prefque toujours 
pris les Problêmes dans leur plus grande géné- 
nlité , il faut donc accoutumer lés Commen- 
tons à les traiter ainfî. Dans cette yue nous ait 
Ions réfoudre le Problême fuivant. 
Rowlmc*"^ Ï7» Ouvrier peut faire un certain ouvrage ex^ 
frimé far a dans un tems exprimé far bi un 
fécond fait 'ï ouvragée dans te tems AyUntroi^ 
fiéme V ouvrage e dans le tems f, on demande 
queVtems il faudra à ces trois Ouvriers tra- 
vaillant enfemble four faire V ouvrage g 

Soit X le tems dierché on aura Touvrage 
fiiit parle premier dans ce tems j en faifant la 
proportion fuivante : 

b:a:=zx:^'' 

On aura f ouvrage fait dans le même tems 
par le fécond Ouvrier en faifant la proportion 
d: c=zx: if 
d 
ËRifin on aura l'ouvrage iait dans fe même tems 



IfALGEjaRE. jf 

par le troiiiëme Ouvrier par le moyeo'de cette 

proportion / icsszx: —• 

Donc -j ^-4 — -H -T- cft Touvrage des trois 

Ouvriers travaillant enfemble pendant Je tems 
cherché , mais cet ouvrage doit égaler^ » on a 

donc FEquation -^ -f- —^ 7-- =/• 

f d à ^ 

Pour la refondre on multipliera fuivant les 
principes de l'article xYiii. toute l'Equation 
par le produit /^^ des divifeurs, & Ton aura 

edfix cdbfic . axfdb , .- ^ r 12 - 

-r-T- H J — H-^-y- = Wj^ qui fe réduit 

à edy.v^Jchx^adfx =Jèd^ , dans laquelle 
remarquant que edb^fcb-^adf doit expri- 
mer le nombre àîx contenu^ dans le fécond mem- . 

bre , on aura, a: ±=: --^12 . 

hde + hcf+adf 

XXVIL 

Pour faire quelqu application de ce Problême, ^^^^ ^ 
jfuppofons qu'un Maffon ait pu faircy pieds cou- '^™'^- 
rans d'une muraille en j jours,qu'un fécond Mafr 
fon en ait pu faire 10 pieds enj jours,& un troi- 
(iéme 1 1 en4 jours ^ on demande le tems dans 
lequel ces trois Maflbns travaiîlant enfemble 
feront i ^o pieds courans de la même muraille^ 
On aura par ces fuppofitioiîs , 

- /»=4, ^=1^0, 
«: partant ^ ^/^t=ïyx 3 X 4.x 1 5*0==: pooo 
W<f=5'x3 X ii=zi6^;h cf=sx 1 0x45=200 
adf=zjx^ X 4^=84, ce qui dônnerû pour la 



i« ELEMENS^ 

valeur de *, oap ou 20 -h i^ nombre de 
jour^ dans lequel l'ouvragç propofi^ fera fàitt 
XXVIII. 
ABtwexçmt Çoppofbnç majntçnant qu*on demande en 
' * quel tems un relèrvoir de 2ao pieds cube; 

fera rempli par trois tuyaux dont le premier 
pourroit remplir p pieds cubes en a ^ jours; 
Je fecopd i j pieds cubes en 3 y jours , & Iç 
troifiéme 19 pieds cubes en ^ i jours j . . . . 
4iiç=p>- 4=2 i oui,-tf=:i5'ji«=3i ou 'i. 
«e=Ip;/= ; ^ ou V ,-4=x=200,' 

Par les fubâitutions on aura .... .... 






;,ioobQ 

devient ^^^^^^ 

5> f O lf7Ç i8yo 

Pour réduira cettç quantité je multiplie le nu-, 
ipcrateur & le dénominateur de ^a première fraq- 
tion du divifeur pçir ^ ; le numçrâteur & leden 
liominateur de la féconde par j ; & le numéra- 
teur de 1^ trûifîéme par 2 j» ce qui change la 



^uantitq 



eû^ 



iiooco 




47*5 . 5 7 «q 



*X?X^ 1^3^^ 

nombre cherché des jours qu'il faudroît pour 
remplir le refervoir donné en laiff^Ptcouler les 
trpis tuyaux \ la fois^ XJ^IX, 



# xxix. 

' t)a vok par les deuk Problème^ précëdeQs 

iqueles règles qu oo a donùées ( art* x & fuiv.) xèt tti\t% 

pour réfoudre les Equations humériques du ^^'^^^^^^^^ 

premier degré peuvent également s'appliquer pour les e- 

aux Equations littérales, mm on. voit en ^ê- 2^^°,"* ^*" 

ttie-tems que ce& règles font trop fuccintes pour 

que les Commeoçans n'ayeAt pas befoin qu'on 

les conduire encore dans la manif re de les eni<' 

ployer , nous nous croyons d'çutaht plus obli-^ l^appUea* 

ses à Its aider par un grand nombre de ces ap- "jl'îj'^ S** 

!• • '^ 9 A ^ V v\ X r règles â don* 

plication? y que c eft probablement a un pareil né naiaan(i« 
travail qu on doit plufieursopératlonsd'Algebre.^^ç"^^^^^ 
Ires-utiles, que lious allons pour ainiî dire dé- de rAige^ 
couvrir chemin fai&nt. ^'*^' 

Soit propofé de réfoudre l'Equation- lac^ 
tfi -^— ^ Arç=t 5 iîr -l-j 2 tf *• -*— y ^ i *t— ^x 

Je commence par palTer les termes ^ ac SC"'^ cxe^^e^L 
j^a^ dans l'autre membre de l'Équation en les léfoiution 
changeant de iîghe ce qui me donne 2ac^ah ^t^SSu"* 
w-u ^ a: ^-*- 3 ac>^^ai?ii==s2axt>'^dx, Jep^fle 
de même le terme ^-^ax de l'autre côté en ob- 
fervant auflî de changer fon (îgpc , ce qui me 
dontie i\iC'^ah'^-^^ac^jabi=:itaX'-^ 
dx»^ax; Je réduis ehfuite Cette Équation, 
i^ En ajoutant ab avec jaè ce qui me don-* 
lie 6a b^ 2* En mettant *— ^^ au lieu des termeâ 
SLacSc*^ — ^aci 3^ en mettant j dx au lieu 
^t2,âx ^ax i ainfî l'Equation propofée de* 
vient ôab--^ ac^s=s,i ax-^^dx qui doûnô 



»4 



E LEMENS 



K 



X XX. 



% 



Dctnddmc Sait S aB-^2ax^:^ b dt=r i a è ^f d St 

exemple àc^jb d-'-^^ac — dx; les termes $ ab^^^^bd 

S'Siri^s deviendront — j .xi -h 3 * d en paffant dand 

Httcrakj. le fécond meiïibre & les termes — - j ^ ^ — ^ a? 

deviendront ^j^^ax^dx en paffant dans Ic 

premier ; on aura donc 2 ax^^ a x-^ d x == 

i*3f*-4-7irf— ^^•— i* ab'^ ^ bdqui Ce 

féàuit à 7 ax ^ d X =:iobd*'-^^ a b^^a c en 

mettant jaxkh place dc2ax^^ axjiobd 

à k place de 7^^-4-5 i^, &--^3 ab à la 

place de aab^-^j ab. • 

Dégageant préfentement x de cette Equation 

on aura x = ■ , i 

XXXL 

- Rééiaion ' thXi^ la réfolutîôrt des deux Equations' pré* 
4c$quiiuité$ cédentes on a eu bèfoîn de réduire à une plu^' 
fim^ie^ix- fiwpl^ expreflîon différefls termes de même ef- 
f^cffion. pecetelsque2^r& — 3 aci ^ ab Se ab Ôcc* 
totûmt cette opération eft prefque toujours né--' 
teffaire dans les Equations à réfoudre & dans les 
. très parties de T Algèbre, les Cohimeriçans 
doivent chercher à la pratiquer facilemejir. Pour 
leur en donner le moyen , voici quelques exem- 
ples. 

Soifiy/aJ^r— I ^bcd — J abc-^l^bcd 
— 5 ^ bf^ç abc'+'6 chia réduire. 
* ' On prendra dabord les termes i^abc,'^—- 

-jabc Se çabc qui font de même-^'efpece , 
& on ajoutera les deux termes i fabc & 
^abc qui fon^Fun & l'autre pofîtifs , c'eft*à*** 



«Pè , àfiëôés du figne H* ; on retranchera en- ontbpeUé 
Tuite de leur fomme laauelle eft ii^tc, le terme tennes pofi- 
^abch caufe qu^il eft faégatif ou précédé du ^^,'^^ 
lîgne.*-î- , moyennant quoii jutc fera ce que dh àc -h 
deviennent les trois termes i ^aèc — -jaBc'^^^^^'^ 
>^^ahc. De la ihême manière au lieu décéda 4c -« 
s^rr^^*^ t ) ^ri/ on mettra i 6 1^ c «/. Quant 
aux termes -^^abj ic 6chi oui font fculs 
de leurs efpeces , on les écrira tels qu'ils font> 
teînfî la quantité réduite fera l^aic-^i6hcd 

Soit \ab-i^^ac^\axi^^ad-^'^ah 
«+-f tfAT^onaura eùréduifant *,^ iï^-+-^aj^ 

La quantité aàed^^^^ acb-^-^j dcd^ 
^ach^i^S hfi deviendra en réduifant «--•if c d 
^^'^T.ach^'i-^CBJi qui étant entièrement né^ 
gative 5 montré que la quantité qyon Vouloit 
réduire ren£^olt plus de négatit que Àt po^ 
iîtif. 

Il eft à pl-opos d'avertir ici tjtie la réduAîott 
qu'oh vient d'a^prehdre dans les exemples pré-^ 
cédens > eft abfofument la même règle que celle 
qu'on appelle l'Addition ^ car brfqu'on fe pro- L*Àddîdôâ 
pofe d'ajouter deux quantités quelconques j il ^^^"^^ 
luffit de les écrire de fuite & de les réduire opcutiTn 
après à leur plus fimpleeipreffionî qu'oh ait be- 2^^^^. P*^** 
foin ^ par exemple^ d ajouter la quantité 6 a A— • 
j2tfr— i-3 ^<<avec ^ab^ac^^-^^ad-^bf^ 
Il h'y a autre chofe à faire que de réduire la 
quantité 6^^— i2if r*— 3 ^i^-+-3 *ï^-*-^^ 
f^^Siad^bf^Qt qui donnera doncyn^-yft 

C ij 



3<5 E L E M E NS 

ac"-^ ^ ad^bf pour la forame des de\XJt 

propofées. 

Si on veut ajouter les deux quantités 2 ^r— ^ 
^a ^-+- a f 3c ad* — fac — t af, il ne s'agi- 
ra que de réduire la quantité 2 a c* — ^ad 
•4- a f -4^ a d — ^ ac — » 1 af. Là réduc- 
tion faîte, il viendra — ^àc — -lad — af. 
On s'étonnera peut-être d'abord qu'une Addi- 
tion puifTe mener à une quantité négative , 
filais l'on trouvera bien -tôt le dénouement de 
cette difficulté en remarquant qu'il faui nécef- 
fairement, ou que les deux quantités 2 ^ ^— 
3 a d^af Se ad--^^ac —2^/ foient toutes 
deux négatives 9 ou qu'au moins Tune des deux 
foît négative & plus grande que l'autre. 

C*eft ce qu'on reconnoîtra plus facilement 
en faifant quelques exemples en nombres. Sup- 
pofons d'abord que 4=2,^^=3 , ^=4; 
/ss 5, dans ce cas aulieu de2tfr*- — ^ad-^ 
af nous aurons 12 — 14-hio ou fîmple- 
ment — 2, Se au lieu de ad---^ ^ ac-^2af 
il viendra 8 — 30 — 20 = — 42. Ainfi leur 
Tomme fera — 44,4^ on ne fera pas étonné que 
la fomme de deux quantités négatives foit né- 
gative. 

Suppofons enfuîte que ^===(5 ; r==y ; 
d==:yy /=2 on aura lac — ^ad^af= 
iSScad—*^ ac — 2af=: — J^6. Or com- 
ité la féconde quantité eft négative , & plus 
grande que la première la fomme doit être né- 
gative. 



Jff A L GEB RE. $7 

XXXIIL ' 

On demandera peut-être fi on peut ajouter comment 
du négatif avec du pofitif ^ ou plutôt fi on peut on peut dite 
dire qu'on ajoute du négatif. A quoi je réponds jSSti'one** 
que cette expreflion eft exaâe quand on ne quantité «S> 
confond point ajouter avec augmenter. Que fi*^^** 
deux perfonnes , par exemple , joignent leucs 
fortunes , quelles qu'éllesfoient, je dirai que c^eft 
là ajouter leurs biens , que l'un ait des dettes 
& des effets réels , fi fes dettes furpaflent fes 
efièts, ii ne pofiedera que du négatif,]& la jonc- 
tion de fa fortune à celle du premier diminuera 
le bien de cduî-ci', cnforte que la fomme fe 
trouvera , ou moindre que ce que poiledoit le 
premier^ ou même entièrement négative, 

XXXIV; 

La réduftîon enfeignée dans les Articles pré- 
cédens donne encore naiflfance à une autre re- 
, gle d'Algèbre , la Souflraâion; car , par exem- ^"^^^^ 
pie y lorfquc dans TEquation 2 ac^^a b — ration pj^ 

on a pafléles termes 3 ^r-— 5*^1/» de rautre gcbiiijiie. 
côté en les changeant de fi^ne , & qu*on eft 
arrivé àTEquation T^ac^^ah^-^ax — ^ac 
^ j a hr=z2aX'''^dx ou '-^ac^ôat-^^ 
ax=i2ax'-^4Ky je dis quon a retranché 
la quantité ^ac-^^^afyàtïa, quantité lac^^ab 
*—axSc quelereiîe eft— -^^•-+-5^^— ^^r» 
Car en faifant dîfparoître ac — yaB du fécond 
membre dé PEquatîbn , c'eft une Soùftraftion 
qu'on a faite de cette quantité , or pour q^e 
légalité foit confervée, ilfautau^on ait fait 

• Cii^ 



5ÎI Éil X M È Nf 

une pareille Souftraâion de Taucre côtés «lono 

-suie '-^ah ^m^ax *^^f -Wj^è ou iw^fl^^H-^^ô 

»i^4J AT eft ce qui %^ç de U quantité i ^ ^-+^^ 

«R^ ^ ^ lorfqu o|) en a 6té 3 ac-^^^^ ak- 

i^otédéde Ainfi loru]upq a deux quantités doQt Tunp 

la soBftrK^ JqJ^ ê^pe fauftr^te ^^ il faut changer les %nesi 

**^' de celle qu'on veut fouilraire , Véçrire à la fuite 

de l'autre > puis^re la réduâion des (;|uanti*r 

'< f es de même efpece j cç qui , indépepdamnien^ 

'de ce quV>n vient de dire , pQurro4( fe dçmon* 

|rer de la tnaniere fuivante. 

Soit la quantité lac^ab^sn^.a^ç dont on 
fe propofip de retraQçb(çrla quantité ^ac-r-^ 
$&b. 11 eft évident qu^ fi on vouloit retran- 
cher de la preuûçre quantité amplement 3 ai^ 
îl faudroit écrire i^CTf-^^^-^^^r-r-j 4f^ a^ 
foais ep retranchant la quantité ^ac au lieu de 
Zfc^^ab on retranche une quantité trop gran- 
" de de j- ^^ : Donc il faut ajouter les ^ah qu on 
^ ôté de trop en ôtant j^^r. Donc il fau| 

le reftè de 2aç -^ah-r^axiorfqv^oix en^ 

Afin de s^ex^cer dans cette regfe qu'on fen.^ 
J)ien devoir èu-e employée fouvent j|*ajoutera^ 
les exemples fuivans. 

De jal>rJr}of^rf^Rac'+92de Û cm 
çetranche 2 a èrrrjf^ '^froâ c ^ de y il reftera 

SfS"^^^? T?fr </^ au 3 fjf^-Hh '^îfs -^ 

9,a<^ T+-. d c^ 

De la quantité (5 ^c ^H^'5 agh^-^ iobc4^ 
^ on retranche àbc^rrrioaeb — ^agk O" *W^ 
\ ^^k^sàsO^Ç'^^Xobçi^i I tf|f 4 



I^ A L & É S R E. 59 

Î5e ta ^^uantîté 3 àc^at-J^èeû on* retranche 
la quantité -<— iir — j^^il viendra 4^^-+^ 

;\ ' XXXV. : 

Si on s'étonne que dans cette Souffaraftlon le on angmen* 
refte ^dc -+-4. àà^te foît pi» f grand que lar ^9 «««S»*»- 
quantité ^igr . | l éig lig f dont on le {yropotott de en fouftraiê 
fouôrair» «^ ir^...„| is £ ^ ce ne pourra ^0^^ qoanrité 
qu en confondantipoftrair^ & diminuer j car û. **"^^* 
on reconnoît au contraire que fouflraire une 
quantité quelconque, k par exemple,d^uûe autre 
69 c'eâ fçavoirdécombien furpaiTe 4, on trou- 
vera trèis^poflible qu'une quantité augmente par 
une fouflraâion» Qu'on d^toande, par eacetnple^ 
de combien un homme Qiipbsndiequ'iinnau* 
tre> û ce dernier n^a que des décret ^ 00 verva 
bien-tôt que P^ccès de riche(& èa premier fera 
ce qu'il po^ede plua une fomme égaie ai»if det« 
tes de f autre. \ -- 

XXXVL 

Soît propo(S de réfoudre préfénteraent TE- Troifiémc 
quation l^^U«:Ar'~-i^jJbor feire aif-ŒL"" 

paroître d*abord le divjifeur za\ on le fera uttc "ateKT" 
fcrvir fiii»ant Tart. XT^JÎC multiplicateur à , 

tous les termes de r|^<j^uaUQn3& l'on aura cat—^ 

4C r X 2 it iL^' clair tti'on fèwtm^Ute^i^aacg 
pttifque la flfis^uit w 2^ par éêc doit ^tiHi 
double de Qélui de ^r par il i^ & que k produit 



fia X ^^adxx^. fera 8aa4 j car. Ip, f pcr^t 
à&.a 4 par 4 ei^ aif^ôc celui de.4 4 4 par 2 4 
4oit être oduple de celui de a d TP^T^^i 
L'Equation eft donc changée en cx-^ 

•r-T~=;:^^'^ —rr" ^^ ^^ r-ç=5 z a- x — r.-— - 

à cauie que 4f^ ou. ~- font : la oiêin^ cbofe; 
niukipliam alors tous les teHn^S'de4:e;tte Equa^ 
tioo par % b elle . deviendra h y:c x-^^-^-^a a c 2=1 
t axxbm^^^^^X b on ^C'X-^^ aac=^2aèM 



%aahd 



^ quîfe changera ejacprpen<^i';rx ju 

-T-^^fX3rscss2 ^iiA^'.XiJ ^-^^S^ry^i^/^ou 3^rr;tf 
*r-3 4 «^r^çac 641^ crxï-^^^^ifjiCfir les pro- 
duits de <r p^r r^,i?-,:v»4f^âç ar^^ÔJç» feroient 
hc.cxy a.dpff» a).ifkcx: , &-piaF cônfêquenj 
ceuX' de 3 ^ pab IcS' mêmes quantijiésvdoivent 
ttt4 taâpi^ créft-à-dix»» 3 i ç.fXfS.aact; , 6:a(içAfi 
trabQMxfauit préfeotfiitCTt.on aura. 3 ^^^^^ Jt;*'^»^ 
6 ^ i& r 4; = 3 ^4:rf ..— ^ Saahd qui donne . enfin 

: - .iDaP5 Peiççnçîe piiécodeat , la-multîpKcattoii 

: de quelques quantités. qui contenojent les. mê- 

mes létîfçi .^ âcrn^jë 1â répétition de ces lettre^ 

dans les produit^ ^ ^[ Coitoniç les Al^ehriftes 

cherchent tôu|otii^|i'à*expfimer de la manière 

Vn chiffre ^ ?^^^ court-è y îik Wt imaginé auii^tnJerçpei 

çiacé audef ^er^uno lettre. pl^ir^cfQis de fuite ,rde. »e l'é^ 

i"ûnc^tme!«^i^ ^^ pk^bau deffus d^ 

défîgnc ce çctt^ .fett^Q; <Jfe à fa. drçiije i^n (ihi85fei:qui défîgno 

ff& iç- 1^ «>«^bre dç:iâift ^©égttA. lettre dci\a:oit ètto 



LTALGEBRE, 41 

|iét>etée^ Par-là au lieu de l'ex wtffioo nrécë- pMe de Mt 

on laita 4r«-jjps-~j^. 

Lorfque. dans uoe opération on aura befoin 
de aaa^ c'eft-Â*-dif e da produit de aa par a ou de 
à multiplié par lui-même deux fois de fuite ^ on 
mettra amplement aK De même au lieu de cccc. Et dans te 
c*. Lorfqu uoe lettre eft aînfi répétée ou plutôt ^^ *^* 
cenfée répétée à Taide d'un chifire, on ditTéetUpoif- 
qu'dle eft élevée à lapui()rance exprimée par ^*p^Pf 
Ç€ chiffie 9 Se que ce chiffre eft Ton expofant. chiffre qu'on 
Ainfi c^ ou cccc qui eft le produit de c trois fois Î^JJjf *** 
^r lui*même eft dit c élevé à la quatrième puiC- 
£mce ^ & 4 eft fon expofant. Il faut bien pren- 
dra garde de confondre les chif&es qui fervent j^ cWfat 
^expofant avec Ceut qui font à la gauche des q«i Tont à 
lettres & fur la même ligne, ceux-ci font nom- ^^^^ u^ 
mes coeffidenS ; dans ^*c, par exemple, ^.eft le gne font 
coefficient du terme , 2 eft rexpofant de a. "^a^. 

hxxyuL 

Soul'Equation _4.^=^— 3 *,^««e 
en multipliant tous fes termes ^ar le divifeurj^^, 
3*»^, onattfaa^i-»*-*- i — ^; — s=» •**"'' 

4 — •^$xxyc*d. 

Pour faire enfuitcles multiplications indi- 
quées par les fîgnes X^ nous remarquerons d'a- 
jbord que a^ multiplié »par f^d aoit donner 



41 EL È M ËHS 

pour produit a c^d , car fi au lieu de ac^ 6c dé 
c^ d on écrivoit ace 6c ccd, ainfi qu'on lé, 
pourroit f on verroit tout de fuite que le pro- 
duit de ace par ccd feroit accccd , c'eft-à-dire 
fuivant l'article précédent ac^d. Ayant dond 
tfr*^ pour le produit de ^r*par^*J, il eil 
clair que i^ac^d fera celui de j;ac* par ^c^d 
De la même manière on trouvera iSc^d^ 
pour le produit de 6c d^ par ^c^d 6c ^c^d^ 
pour celui dej^^ par3r*^. Donc TEquation 

précédente fe changera en 3Lab^x^\~^ 

isss . — g r 4 AT» 

Multipliant ehfuite cette nouvelle Equation 
par b^ elle devient a,ay^xm^i^ac^ d:=± 

— ^ — ^-^^b^c dx & multipUant de même 

cellè-ci par a^, on a 2 a^b^ x-^ifa^ c^ d =£ 
1 8 b* c^ d^^^^^ h^ a^ r* d x qui donne ert 
tranfpofant la^ b^x ^^ b"- d "- g ^ dx ts^ 
xZb'-c^â^^ — \$ a'^f^ d d'où Ton tire enfiû 

^ XXXIX. 

tncom*^*^'^* Dans les deu3f exemples précédens on à ctt 
font celles * befoiu de fçavoïr multiplier des quantités expri- 
qui n'ont n^^eg paj. ^n fîmpie terme telles que ^ad ^ 

c[u un terme. , *, , ' ,, , * * 

^c^d &c. quon appelle communément quan-« 

Muitipiica- *^^^^' incomplexcs ou monômes , & Ton a 

tion des trouvé en même-tems ce qu'il fallôit poui' faire 

1oropicx«7 ^^^^^ opération, ta méthode générale qui ré- 

' fuite des raifônïieiîienV qu'on a employés dans 



V ALGEBRE. 4^ ., . 

Ces exemples particuliers , c eft de commencer "/^^ ^^^^^ 
par multiplier les coefficiens ; d'ajouter enfuite pies prcc«- 
les expofants des mêmes lettres Se d'écrire de ^^^^^ 
fuite celles qui font différentes. Ainfi fuivant 
cette règle ^ a^ h^dxj a* bd* ==:2ia'^b^d^ ; 
\ a^ cdy^^ac^ b d=z\\ a^c^hd^^=^ 
^a}c^èd^l ^ac^dexça^jgz=&6a> ç^defg^ 

XL; 

SoitPEquation ;;:^:. 1^=1^-^ j^ ,^5^^^ 
en multipliant tous les termes par 7,b^ j aurai a Ëqaatiom 

%b^ ex loab^ , ,^ .... litteialcsi 

41% c^ '\ ' — ;• —^0 4^* multipliant en- 

Core tout des- termes par j <t . j'aurai j ^ * c H-» 
5 ^*«-* = '.1:^ — 18 tf*^» (Scfaifant en- 

C 

core la même opération pour chaflèf le divifeur 
cil vient jw«'^*-H 8^*V*Ar=.30i«*^' — » 
18 a* b^ c d'oh l'on tire . . . 4 • . . * . . Ar=à 

^b"^ c'- divifant toute la <|iiantitc ^oa^P -^ 
ïS d^b^ c -^^ ya^t"- divife chacune de feg 
parties. • ^ 

Or la Vàleiif dV ^ ainfi écrite , peut avoii? 
Une plasiîrnpleeirprefïîon fen réduifant chaque 
terme. Car i^ au lieu de J|-^ili- on peut met- 
tre '~^ parce qu'on peut regarder le numéta* 
teuti comme le produit de ;k A ^ par IJ4^^ 



. I 



44 E L E M EN S 

-& le dénominateur comme celui de la même 
quantité ib^ par 4c*, divifant donc Tun & 
l'autre par la même quantité a * * il vient 

— ^ j 1*. au heu de -gj;-r-on feut mettre -^ 

car le numérateur cft le produit de z^*^ par 
p^* & le dénominateur eft le produit de la mê- 
me quantité Q.b^c par 4 r. Au lieu de ^ ^x ^^ 7 

on peut mettre -^^^ Donc la valeur d'^ ré* 

duiteeft-l;^---— -^^ 

XLL 

La métbode qu*il faudra fuivre générale-^ 
ment dans toutes les opérations de même natiu 
re que les précédentes , c'efl-à>dire dans leg 
Divifion divifions des quantités incomplexes, eft aifée à 
iiicomp"cxcs* tirer de ce qu'on vient de dire> fur tout après 
tirée de cet avoir VU la multiplication des quantités incom- 
€xeinpic. piexes. On peut énoncer aînfî cette méthode. 
Divifer d'abord les coefficiens fi la divifion 
eft poffible , oter les lettres qui ont les mêmes 
icxpofants aux numérateurs & aux dénomina- 
leurs , divifer éhfuîte ^es lettres qui auront des 
cxpofants difFérens dans le déhominateur & dan« 
le numérateur en retranchant les plus petits 
expofants des plus grands, & en laiflànt les ex- 
posants réfidus du côté où étoient les expofants 
les plus grands. Quant aux lettres différents^ 
il dy a autre chofe à faire qu*à les copier, . 



If A L ù E B R E. 47 

Comme cette opération eft très-fouvent 
tiéceflàire ^ il eft bon de joindre ici quelques 
exemples pour en faciliter Tufage aux corn- 
inénçans. 

XLIL 

Soit TEquation ili ^-rfr=:^A:— ^r. sixième 

•^"ï' 1' • f M r j exemple <te 

Pour faire évanouir le divifeur ^ — c il raudra réfoiunoa 
ainfi que ci-deflus multiplier tous les termes ^!^^^ 
parce divife ur, ce qu i donnera aax^b-^^c 
X de -==: 6x — -ac X h'^—c ^ où j'ai ôbfervé 
ï*^ de mettre une barre au delTus de fc -*- r dans 
le premier membre, parce que fans cela on pour- 
roit croire qu il n'y auroit que c quî dut mul- 
tiplier de. 2^ de mettre des barres au deflîxs 
de i^ ^-•-^r& de i&-^r dans le fécond mem- 
bre , afin qu'on voye que ce font ces deux 
quantités entières qui doivent fe multiplier. 

C'efl une attention qu'il faut avoir toutes let 
ois qu'on veut défigher- des produits ou des 
puiflances de quantité complexes ; au lieu d'une 
barre, on fe fert quelque fois d e parenthefes. 
Aînfi a^ (^-+-^) ; ou a^X a^+^h fignifient éga- vCi^i des 
lement le prod uit de a ^ par a-^i; (^H-^ ) aêlru ' d" 
X ( ^ -H ^ ) ou a-^-lf xb^d le produit de quantités , le 

•..^— •— 3 niêmc que 
iZ-f-ib par ^-+-^; ( j^-4-^^) ' ou J^-f-^^ celui des pa- 

la quantité /;4-j;f élevée à la puiffânce dont "^*^^"- 



r 



4? ËtË M Ëtj a 

rexpofaiit cft î, c'eft-à-dîre Art. xxxvil. )i4»îiU 
tlpliée deux fois par elle même, 

11 s'agit maintenant de faire les multiptlcâ- 
rions indiquées par les lignes k. Soit propofé 
d'abord de multiplier 1/ r par é «^ ^ » il eft clai^ 
qu'il faudra multiplier 1/ r par ^ & en retran* 
cher le produit àtÀc par r 9 car ^ ***-^ étant 
plus petit que ^ de r > Toà produit par d c doit 
être plus petit que celui de h ^arc, de la quan- 
rite ex de» Donc le produit de i <— r par ^ <r 
c(k bdc •— ccd. 

Venons préfenteinent au produit de ix*--^ 
me par ^«-«-r, pour le trouver Je comnoence 
ar remarquer qu'en preùant les deux termes 

x^^a^; pour une feule quantité^ fon produit 
|>ar ^ -^ r doit être , par ce qu'on vient de voir^ 
la quantité dont le produit de tx»^^ac par 
i furpalTe le produit de ^ ^ -«-^ ^ r par r. X«a quef- 
rion efl donc réduite à deux multiollcations àé 
la nature de celles qu'où vient de teire & à une 
fouftraâion.^ 

La première de ces deux multiplications « 
celle àelfXé-^ae par^^ donnera bhxé^^ahe^ 
la féconde celle deix —— a c par e^ donnera l^ex 
*— ^ ^ r ; reft^oec à^ retrancher cette dernière 
quantité de la première, ce qui donnera fuivant 
FArt. xxxiv- lix^^atc^-^èex^ac"^ &é 
c^eft là le produit de i a: *•«— ^ r par ^ -^ r. 

De forte que TEquarionl^ -f- cdt=zb:)d 

— ./a:roui«^4r*+-r^— r x cdsssJfx^ax x h — e 
cft devenue à^ x ^b cd-^^c * ^=3= i * ^— *^ 
jïir*-r-ArAr«4-tftf*quipar les tranfpofitions 
ordinaire» donnera bcd^^-^c'^ d ^ ab è*'^ 



îf A te £ » È£. 47 

ifc*^t:iszh^x*^ècx'''^a^ x ou enfin •;».•• 






XLIII. 

Dans cet exonple nous avofis ea be(bui de Maiciiiuc»' 
former une règle d Algèbre , doat nous ne nous q^° ^"^ 
étions pas encore fervis & qui pouvant être fou- complexes 
vent utile , mérite que nous nous y *"^^ons* ^^?J^°j^ 
On appeUe cette règle multiplication des Poly. l'Art. pc6- 
nomes. Polynôme ou Quantité complexe iignifie ^^<^'*^* 
en général une quantité comporée de pilleurs 
termes. Si on vent fbécifier te nombre de termes 
^une quantité ^ on rappelle bbome lorfqu'elle 
en a deuxj trinôme lorfqi/elle en a trois» Sec. 

Afin de s^exercer à ta multiplication de ces Eitempiea* 
fortes de quantités , il lèra bonde prendre queL tio^*î2?p5î- 
ques exemples , foîent premièrement 2 a^ ^*-— lyaoïMi 
^aB^6a^ Sc^ab^-^Hieddùnt il fl^agi(b 
de trouver le produit. 

£n raiionnanr comme dans Tarticle précé- 
dent t on veita que puîfqye la quantité 5^£^—« 
jj^cd eif plus petite que ^ab"^ de ^^cd^ (on pro- 
duit par 2 4 V* —y a^B doit 'être plus petit que 
celui de iat"^ oar i ^V*— j:^'^ A-f- 6a^ du 
produit de 4M par 2 /«^r» ••XTy éf^b *^6a^. 

En eonféq uêtice /écris d^âbord ai iifi le pro- 
duit demandé 2a^c'^ — ra^^^ll^x a^i&^-— ^ 
2a^c^ — j^^*-+-6^^ X ^cd. 

Faifant préfemement les deux multiplications 
indiquées par les fignes x de la même manière 
que celles des quantités incomplexes 1 on aura 
èa^i"^ c^ — l^a^ P'+'iSa^ b ' pour la valeur 
du premier produit 2a^ ç ~ j a^b rH ^ ^^ >c 



3f« E L E ME }fS 

3 a b^. On aura de même % a^ i c^ ri -^i** 
SLoa^b"^ cd^ 2 4^^ bc à pour la v aleur du, 

fécond produit :ia'c'^ * — $ af" b'+'6a' x ^bcd. 
Retranchant alors le fécond du premier ainfi qu'il 
eft indiqué dans lexpreffion précédente , on aura 

aoa^ b"- cd-^2^^ hcd pour le produit des 
deux quantités propofées. 
XLIV. 
Si le multiplicateur de la quantité précédente 
outre les deux termes lab'^ — ^cd avoit enco- 
re contenu un autre terme, ^-. ^abc par exem- 
ple , il eft évident que pour avoir le produit to- 
tal , il auroit fallu retrancher delà quantité pré- 
cédente le produit de 2a^ c^^^^^a^b-^^ 6a^ 
par S'^bc.Car on auroit dit de même que le multi- 
plicateur ^ab^ '—^bcd'-^^abc étant plus petit 
àt^abc que le multiplicateur ^ ab"- — 4. bcd^ 
fon produit ^ax 2,a^ c^ ^ ^ a^ b'^Ga^ doit 
être plus petit de ^abc X 2. a} r*— ^iî!& -^Ga ^ 
que le produit dej^^*-— 4^r^par:iia:3^^ — ^a^h 
•+-6^^Par la même raifon s'il y avoit eu un au- 
tre terme ^7, ace par exemple , au multiplica- 
teur avec le figne j+- , il auroit fallu a jouter Ici 

produit ^ ace >^ 2a^c^^'^j a^b'+' 6 a^ aux 
produits précédens. 

En général on voit qu'un multiplicande quel- 
conque jc'eft-à-dire une quantité quelconque à 
Principe multiplier , étant donné avec la quantité qui 
d'es M^iri"^ doit lui fervir de multiplicateur , il faudra for- 
vUcations» mer tous les produits du multiplicande par cha- 
cun des termes du multiplicateur & ajouter ou 

retrancher 



iy A LGEBRÊ. 4^ 

i'i^trahcher ces produits fuivaiit que les termes qui 
les auront donnësauront le figce-f-ou le figne--^ 

Pour exécuter cette opération avec autant 
cl' ordre qu'il eft néceiTaire ^ voici le procédé 
qtfon fuiti 

XLV. , . 

Oh cohimence par écrire îe multipllcàteiùr M^ibJé 
fous le multiplicande, & Ton tire une barre fous qu'il fiwtfui^ 
le multiplicateur. Pour former enfuite la pœ-J^Jj^^^^^ 
miere Ugtie du produit que Ton doit écrire fous «ohé 
cetteiarrCjOn fnulti})lie le premier terme du mul- 
tiplicateur par chacun des termes du multipli- 
cande > en obfervânt de laiflër à chacun de ce3 
produits» le figne du terme du multiplicande, fi lô 
premier terme du multiplicateur n'a aucun figne^ 
& eft p^r confequent cenfé avoir le figne ■+-. ^ 
Pour former enfuite la féconde ligne qui doit 
être écrite fous la première , on multiplie le fe-» 
cond terme du multiplicateur par tous les ter-t 
mes du multiplicande, &fice fécond terme du 
multiplicateur a encore le figne H- 3 c^eil abfo-^ 
lument la même opération que pour la première 
ligne , mais s'il a le figne •^— , à chacun des pro- 
duits dont cette ligne eft composée» on met un 
figne contraire à celukdi^itfwn^i^du Inultiplican- 
de auquel il a rapport, routes les autr& li- 
gnes du produit étant formées de la même ma*» 
hiere , par le moyen des autres termes du multi- 
plicateur multipliés par tous ceux du multiplia* 
cande , on tire une barre & Ton fait Taddition 
ou iréduâion de tous ces produits particuliers $ 
la quantité qui vient alors eft le produit total 
demandé. 

D 



yô È L E M E N s 

Nous venons de fuppofer que le premier ter* 
tne du multiplicateur avoit le fîgne H- , fî ce- 

J)endant il avoit le figne — , on voit bien qu'à 
'égard de ce terme comme à Tégard des autres 
qui auroient auflî le figne —, il faudroit obfer- 
ver Je prendre les fîgnes contraires à ceux des 
termes du multiplicande en écrivant le produit 
^e ces termes. 

XLVL 

i^T^mt^o" ^^^ d'éclaircîr cette méthode applîquons-là 

^e précéden- à uu exemple , foit propofé de multiplier let 

«mp^ ^' deux quantités 2ab* — ^c-^ad & ^ah — ^ac 

-4- 2ad. La première étant prife pour le multi-^ 

pîicande , & la féconde pour le multiplicateur » 

on écrit cette dernière fous Tautre & on tiré 

en fuite une barre fous ces deux quantitésj voy eas 

la première café de la table ci- jointe. 

Cela fait, on remarque que le premier terme du 
hiultipUcateur eft cenfé pofitif , & que par coiiJ 
fequent tous les fîgnes deis termeç de la premiè- 
re bande du produit doivent être les mêmes 
que ceux du multiplicande. On écrit donc fui- 
Vant cette remarque à la première ligtte fous 
ia barre \t premier terme 6 à" h ' que donne le 
produit de 3 a:^*J>afSM*»Wans Taffeôer d'aucun 
ïîgne, ce qui eft la même chofe que fi on lui 
donnoit le figne -J*- . 

On met en fuite — pour le figne du iècond 
ferme de la même bâhde > parce que c'eft le fî- 
pjne du fécond terme dU multiplicande , Se on 
fait fuivre ce -— de l 2 ^* i r produit àt^a c 
Scde^dk. On conférée de même le figne H^ 
du troifiéme terme du multiplicaade pour le 



IfALGESkE. XI 

troifîéme tarme de la première bande da pro-^ 
duit^ & Ton écrit pour c% terme ^a^bd pro- 
duit de ad Sl àt ^ab. La première bande du 
produit étant ainiî achevée , on remarque que 
le fécond terme du multiplicateur a le figne-^^x^ 
& que par confequent il faut Changer tous les 
iîgnes du multiplicande pour former les terme» 
de la féconde bande du produit. Ainfi le pre^ 
mîer terme de cette féconde bande doit avoir 
"♦— qu'on écrit donc devant le produit lo^* bc 
des deux termes ^^{^, ^^c. 

Le fécond terme de la même bande devant 
avoir H-* puifque lé fécond terme du multipli-* 
cande a le figne — , on écrit donc ce figne-f- 
devant le produit 2oa^c'^ des deux termes 

Le troifiéme terme a dàn multiplicande ét^nt 
précédé du figne-i-^ le troifiéme terme de la 
féconde bande, fera donc aficâé du figne — * 
qu'on écrit devant le produit j^* r<< des deux 
termes^»?, j^r. 

Quant à la troifiéme bande du produit cher* 
ché^ conime le troiiîéme terme du multiplica* 
teut a le figne -4« y il faudra garder tous les fi- 
gues du multiplicande^w| 8 r.<»a»K:onfequent le 
premier terme , c'eft-à-dire le produit àeaab 
& de nad , fera ^a'-bd précédé du figne H- , 
le fécond, c'eft-à-dire le produit àe^ac & de 
naditr^^a^cd précédé du figne — , & le 
troifiéme , c'eft-à-dâre le produit de 2àd par 
ad fera 2a^d^ précédé du figne •+-• 

Afin que les Commençons puîffent fe fortifier 
dans la pratique de cette règle , j'ai joint dans 
c .. Dij 



ya E L E M E N S 

b même Table quelques autres exemples 
XLVII. 

Sixième Soit l'Equation ^^'^l*^^"^'^' =!=uix-^ai 
^SiSn * OÙ fera d'abord évanouir le Divifeur d — c en 
d'iîquation» multipliant ax'—ac par «i — c.&c l'on aura 

ouab^ ^abd*-^abx^=iadx-'^acd — • 
a cx^^acc qui > enpaflant tous les termes af- 
fcftés tf AT d'un CQté & les termes connus de 
l'autre, deviendra ab^'+^abd-^ac ^'— - ace 
ac= aix'+'a ^ ^ — - acx d'où l'on tire . • • • 
X est: ^^^+'^^t/ + ^f/ — ^f* 

«ï 6 + 4 </ - — aç 

Dans cette expreiSon , une certaine relation 
qu on apperçoit entre les termes du Dividende 
Se ceux du Divifeur , peut faire foupçonner que 
la Divifion fe feroit exaâement ^ & invite pat 
confcquent à tenter cette pperâtion,qui doit pa- 
rbître affez.aifée à faire après avoir vu celle de 
la multiplication dont elle eft Tinverfe, 
Manière Pour reconnaître donc fi en effet ab-^a d 
défaire la^ — - ^ c pcut divifer exaftement^ ^"^ r^abd 
alquéeVans ^ucd — ac-. Soit d'abord divifè un des 
cet exemple, termes de cett^^ igiçrg^ uantité par un de ceux 
de k première > loït divifé ab^ par a b par 
exemple & foit écrit à part le quotient h. Soit 
enl!uite multiplié ce quotient b, ou plutôt cette 
première partie du quotient cherché, par le Di- 
vifeur total a b'^ad*~^ac , & foit retran- 
ché le produit ab ^'•+r abd-^^abc du divi- 
, dende , le refte a b^ -+- abd-^acd — ac^ — ab*' 

^^^a b d -f- ab c^ ou a c dr^^ a c"^ -^ab c^ fera 
encore à divifer par le même divifeur « & foa 



Csfe I. 






Café 2« 






*io^'iJr*-4-iliiV4 



5'^^-^3 ^r — ce Café 4, 
ahc • — ■ 3^' «4- c^ 



ac^ -l-c* 



7 Café y. 

1-3 ^iA^y— .5iîî^jr — ^9^ V* 



Î[uot!eût devra être ajouté au précédent B pour 
ormev le quotient total cherché. 
Pour faire cette divifion je prends encore un 
, des termes de la quantité ^^TT-^r '+^kç.qni 
refte à divifer , & je le divife par un de.ceui^ an ^ 
Divifcur.Ie chpifîs 4 c rf, par exemple, pour le 
divifer par ad* Ox cette divifioame.do^nie ^; 
je multiplie donc encore ce li.oavcau quotient 
par le drvifcuBt€!ital a^tm^^ad^-^^nac, & j« rei^ran- 
che le produit h c-^a c d-^^ ac^dn di^id^nde ^ 
reftant à c d.-^a c- -H ^ b c &'Comnxe jes. deux 
quantités font>lçs mêmes & qu'il ne refte par 
conféquent riea à divifer.'^ jje vois par là que 
i-^c t&. exaôemént le quotient de la divi(iaiv 
àcah^ ^abd^-^acd-'^a e^ par a b^^a dr-'^^tC 
& partant la valeur dV. 

XLVIIK 
Après avoir feitila divifion précédente , on 
voit à peu-près comment on doit fe conduire 
. dans les autres exemples» Pour opérer dans la géîîérîe ^*^ 
diviiion avec un.'certain ordre, on écrit ordinav po«r !« di- 
rement le divi&ur à droite du Dividende en les J^nSt/s^ 
féparaût d^une baiïe verticale >. ainfi que dws complexe»* 
la diviîîon Arithmétique.. Ayant choîfi dans le • 
Dividende uatermç iui Dinfl^ uit 

de ceux dadivifcurVoifêcmle quotient de ces 
deuxtermesfousledivir^ur., <t on lui donne ., 
^ pQUir fîgne> fi les deux terities qu'on ^ diyifé- 
Tunpar Tautre ont le mênie figoç , Qn lui donne 
au contraire le fîgne -— , fi ces deu» termes 
font de fignes difiersns.Çela fait on, multiplie ce 

2uotient par tous les termes dn divireur> & oa 
crit le produit aul en viejc^ fc^uj; le divid^iideu 

Diij 



J4 lE L E MEUS 

- Mqis comme l'ùfagô de ce produit doit être de 
le retrancher du mykknde , oh obferve en ré- 
crivant fous ce dividende , de mettre à.chaque 
t^rme le. figne contraire de celui <juc donncroit^ 
^ la multiplication. 

Ce produit étant ainfi écrit, on tire une barre 
:& Ton fait la réduftion avec le Dividende,& la 
quantité qui refte eft à divifer de nouveau par 
le m^me divifcur. On y choifit de niême un 
« terme qui puiffe fe divilér par un de ceux du 
divifeur , & on écrit le terme qui en vient pour 
quotient à eôté du premier ,• en obfervant de 
Jui d<!)nner le ifign^-^ou le figne— fuivantque 
les deux termet; qu'on aura dî vifés,(eroat de mê- 
*^e ou de \ difiërens fignes. On multiplie enfuite 
ce terme par tous ceux du divîfeur , & on écrit 
le produit fous la quantité à divifer , en obfer- 
vant de même :qtieïa preniiere fois de chinger 
les fignes que la multiplication donne; Tirant 
alors une barre & réduifant , fi tous les termes 
ne fe détruifent pas , on écrit le refte fous cette 
barre & on pouflè l'opération de la même ma- 
nière jufqu'à ce que tous ies termes du divi- 
dende foient évanouis. 

Dans cette oggif^iof^n pourroît quelque- 
fois être embarralie VcRoifir paimi les termes 
Mtmere ^^ dividende 8c du divifeur , ceux i^ui doivent 
i'évitcrtoutfervîr à former les termes du quotient. Afin 

tâtonne- ,, , . j' * * • • • 

ment dans la ^ cviter tout tâtonnement dans ce choix y voia 

^vifîon. ce Won a imaginé. 

On choifit d'abord à volonté une lettre qui 
le trouve dans- le dividende & dans le divifeur^ 
<& l'on dlfpofe les termes xlex^e^ deux quantités 



ly A LG E BRE. yy 

de maniéré que les premiers foieat ceux où cette 
lettre a le plus grand expofant , que le fécond 
foit celui ou la même lettre a le pu)s grand ex« 
pofant après le premier & aiaii des autres ter- 
mes. Ayant donc ordonné ks deux quantités Ceqiiec'ca 
propoféespar rapporta la mêm(elettrey(c'eft aiofi ane^t^ntU6 
qu'on appelle cette opération ) on n*a plus aucun P»r nppon i 
tâtonnement a taire pour chotur ks termes qmi 
doivent fedivifer , c^eft toujours les premiers du 
dividende & dudivifeur qu'il hut prendra. 

Lorfau^on aura formé par ces deux premiers 
termes du dîvifeur & du dividende le premier 
terme da quotknt ^ & ou'on aura écrit avec çks 
lignes diâereos ^ le |Hroduit fous k dividende» 
sTil arrive qijie cette opération aie introduit des 
termes qui n'ayent point de femblables dans le 
dividende ^ Ulaudra^ en écrivant la quantité oui 
vient après la réduâion ^ avoir l'attencion deles 
placer de manière que la quantité qui refte à di- 
vifcr , refte tojujours ordonnée par j^appoct à la 
mcme lettre que le diviféur. 
XiLIX. 

Afin de faciliter aux commençaiis l'ufage Àe . AppUc»- 
cette méthode > prenons quelques exemples, méthode^ 
5uppofons id'ftUard qu'il s^airifle de divifer la précédente i 
quantité ^laaii^È^f ^2^b^ ^«ncxemplc. 
^iaè^ -r— t3 a.^ b par laqoanmé ^^-3 ab 
'^a^aa^^ib. - « 

Ayant écrit ces deux^qmntités » comme on 
Jes voit daiis laTable cy-jointc ( café 1*'* ) , où 
elles font ordonnées par rapport à la lettres» 
je divife le premier terme 2a^ du dividende 
par le prettiier ^aaduàmCeut , & j'écris h 

D iiij 



r(J EL E ME N S 

quotient aa fous le divifcur fans lui donneraU-- 
cun figne , c'eft-à-dire que je le fais pofiut a 
caufe que les termes %a^ ^ Se 2aa iont pren 
cédés des mêmes Agnes. Le quotient ^-« étant; 
écrit , je le multiplie par tous les termes du di- 
vifeur , & comme cette multiplication doit i^e 
donner pour premier terme 2,a^ produit de aa- 
f2Lt^aa avec le figne -h , je porté ce terme 
fous le dividende avec le figne -^ à caufe qu U 
doit être retranché. , • j 

De même le fécond terme ^ba^ produit do 
aa ipsiv iha devant avoir le figne -«^ par la mul- 
tiplication ; j'écris fous le dividende -+•• } ^^ 
par la raifon au il doit être fouftraît. Enfin par 
ce que le troihéme terme 4 fc ": /« "^ produit de aa 
par 4 hh devroit avoir par la multiplication le 
figne -+- je lui donne le figne— i- en l'écrivant 
fous le dividende. 

Cela fait je tire une barre & je réduis, la quan- 
tité qui refte alors efl: 10 ka^ ^27^'- a ^ --»k 
58 e ^a'^2/y b ^ qu'il faut divifer par lemêrae 
divifeur 2 a"^ — 3 i& a'-^\,bb. Pour faire cette 
•divifion je prens le premier terme 10 A^' de 
cette quantité à divifer , & jç le divife par le 
premier I terme 2,a\à\x divifeur, il vient ^ b a 
pour quotiçût aS^é^j^Sonne le figne — à 
caufe que les termes lO i& ^ ' & :? -e ' ne font pas 
précédés ^s mêmes fignes. Ayant écrit -f^sk ^ 
è OQté de^ *, il s'agit 4^ multiplier ce nouveau 
terme du quotient par tous ceux du divifeur , 
Jk d-en changer les fignes en les jécriyant fous 
-Ja. quantité à divifer. 
. Je multîpUe. donq d'abord $b4 par xa \ ôç 



D' J LGE B R S. ^7 

comme lé produit devroit être négatif à caafe 
que le figne -^^ de ^ ba doit changer , fuiyant 
les règles de la multiplication , les figaes du mul- 
tiplicande 2 a * —3 i.^r4-4 ^ * & que fuivant 
ce que nous venons de dire les produits doivent 
être changés de figne lorfqu'on les écrit fous 
la quantité à divifer, j'écris -4* lO-^^ ^£mi8 
cette quantité. De même au lieu de donner à 
.i.5i&i& 4^, produit d^^ hapat 51^4, lefîgne«4^ 
que l'on auroit par la multiplication je l'écKig 
avec le iigne — - fous la quantité à divifer. £nfin 
au lieu de donner à>20 1 ^ a produit de (^ par 
4 hh le iîgne«i-«f que demanderoic la multiplica^ 
tion je récris avec le figue -f- fous la quaatité 
à divifer. Je tire alors une barre 8c je réduis, ce 
qui me ^onne 12 ifr * ^ * -r— ï8 b^ a^oj^b^ 
quantité encore à divifer par x a ^-^^iba t 4 fcfe, 

Pour faire cette nouvelle divifîon , je divife 
le terme 12 6"^^ ^ par i ^ ^ & j'ai, pour troifiémc 
terme du quotient yô^b que j'écris à côté des 
deux premiers en lui donnant le /igne-^ à caufe 
que 12 b^ a^ Sciaa ontlc même fîgne. 

Multipliaiît préfentement 6i&*par z^* j'ai 
I2b^a^ -auquel je donne le fîgne — en Técri-» 
vant fous la quantité à divifer , à caufe que la 
multiplicatioivlui auroit donW le figne-f-» De 
même nuiltipliant 6b^ par ^b a ]^v lib^ ^ 
auquel je donne le iîgne *4-» en récrivant fous 
la quantité à divifer, à caufe que la multiplica- 
tion lui aurok donné le figne---»* Enfîa-mukt* 
pliant 6 bb par 4^ ^ j'ai z4 ^ ^ auquel je donn^ 
le figne—^ contraire à celui que donneroir la 
multiplicaûpa* il^ui&ot alors j.e ycisqgç tQW 



St E L EM ENS 

les termes fe détruifent. Donc la dlvîfîon eft 
exaôe. Donc le quotient cherché eft ^^•— 

h. 

Autre Qu'on fe propofe maintenant de dî vîfer 6 b^c 

exemple. .— t "^ ^.^^l;cbbf+4 c * pat^-J c b^bb -+-2 ce. 

J'écris ces deux quantités fous la forme qu'os 

voit dans la féconde café €e la TableXuivantfe , 

en les ordonnant par rapport à la lettre c. 

Divifant alors les deux premiers termes j'ai 
ticc pour le premier terme du quotient lequd 
étant multiplié par le divifeur donne ^ en chan- 
geant les fîgoes, k quantité^— 4 c^ ^6bc ^— • 
^bcc qui étant placée fous ledividende^ donne 
pour réAe 6 i&^ * — n bbcc -+- 6b^ c-^b^ dans 
iaqueUe j*ai obfervé que le terme bc ^ affeâé 
de c ^ introduit par la multiplication ^ fut placé 
le premier afin que la quantité reftat ordonnée 
par rapport à c. Divifant alors ce premier terme 
6b c ^ par 1 ^r j'ai 3 ^r pour quotient avec le 
iigne -H • J^ multiplie de même ce nouveau 
terme du quotient par le divifeur , & je porte 
les termes qui en viennent fous le dividende en 
changeant leurs fignes, Faifant la réduâion en- 
fuite , Je n'ai pliïSnqùe -^z bbcc ^^b^ c — h&* 
a diviler , le premier terme de çecte quantité 
étant divifé par celui du diviieur , <lonne pour 
troifiéme terme du quotient b ^ afieâé du 
fîgne — à caufe que les termes tb^ c'- Sc2c^ 
font de difiërens ngnes > Se comme le produit 
de*ce troifiéme terme par le divifeur détruit 
tous ceux de 1^ quantité à diviièr, je conclus 



S'A LGEBRE. J9 

qae la divifion efi exafte & que 1 cr •-}- ) ^c 
— - h^ e&le quotient demandé. 
LI. 
Lorfqu'oû veut ordloaner le dividende 6c le Attention 
divifeur par rapport à une même lettre., fi on ^jr en'oiV 
trouvoit pluiieurs termes ou cette lettre^ fut éle- ^^JJl"^^ 
vée à la même pniflance » on tomberoit encore piatous le^ 
dans rinconvenient du tâtonnement # à moins ^^ 
qu'on n'ordonnât encore ces termes par r^ 
port à une autre lettre coomuine aux deux quan- 
tités. 

Suppofons par exemple que le dividende é- 
tant ordonné par rapport à ia lettre d on eut de 
fuite ^.accd^"^'^ * d^ •«- ^aacd^ ^a > d ' pour 
les premiers termes du dividende ^ ôc que daœ 
le divîfeur on eut de même aad"- m^ced -*«« 
aacd pour les premiers termes » en arrangeant 
ainfîcesdeux quantités a^ d^t^^^^c/iad^ '^ 
i^ccai^^^cH'iaW' — ir^^^HiptrJVeft- 
à-dire en les ordonnant par rapport à la lettre a^ 
il n'y auroit aucun tâtonnement à cndndre en 
£iirântladivi/ion.5 pourvu qu'on obfervat, à 
chaque fois qu'on voudroît trouver ua terme du 
'quotient ^ que: la quantité i fiivifer fut toujours 
ordonnée de la méi|ie manière. Pour exercer 
les commeoçans à ces att^emiôos dans la dtvi^ 
iion y fai' joint encore quelques exemples 4iaa$ 
la Table âkivame. 

LU. 
Dans la folution des Problèmes préoédens 
nous n'^aivgns en befoin^que d'une feule incon- 
nue , parce qu'il n'y ayoit à proprement par- 
ler dans ces ProtAêmes ^u^e quantité à uour 



6o E LE MENS 

ver* Mais Comme en avançant dans la (cience 
de TAlgebre , on trouve des Problèmes où Ton 
eft obligé d'employer plûlieurs inconnues , nous 
• allons voir comment on les traite. 
Problème Etant dônnécf Us féfantetirs Jfécifitjues àc 
^m?io^c ^^^ matières qui entrent dans un mixte , h^ 
deuxincqa- viflume & le fotds total du mixte , trouver cc^ 
^^^* qtiil tntre de chacune de ces deux matières dans 

4e mixtes 

Que le nombre de pouces cubes contenus^ 
dans ce mixte , ou en général fon volume de 
quelque manià'e qu'il foie mefuré foit exprimé 

par .a. 

Que fon poids total (bit exprimé par ..... Ik 
Que la quantité de la première matière conte- 
nue dans le mixte^ par exemple ce qu'il y a de 
pouces cubes de cette matière >. Toit exprimé 

•par ..........:.....'.• Xi, 

Que le poids d'un pouce cube de cette mdr 
tiere ou en général fa péfanteur fpécifique foit r; 
La quantité de la féconde matière ....••. y. 
Sa péfanteur fpécifique » • « • • ^ . . . . • . . d\ 
On aura pour le poids de la quantité de la 
preihiere matière qui entre dans le mixte ..ex 
Car (i X exprimé le nopbret de pouces cu- 
bes de cette mauere,. & c le poids de chaque 
X pouce cube , leur poids totalfera. le pxoduijt de 
ces deux nombres. On aura .de même pour le 
poids de la quantité. de. la féconde matière., dy. 
Or comme èès deux poids doivent étant 
ajoutés faire le poids total du mixte ^ona dooa 
lË^uatioA 



Pag. ^0 






Cafei: 



c-j^b 



I acc-+-3*f— ^* 



Café 2. 




o 



r»i» 



1^ 



Café j. 



mais tette Equation ne fçauroit fuflîre pout 
ré foudre le Problème , car iî on veut en dé- 
gager l'une des inconnues, x, par exemple » on 
trouve 

c 

^ui ne peut apprendre à connoîtrc x qu'en fup* 
pofant qu^oh connoifle y. 11 faut donc en- 
corc.quelqu'autre opération pour connoîtrejy. 
Pour y parvenir, il faut voîrfî on a fait atten- 
tion à tout ce qu on demandoît dans Ténoncé 
de la queâion , ou > pour parler comme les Alge- 
{>ri/les , /i on a rempli toutes les conditions du 
Problême ; pour peu qu'on y reflechifle , on 
verra qu'on n'a exprimé qu*unc des deux con« 
ditions , celle que le poids total du mixte foit 
if & qu'on n'a pas employé celle qui nous ap- 
prend que la quantité de la première matière 
ajoutée avec la quantité de la féconde doit 
faire le volume total. On aura donc par cette 
féconde condition l'Equation 

x'+'y=a 
qui , ainfi que la première , iie nous apprend la 
valeur de a: ^ qu'au moyen de celle de y, en noua 
donnant ^=çn=tf—-^jr. 

Mais fî on ne peut pas par aucune de ceç 
deux Equations prifes féparément trouver x 
indépendamment de j, on trouve bien- tôt en 
fe fervant à la fois de Tune & de l'autre , le 
moyen d'avoirjy entièrement connu. Car puîf- 
que chacune de <:es deux Equations donne 
une valeur de at , on peut égaler ces deux va- 
leurs, ce qui dpnne l'Equation. 



62 EL È M EN s 

c 

âe laquelle on tire par les méthodes précédentes 

ou enfin j^a= t^Ej^ . 

y étant connu on voit bien que x qui cft éga- 
lement a — j^ ou 7~-^ eft connu auflî. On 
n'a donc qu'à mettre dans celle qu'on vou- 
dra de ces deux quantités , dans la première 
a^'^^y par exemple , à la place d^y , ~^^ 

& Ton aura a — 7—7^ P^iir la valeur de x. 
En examinant la valeur précédente a — 
; ' lZ^ on découvre bien-tôt qu'on peut la ré- 
duire, car fi on veut mettre a au même dé- 
nominateur que la fraftion '"~t'> il ^^ut le 

multiplier par c-^^d ^ ce qui donne ^''"^ ■ 
au lieu de ^ ^ ainfi il ne s'agit plus que de re- 
trancher de cette fraftion la féconde ^' ^ :» , 

retranchant pour cela leurs numérateurs , & di- 
vifant le refte ogr le den(gminateur commun 
on aura li.=if4f^ilJ±±. ou ^^ pour la 
valeur réduite de a*. 

Les quantités demandées > tant de la premiè- 
re que de la féconde matière qui entrent dans 
le mixte , font donc exprimées l'une par ^j^^ 

& l'autre par jEt ^ ainfi le Problême eft ré- 
folu. 



jy A LGE B H E. 6i 

LUI. 

Si au liea de fubftituer la valeur S-^ 

C —' il 

^ey dans a-^^ 5 on l'avoit fubftltuëe dans 
tziiZ qui e A égalemeut la valeur de x on au- 

roît eu \ ■■ qui d'abord ne paroîtgue- 

res être la même valeur que ^^^ ; Mais 
comme on fçaît que les valçurs a — j Se 

^ / de^ font égales, & quecetfeft même 
que parce qu'elles le font qu on a déterminé la 
valeur de jr, on doit être sûr qu'en examinant 
ces deux dernières valeurs de x exprimées en 
quantités connues , on trouvera leur identité. 
Voici comment , on peut parvenir à réduire 
Funeà l'autre. 

On donnera d'abord le dénominateur r — » i| 
à la lettre b, ce qui fe fera en la multipliant 
par r — d, c'eiî-à-dire en mettant ^ ^ A^ au 
lieu de ^^j& alors la quantité précédente 

"- — — - fe ch^gcra en- ■ ^^^ — ^ 




^^ -^ 77=Tr^^ - y '"aïs au lieu rfxi^^I^ 

on peut écrire àcd-^^B d , Ôc comme cette 
quantité doit être retranchée de h^^bd^ la 

quantité précédente ^'"^fzj^ ^ ^"^ deviendra 
donc en réduifatit, ^'^^ qui en divifant le nu- 
mérateur & le dénominateur par la même quan"; 



64 E LE M È JsrS 



tité c , devient enfin ^-—^ même valeur qui 



çy-deffùiji 

LIV. 

Application PoUr faire préfentement une application d* 
Id^^^fécé- '^ folution générale qu'on vient de trouver, 
dcntcl un fuppofons que le mixte foit comporé d'br & 
exemple. d*argent , * que foh poids total foit de 3 o onces, 
fon volume de 3. pouces cubes , le poids du 
pouce cube d*or de 1 2 - onces , celui du pouce 
cube d'argent de 6 f onces 
on aura a = 3 , i& 2^=30, r±=l2j, irfr=(5| 
fubflituant donc ces valeurs dans les deux for- 
mules générales x == - ^ - ^ & j = y___^ 

elles deviendront Jir z= yj 8c y =: || c'efl-à- 
diré que le mixte contiendra ^ pouces cube^ 
d'or & tI pouces cubes d'argent. 
LV. 
On découvre aifément par ce qu*on a vu dani 
le Problême précédent , que toutes les fois 
qu'on aura employé deux inconnues dans une 
queftion, il faudra deux Equations pour les dé- 
gager; & que lorfqu'on demande deux quanti- 
tés dans un Problème , i^faut auffi qu'on donne 
deux conditions pour les déterminer , afin qu*oa 

* Le 1?robléme qu'Archimede eut àréfoudre , lorf- 
qu'oit lui propofa de déterminer la quantité 4'argent qui 
étoit allié avec Tor dans la Couronne du Roi Hiefon j 
ne pouvoit pas être autre chofe que celui qu'on vient 
de vçir aufli>tôt qu'il eut déterminé la pé(anteur (péci- 
fique du métal de cette Couronne , c6 qu'il fit en exas 
minant de combien elle perdoit de fon poids en la péfant 
jjaftsïeatt. 

puifTc 



ï^ A LGÈÈRÊ. iSf 

pmik tirer d^ ces deux confUtions les deux équa- 
tions néceîTalres. Pour montrer à employer ce# 
conditions nous dpnneroi^s encore le- Problême 
fuivant. 

LVX 

DtH^ forces éftd €oulnu chaame kmfninkr» Aatté?M«. 
>nem i ont rempli enfembU un refervair a , 7*u»* i»^^^^ 
€n coulant fendant un iems b , t autre fendant àen incoa* 
un tems ç$ les deux mêmefources ont rempli UH^^** 
^utre refervoir d >. la prendereccoulant pendant le 
tàns^^ J4 Jeçonde pendatft le iems f : on de* 
m^nde la dép^nfe, de chactfnp de cesfourçes., 

Soient x &ycès déperifés , c^cft-à-dirè , par 
exemple ^ ce que chacune de ces deux fources 
^urDiroitldemuids d'eau, par jour en fuppo-^ 
îant que \tt réfervoirs aèid tuiTent mefurés 
en itiuids-pendaftt-que les tems^|i-> < >/, ferôient 
comptés en jours. 

^; On aura 4^ ^oui; la quantité d'eiati iFourtiîe 
par la première TôurCe pendant Je tems^j & 
de même . cj pour la quanfiti^ d eab fournie pajf 
la ifèôonde fource dans le tetns f . Mais Ces deux 
quantités* d*éàu par la première Condition du 
Problême doivent être égales au refervoir a , on 
a:doiic:£Ë({iiiacioQ ^' .> x ' f' ' • ' -^ 

.) -v ç- 'i^'x-^cyi^si^^^y. ■'. v:'-. 

On àurade'«HCRiei;r j />• Jiaur les quotité* 
d'^eau-fouraièsipar les ncicnatès ibnrcès pendant 
les tems e , f, ôcçta confeqiicnt la! féconde cdn^ 
ditibn 'doopffty î ' '-' ^ ••'• • ^ -^''v 

% Il ne Vagit pin» màinteitalDi| que de ûtet de 
ees deuic^ fiijmubnf' le^ivaleurs de a- & âe J^ 



€6 E L E M E N S 

ce qui fe fera , aînfî que daûs le Problème fré* 
cédetît y en tirant une valeur de ^ en j» de cha»- 
cune de ces deux Equations & en les égalant 
cnfuite. La première, fera ^^^ la fecoBde--^^^ 
égalant donc ces deux valeurs on aura ^^ =sss 
^^^^ ou a e^-^^eytssbd — bfy , ou rf^— • * ^==r 
fey-^-^fy ou enfin 

y — 77-Ï7* 

Subftituaht cette valeur de jy dans Furïe 4c» 
deux' valeurs; précédentes de ;r, dans^^ pat 

exemple , il viendra ji^ s= ' ' ' ■ ou 

jr ?==a 1y^^^/'^ ^^.?'/," -^^ en mettant le pre* 

^ Xce-^bf 

«nier terme ^ au même dénominateur que le 
fécond , & en multipliant les deux dénonuua* 
teuj's l'un par f autre. 

Faifant enfuité les multiplications indiquée» 
4âns cet^ valeur Se réduifant on aura 



Il n'efi donc «plus queikon' inainttôant que 
Savoir les valeurs particulières de a, byc^d^ 
€yfi pour les fubâituer dans ix$ deux valeurs 
générales de x &dej^ 9 afin d'oi tirer, telle fo- 
iution particulière, qu'on voudija. 

An lieu de commencer par dégager x dans 
les deux £quatiodis préâë^entes^ & d'égaler 
bs deux valeurs qof elles donnem:, afin' d'avoir jr 
S efi clair qu^on pouvait egalenKCnt conpiezhr 



ly ALGEBRE. 67 

cer par dégager jf en égalant eafuite fesdeux 
différentes valeurs pour en tirer x , Se que par 
cette opération on^feroit parvenu néceiTaire- 
ment au même refuftat. 

LVII. 

Pour fiure préfentement quelque application de ^u rîSSme 
ce Problême , fuppofons que la première four- précédent 
ee ayant coulé deux jours & la féconde trois , ^^ ooaéta. 
elles ayent rempli un refervoir de 195* muids. 
Enfuite que la première fource ayant coulé cinq 
jours y & la féconde quatre » elles ayent rempli 
un refervoir de 3 30 muids. 

On aura donc a == ip y » i s= z 9 c = ^ 
i<ss= 330, <=;•,/== 4 & par confequent 
d(^ — ^^/=2io, et — ^ji==7,tf e— i<A=3ij^ 

^ïï la preitiiere fource dans cet exemple four- 
nit 50 muids par jour & la féconde 45. 

IiVIIL 

Suppofons précisément qtfc la première Autre 
fource ayant coulépendant 4 jours & la féconde ^^^^ *' 
pendant 5 jours^ elles ayent rempli on refervoir- 
de iio muids. Enfuite que k- pcemiere ayant > 
coulé } jours & la féconde 7 ^ elles * ayent' 
râtnpJi un refervoir de i^inuids* 

On aura dans ce cas ossri^o , Ikbss^ , cssssS: 
d=i ipo , €s=s3 ,/=p 7 & par confequent d c 

Eij 



«8 E L E M E NS 

ceqw4onûera y == i^^'! e- l£5 

* c e—of — 1 O 

SînéuUrité ^^ t)reinîere fbis qu*on aura trouvé de feni* 

des expref- blables valeurs^ c'eft-à-dire des quantités né \ 

arriv^danT g^^ivcs divifécs par des quantités négatives , & 

v'tfc exemple, des poiitives diyirées par des négatives, on aura 

dû être embarrafTé à fçavoir ce qu'elles dévoient 

lignifier , & ceux qui auront craint de faire. 

- de mauvais argumens methaphyfiqueç , auront 

cherché à reprendre la queAîon un peu plus haut>. 

afin d^éviccr ces fortes de divifions ; Voici , par 

exemple^ ce qu'on aura pu faire pour cela dans 

cette queflion çy» , 

Màiïiereàe O" aura/epris les deux Equations générak^, 

teconnoitre hx^ cy=^^ ^ÔCéX '+*fjl = J , & fubftituantv 

^euTent** ^^^^ ces équations pour a 9b ^ç ^ d^ ^ yfy le«, 
iigni£cr. valeurs que ces lettres ont dans cet exemple^ 
on aura eu 4 :v' -+- 5j =±=t 110 & 3 ;ît i-|-.^^ 
5== ipo» Tirant de ces Equations ^ =55 jo •*-., 
IZ & x=z i^ ;^ i y ^ PU aura égalé ces deuic 
valeurs , ce qui aura donn^ 30 — ^ ttsiiLâS — 

Subftituant cnfuîtc cette vakur jde y dans. 50 
-f-.| jy valeur de Xy on aura eu x «= 50 -^ &) >. 
c'«ft-àh dire x.'^stt. — j a. Par cette voye on auia^ 
vu , fans.ert pouvoir douter, qtielc. quotient de 
— 400 par -.i 6 cft -+* 40^ ic que celui de -4r^ 
5<oo:par ^ — 10 eô — ;o»^ • . 

glSSr^'' On .aura biSén-tot après regardé çonu^e^eil 



]y jfLG E B R £r. 69 

jw-încîpes généraux que Éoncemant 

le -4- divifé par le -+• tlonnoît le -+• ^^ fi?»« ^^ 

le —H divife par le -*• donnoit le — - tigcoduio^ 

le — divifé par le -f- donnoit le •— 
le -— divifé par le «^ dôhnoit le ^ 
& de même pour la multiplication. 

Ces principes auront été d'autant plus facile» 
à imaginer qu'on y étoit comme conduit y par 
les reflexions qu'on avoic dû faire fur les fignes 
qu'on trouvoit aux termes des produits & des 
quotients^ en pratiquant les préceptes donnés 
pour la multiplication & pour la divifîon des. 
quantités complexes. 

Mais s'il eft facile qu'on fe doute pour ainfî 
dire des ces principes y on fent bien aufli qu'oa 
ne fçauroit les affirmer qu'après y avoir fait 
beaucoup de reflexions , & il y a apparence que 
les premiers Analyftes n'en auront été furs qu'a- 
près les avoir vérifiés dans beaucoupd'exemples. 

Four nous a/Iiirer que la multiplication de — ond6moc^ 
par — doit toujours donner •+- au produit , trc ^^ j"*^ 
voyons quelle lumière nous pouvons tirer delà "^hd^ quoi- 
méthode générale des multiplications donnée ^"ccciquan- 

Art. XLV. Suivant cette méthode on voit très- foicnt^précé- 
clairement que le produit d'une quantité telle déci de ticiu 
que a ^- b par une autre r— ^^ doit être ^^— - 
hc-^^ad '^bdy & on voit par confequenl en 
même tems que le terme i^^ qui eft venu par la 
multiplication de i& & de ^ a le iigne -4^^ tandis 
que fes produifans b ôc d ont le figne — ^. Il 
nerede dpnç plus qu'à fçayoîr ii lorCque deufX 
quantités négatives telles que ^bSc-^d ne&r 

E iij 



70 E L E M EN S 

ront précédées d'aucune quantité pofitive y lertr 
produit fera encore ^bd. Or c'eft ce dtent il 
eft facile de reconnoître la vérité , puifque la 
méthode par laquelle on a découvert que le 
produit de iï-^é ^zï C'—détoitac^-^bc—ad 
-+- bd ne fpecifiant aucune grandeur particu- 
lière ni à 4; ni à i& 9 doit avoir encore lieu lors- 
que ces quantités font égales à zéro ; or en ce 
cas le produit a(>—4fc .-^-mad-^hd fe réduit à -H 
bd^ donc— ^X — ^=:-+-i^. 
LXI. 
tes amtcs Quârit aux autres cas, c'eft-à-dîrc à la mul- 

^"mre-" tiplication & à la divifion de -f-par~ on les 

loicnt de juftlfieroit de la même manière. 

même. LXII. 

Pour revenir préfentement à notre dernière 

application du Problême précédent, remarquons 

Comment qu'après avoir trouvé que Jkr=— 3o&jy=: 

^ativê'qZn i^ *^' ^^ ^ ^t *Y^"^ «ncore une autre efpece 
a trouvée re- d'embarras , c'étoit de fçavoîr ce que fîgmiîoit 

Wème!^'°" ^^^^ ^^'5"^ ^. ^ * P^"^ *® découvrir furement , 
le chemin ou'il eft vraifembiable qu'on aura 
tenu , c'eft de remonter aux conditions du Pro- 
blême ou, ce qui revient au même, auxEquations 
4^-f-^jf=i:20&3 Ar-^.7j^=i9oquiles 
expriment alors ? & de voir comment les va- 
leurs — jo&-4-4ode;f& de^ conviennent 
à ces Equations* On trouve premièrement que 
4 X doit être en ce cas— 120 & que 6 y eft 240, 
a où par confequent 4 .v *+-6 j eft -— 120 
-H 24b qui eft en eôèt égal à 120. On trouve 
demêmequej^r-t-yjp^ --—pO -4-^ 280 qui 
fe réduit à 1^0. 



ffALG EBRE. 71 

Voyaût donc comment les valeurs "-«--5 a 
& -H 4Q de AT & àty > fatisfpnt aux Equations 
4Ar-+-^jrs=i3^o &3^-lF«7j^t=ipo, oa 
découvre en mérae-tems comment elles ô^tls^ 
font aux conditions du Problème; car puifqufs 
fufage <jue l'on faiit des quantités ^xSc^ x 
oui exprunent alors les quantités d^eaa depen* 
Ues par la première fource> dans la première 
& dans la féconde opération , eft de les retrati* 
cher de 6y 8c de jj qui expriment les quari- 
tités d'eai^ fournies dans les mêmes opérations 
par la féconde fource 3 il faut que dans ce cas j^ 
on regarde la première fource comme déro- 
bant de l'eau aux refervoirs » au lieu d^en four- 
nir comme elle faifoit dans Tautre exemple , & ''\ 
comme on f^voit fuppofé en exprimant les con- 
ditions du Problême. 

Uon voit en cette occafîon un exemple de I^ 
généralité de l'Analyfe qui fait trouver dans *n 

une queftion des cas que 1 onn'avoitpas prév& 
dabord pouvoir y être renfermés. 

J.XIII. 

l^ns prèfque toutes les queftions rétblues 
généralement , on a trouvé des cas de môme na- ^^^^ 
lure que le prêchent , & l'on en a toujours mut négtd- 
conclu , que lorfque la valeur de Hnconnue d^- y^/c^cprî , 
venoit négative ; la quantité qM ^}lc çxprimoit fes dam un 
devoit être prife dans uu fens contraire à celui ^^^f^'H 
fuivant lequel on l'avoît employée en expri<> l'énoncé di« 
mant les conditions du Problème. Problème.. 

Ce qu'on vient de dire des inconnue^ ^ fe 
doit dire auiS de^ connues >.c'efl.àrdire quQ dao^ 



7à È L "E M E N f 

îi en cft de les applications qu'on fera d*une folutlofl g^fté- 
fomwt^^ raie, fi on fait négatives quelques-unes des. 
' quantités données -» , * , &c. dans les^ Prôblê^ 
mes, cela fignifierâ que dans l'açplication par- 
ticulière , ces quantités doivent être prifes dan& 
un fens contraire à celui fuivant lequel on les 
prenoit dans la folution générale* 

xxiv. 

Bxomt>ic de Qu'on fe propofe , par exemple ,. de trouver 
l^^tzt ^quçUes doivent çtre dans le Problême précé- 
connues fai-'dent Ics dépcnfes dcs deux fources., pour que 
t« n g^n-. j^ féconde fburnilTarrt de l'eau pendant 6 jours 
. tandis que la première en dérobe pendant ^ 
jours, un refervoir de 1 80. rauids foit rempli j 
& que la première fource enfuite fourniflànt de 
J'eau pendant 3 jours & la féconde çeodant 4 
jours, un refervoir de 32oinuidsfoit rempli. 
On n'aura qu'à faire dans la folution géné- 
rale 'a==:lSQy t^=^ — ^,,C=z6^ d=z^io. 

Et l'on aura d c :=si (^20» a f==:y 20 ycessss 18 x 
^/=-=5 — 12, ae^t=zj4,o y ^^=;— -pôo„ 
& par conféquent fir-r— r.^;=f:ïiQo, c tf— -^/ 
i=z ^o ^ a eyr-'dirs^zi^oo y^ui donnent ^= 

lefquelles on apprend que la dépenfe de k 
première fource eft de ^ muids parrjour , 
îbit pour dérobçr comme elle fait dans la pre- 
mière opératton > foit pour fournir aînfi qu'il 
lui- arrive dans la féconde 5 & que la dépenfe 
^e la féconde eil dejo muids par jour qu'elle 



If AL G E BRE. 7| 

foarnît 'dans chacune ^les deux opérations. ïl 
étoit fi naturel d'imaginer que £ devoit être 
négatif dans cette ap[dic^tion >& (î aifé de s en 
affurer en remontant à Fufage qu'on fait de cette 
lettre en exprimant les conditions du Problême, 
qu'il eft inutile de s'arrêter à le faire voir. 
LXV. 

Pour faciliter aux Commençans la manière 
.d'étendre les folutiohs des Problêmes aux cas 
où les quantités dojnnées font prifes dans un 
fens contraire à celui où elles avoient été prifes 
d^abord , nous prendrons encore un exemple 
dans un autre Problème que le précédent , nous 
^reprendrons le Problême de l'art, xxiv. où il 
s'agit de trouver la rencontre de deux Cour- 
riers , & nous chercherons à tirer de la folution 
générale cellfe du cas fuîvant. 

Deux Courriers font à la diftance de 5*0 Âatrcfxfm- 
lieues , l'un étant par exemple à Lille , l'autre pic du même 
à Paris. Le premier part de Lille à 5 heures du ^antifé" 
foîr pour aller à Paris en faifant 4 lieues par connuei fai- 
heure. Le fécond part le même jour de Paris à vc$." ^*"' 
1 1 heures du matin pour aller à Lille , Se fait 5 
lieues par heure, on demande à quelle diftance 
de Paris ils fe rencontreront. 

En comparant cet énoncé avec^eluî du Pro- 
blême général , on voit d'abord que la* lettre r 
3ui exprimoit la marche du premier Courrier 
ans un tcms donné doit être négative, puif- 
que dans la folution générale , on fuppofoit que 
le premier Courrier s'éloignoît , & qu'il vient 
dans ce cas-cî au-devant du fécond. O n voit en- 
fuite que la lettre b qui exprimcit U nombre 



5Î 



4 E L E M EN ^ ^ 

*heuf es d'avance du premier Courrier doit être 

auiC négative, puifqu'il eft parti plus tard. 

Ainfi on n'aura qu à faire dans la formule gé-* 

, / I a de -f- y c e . ^ 

générale x^ de^cf> ^=yo,^=— 5> 

r=:-p— 4,^=s:i,e=3 ,/c=ï , ^ Ton aura 

^ __. T oXiX^ — ^X— 4X3 MO+<e 8 

4X3 + 4X I '^^ 5+4 

s— ^— -. = 3 6 - qui apprend que lorfque le 

Courrier de Paris aura fait jdf lieues il aura 
joint celui de Lille. 

LXVI. 
Un des ufagcs des plus étendus de F Algèbre 
èc qui montre le mieux l'avantage qu'on a de 

Î prendre à volonté, ainfi qu'on vient de faire, 
es fignes des quantités données en général dans 
• les Problêmes , c'eft de rapporter à la folution 
des Equations qu'on a prifes généralement , 
toutes celles dans lefquelles les inconnues font 
difpofées de la même manière , mais avec des 
DeuxEqaa- fignes & des coeflSciens quelconques. Par exem- 
tionsduprc- pie avec les deux Equations bx^^cy^ssiuSc 

xnicrdegrea* , ^ j > * /ri i 1» 

deux incon- e X '+'jy = rf qu on a refolues dans 1 art. LVi. 
nucs,pcuvcnt q^j réfoudra toujours deux Equations du pre- 
rapportées mier degré quelles qu elles foient,pourvu qu el- 
ïStcf^^' ^^^ ^^ renferment que deux inconnues. 

Qu'on ait , par exemple , à réfoudre les deu3^ 

Equations mn^: ?=ppj^— feA^ & ^;/^=p? i-^— 

Exemple. ^^^^ Pq^j, jg^ comparer aux premières, on 

comtnencera par les écrire amfi 

mnx — p*j;== — hhg Se nnxt^nmys^^J^ 

les comparant alors terme à terme avec les deux 

Equations 



VALGEBRE. 75 

La première jivec la première , &la féconde 
avec la féconde ,. on aura 

f==mn,dz=pK 

Ce qui donnera cd:=z — -p* ^ af—s "-^mnhhg 
c€x=:i — f^n'-y bf =; mmnn , ae — ; ■ ■ h'-n^^ , 
èd:=imnp^ y 

& par conféquent cd--— afz — p<,+. mnhhg 
ce — bf=i^^m^n'- — j?*»*; ae — bds^ h^n^^ 

Orfubffituant ces valeurs dans les formules 

f / t cd'^df ae—bd 

générales ^= f-Scyszz: ;- , on aura 

^f — fff . ce^^f 

enfin ^=C-_^.. &j = 

LXVII. 

Suppofonspréfentement qu'on ait les Equation» Amteexem. 

en mettant la première fou^ cette forme 
J^P^ pf inq . , 

P-, '-p^^^—J— .^^ ^«'^ ^ ^ 
comparant à PEquatipn générale ^;r'>H(«-r)f?Bs4 , 

z 3 ^p ^ PP tnq ^ 

f-^-q f+.q -* |,_^ 

comparant la féconde à rEquationr;r-|-/> 
9=^ on aura es=m, f=f^q , d^=a -^ Se 
ces valeurs étant fubftituées dans la formule 
* =3= - — 7^ donneront .•..••, 



"\ 



'jS E L ÉM ENS 

^ f-H t^9 P — g 

Pour réduire cette quantité, je commence par 
multiplier le numérateur & le dénominateur de 

- la fradion . ^"^^^ ? 'parj>+f ce qui la change en 

r: — - — li ,par ce moyen le numérateur entier 
t-i^t-î^ ^ 

delà valeur de AT devient -^^!±"^^tt! 
^ f-fXf + î 

on r ^ ^ ^ ^+^"^f OU ^IIX fP-^P^'^i • 

Je travaille enfuitefurle dénominateur de 
la valeur de ;f > en mettant £es deux parties au 
même dénominateur , ce qui donne •.••«• 

p-i-q Xf 3 î+i X T^î 

outnûn^^^t^fî^ . Ces deux 
Opérations changent la valeur précédente de x 

en . , , ^"^^ ^ i^ ^ — njais comme le nu- 

meratçur & le dénominateur de cette f raftion 
font chacun divifés p?i.r v^q X p— if t j'ôte 
ce divifcùr , & la' valeur de x devient 



If^A LGEBRE. -Q 

tenant les mêmes valeurs de a, t, c, &c« dans la 
formule générale jr = ——^f 

on aurajf =-^ J=2-=&aunu- 

f+^ p-^q^^^ 

meratçur d e laq ueDc je dQoae cette forme 

■ ^ ^ . *^— , en muluplîant le 

numérateur & le dénominateur de la firadion 
~^?^ parp — f. Je réduis enfii lte cette 
nouvelle forme , & elle devient ^^^X—^v+i^ 

Quant au dénominateur, de la valeur dfe^, 
conuneil eft le même que celui de la valeur 
de 4r, a fe réduir^de mçme^j^ & Fon aura 



partant y 



t—i 



_«^pxg^I£^2iîouen 
cfeçaat les dîvifeura communs p«-rif & en ré. 

duifanr. y =» ^"^-^ -^ qui en fei^ 



J^ E L E M E N s 

fans paflèr le 'divifeur p -f- gf en haut , & le 
divifeur p.,— .^ en bas fuiyant les règles des di- 
vifîons des fraftions 5 devient enfin .,..., ^ , 



qn X f^q X sf—^q 



LXVÏII. 



Ou 1Ê SS5 ■ = ~ -' ' j» 



Autre ma- Si pour réfôudrc les Equations propofée^ 
foudrclcmé'^^*^^ Cet exemple , on avoit commencé par 
inç (^^^çmpic. délivrer de fraftions ces Equations le calcul 

qu'on auroit fait de la manière fuivante au- 

l'oit donné moins d'embarras de la part des. 

divifeurs. 

. Soie;>t multipliés d*abord les deux membres de 

rEquauon -i-^f- ±=^41.— - -i- ou — ^— 

^ î—q î+q î--q t — i 

m^ZjJz=~ ^ par pp-—*fl^âf produit des 

p+q, P—q ; 

deux div i Peurs f^^ — g , P"+"f & Ton aura TE-f 

quation j W2pp 4- 3 wzp^ x^ -Hppg' — f ^ XJ5= — 

anfq—'Q.nqq, 

Soient multiplies de mêmSles deux membres de 

TEquation WAr-f-p-f-^x J' == — ^ par p -— ^ 

_ . r-^^q 

^ Ton aura mp—mqxx -hpp — ■ qqxy=qn 
Comparant préfentement ces deux nouvelles 
Equations avec les deux formules générales on a 
l?==^^mpp'^^mpqy czszppq-^p^ ^a=z — 2;?p^— 
3,nq^ , e=:mf — mq ,/=£:pa— r^*, d=:qn 
D'où Von tire càzs^^p^c^'-n^'^p^ qn^ af:=s;^'-^ 



ly AL G E B R E. 7^ 

' — Znmj'^qy tdsszjfmnp"- q^^mnpij* ; cessa 
2p^q7iP—mp^ — ynp^f> tf=^7ftp ' f ■+- 37np^ 
*— 3 Twp^ '- — ^3 wn>*^* 
^partant cd^af=qrtf^^^p*q*n--2npq^ i»^* 

^e— i^=2»7w^'— jTKrtrp*^ — ^mnjq qui 
donnent ;tr — .f»P^^r^pmf""^"^^'-*"^^ , 

LXIX 

Si on ôompèfe préfemtement ces deux valeurs 
^e xÔC de jf avec celles qu'on âvoit trouvées derjcu^fo^ 
précédëinlnent 5 dd voit • a abord fans aucune ^utiom pré* 
difficulté r idesàité des deux valeurs de^. Quant ^^^^^' 
aux valeurs de x , pour fçavoir comment la prc- 
Aiiére peut êt¥t la même chôfe que h féconde , 
il faut rettiarquôr que Fégalité qui doit être 
«Dtrc ces deux expreffions, fuppofe néccffai-» 
irement qufe le numérateur ^^p' -4- j /rpp^^-*-* 
â»p^?--^â»f* de la fécondé contienne le nu- 
mér^tetff '^— *^pf — ^fq^n-r^iq^^ de la pre- 
mière , de la même manière que le dénomina- 
teur 2mpif i -j-i47?q7*---472p'9'4-k37wM^ de la fé- 
conde cèntî^t le détiàtmûziexiT^p^Tn^ip^qTU 
*+*3^Pf *^ dé !a première. Or eîn prenant la peine 
d^ divîfei^ te fccond' numérateur par Iç prfemîe^, 
en trouva cSi effet le fnémé quotient p --- ^ 
qu'en divîftnt le fécond* dénominateur par \t 
preniieri €refl;*:à-dijce que Teipteifion. •; . •• 



j 



So Êt£ M E N S . 

communs p— *^. 

; LXX. -^.; 

La manière dont on vient de réduire la plus 
comporée des deux valeurs de. 4; à. laplu^ 
iîmpîe ëtoitaifée à imaginer lorfqtfdn fçavoit 
l'une & l'autre de ce^ deux expreffions , mai^ 
Il on n'eût connu cfue la plus compofée & qu'on 
jeùt voulu la iîmplifier > on aurpît été be&ucdup 
plus embarraffé , puifqu on n'auroit pas . fçu 
. par quelle quantité il falioit divifer (e numé- 
rateur & le dénominateur de la fra0}on« Or, 
icomme ce ferc^ti^n. vice dans lafol^ÛPQ d'ua 
Problême qu'une valeur dV Tt^dudijble & ^on 
réduite , il faut chercher une méthode pouf 
réduire toute fraâ:ipn qui peut (e néc^irej ou 
ce qui revient au même*, il fauit diet<^$r une 
méthode pour. trouver quel eft k.^^us. grand 
divifeur commun quepuiflènt ayoi^e^.quan^ 
tîtés données.. u jî ^ . -^ 

Suppofoni^d'gbord^ pour alleudu j^lys^n^pl^ 
^u plus compoie que cesdeux. qu^^tijé^.nQ 
ïbientqùe des nombres,} que l'oii aui^par exen^n 
He , à cherchet le plus grand divifeiir comipuft 



jdes nômb^res 6^ 7 , & i ^ o\x ,, q^^^ q^j; : .çcyiem 

1^ même j^què 1 pn. ft propofp MSfèj^^yx^ Is 

^^aJftion -rijj i. fà-plufûrapfe «gçf^onj. ,,.... 

' ^ " *-' ^ Divilant 



ï^ A LC E B R A 81 

Divifàht d'abord 1S37 par 145 il vient 4 
pour x]uotient & 6 y pour 0eâe>G'efi*à*dkre| 
que la fraâioh 4It ^^ change e& 4. «-H iV)" » 
ii'où la qiu^oq. da réduite à' abbaifler la frac^ 
tion -7^^^ ^.ou ce^ui revient au 'même ^ à cher*» 
cher le nombre oui efi le plus grand commiai 
divifeur des nombres 143 6c 6;. Car lorfque 
et nbmbnd fisra trouvé. ^ il cft évident qu'il iera 
atiflî le plus gcahd commun/divifeur des nom-^ 
bres 637 & t4|[4 y puiiqu oftJiéiçaùroit rédutva 
ia [ùaédon 9^ èLia plas..ân^b ^xpreffion^ 
ijtiW neitédnub en mèmt'tèim^^ H-^ «^ ou 
^ à fa 'plùs:itmple ex{nrôâu>n« 
! Les. dc^xinomboes r4| & .^jifur lefqMb 
il s'agk tfo^éi'er^éCentemem étant pluaitm** 
plesquefea^ii3ciprefmers:6^7!& 143» \cyci9 
l}né k jdifl^Gsâtécft diminué^ > &quren s'y- pre^ 
paot de kjinêçlô manière on kudiminuera enco^ 
fie» Au yeuidtikftaâion i?^' àivéïdoife , f écob 
1^ tiôn que Je .psétendê, queiJâes.^iraâioni 
£ojènt les mémos^ mais parce, qiu'on nefçau* 
sbitiréduiteirilBe.> que l'autre ne feréduiCé 
4}e^k'Oiême 'mameM^ £n(uttejpour réduil'e 
i;Jf Je^divîfe fi49 zpnriîj,: ieejquitne. donne a 
pour quotient, & \^ poar :iraA^ Il ne faut 
doncLpiMei^partetnâmc principe 1 aa« chercher 
k ^ys:i^mkiriCèms\ttn àbàittftiw i) & de 
^5. Car jqp ^tt;ilH€ ]ç pltf/igrtad. commun 
cjiviieûr Àt ces déi|x nombres lera auil? celui 
iÈt i4j^&dfe%Và caufe qpte^i feàûton ^/ fe 

change- çft,îi-fTtefrf'v ^ ;r , . '■ I V ./ • 
Fr^éfentement le plus grand commun divifeuc 

yc^-13' AM^'0;j^ t& I ji-iuiîîieme > puifqu'il 



84 \B.I1E:M£NS ^ 

divife^ exâfbemenr (^^. Donc 19 efT auil! le 
plus grand CQinamn.divireur àç 143 & de 6s * 
donc it eil atsffi celui des nombres propofés 
tf^7, i4j.Eh:jeffeti<S37eft 4^X13 âci^^i 
il X 15 . rfoùrroa tire |if 3=a;^4<>fra£lioftiiu 

rtduâiblé. ::j:i -^ . .: ^'r-^ :: 

*■'/' ^ '\ ^ 'L A j/L J.» "' 

. On petit ^tiBiitt &çilement qiie It.méthode 

qu'cm vient deiluâxe dans- Te^mple précé^ 

dent peut s'ap^limitr à. que|9Uief noumbres que 

ç^^Mk^^c ^ ^^* QuuMî .fflt tA .général deur nombres 

trouver le îd Ôc B f €e ^ueik-qiiotienc d^la jdiyiiîem 'dû 

^^^"i. premier par le&oond foit Ji&P lere&oC, là 

vifeur de qoeftîoh iera'. èédoîdb -à troiiVier:le;pias grand 

^"^°'" commun divifeur de.JS&dcC-, é^étaiit fup^ 

pofë alors le quotient de £par:C^&:i;)le;reâet 

it ne s'agira pltis que de trouver le plus ^rzn^ 

commun dsi^ëur î de C& àe'D., ^cfeâ^à^-dire i 

es dm^Kt £^paic i^;^'deiXs^ft^ 

Avikt D. AUanraiûfi-de^ivinan! en dîvifipii 

- nifqu'à ce qtfpn arrive à deux nombres dont 

le plus pem foit contenu exaâement dans Je 

plus grand >'^ce nombrcdoomennexadcoi^t &> 

fa 'le phis grand divireffi- ;coiiiimui éss |dé^ 

jivemîersnom&l^es j^&:J}l :r ,1.: . 'k: 

Cette ^gle d^tis toute ^fà généi^Uité, comné^ 

dansPôxemple précédent V é& fonds'e &i^ ce:qtlé 

la fraâion f aévëttaiit -^^'^ 'h^ fçaurèîi 

«Vbbaiirçr^iiëViq^^e -. « abbfife^ .jju^I ^ 

fç^u.rqît fe réduire que de la mêmeiiôniere qéè 

çy fie que j 4îant ^, Hh- p «S ^Ç^^tf jç '"^^^yre 
iàns que 3 feréduife &ainu de fuite* 



ïy A LG E B k Ëi gi 

LXXIL . 

V oyons préfeiitement quels font 1^ chao.^ 

gemens qu'il faut faire à cette méthode poui; 

rappliquer aux quantités Algébriques , & pouc 

plus de clarté prêtions d'abord uo exemple» . 

. Suppofons qu'il s'agiife de trouver Iç piua 

grand compiun divifeur des quantité^ 5 ^^^««-^ 

^baa^^bba^r^b^ & ^a/^— Sta^hi. Il 

faudroit^ fui v^t la méthode précédente^ divifei; 

te première. d« ces de^x quantités parlaife-* 

conde; mm comme la diviiion n< fçai^roit'iç 

fdîreàcau& qucleiM-emier tçrme.jii^ du.di^ 

Video^ ne contient pas exaâeniesit le premier 

ttirmerdu divifeur^ je mi^lMplie toute k pre^* 

Ifûere quotité par 4 , & je remarque que 4 

n'étant pQiût ub des divifeurs de k^fecoindf 

quMjtiité 4j<!i^'^jM*+*^Â y il ne peiit p^s y 

^tPÎr d'autre ^liis grand co(|iqiun diviCeur e^r 

tre iaui^^.*î-i^.i^i4^*+-4M'*--T4i^ &4<;4^^^ 

fJh^iH^kkqvf entre ^a^^'r^^baa ^r hb^'^h^ 

fi|^ 4 4[/y r . ^^ir^bb. : - ;> . ^^- ^-;. 

<: Je jdivijTe ^^lors fuivaftt :lfîif. jf^les préçèf 

defttes ia^^*^i2iii^-+'4i^4H-^4*.^ par 44? 

A-^jiw-HÂti jai ppur$|orifiOt j.«,*: pour 

reûe ^bai^ Hr b^^ r^é \> ce qui ^ fmstant le^ 

mimes, negtes , dematîdîpiroU; w'<» divisât ^ét 

^r^^-i^^^i^bb par 5 baaTi-M4^^4f^^^ i n^W 

Ctopib* la dîVtfîon de c«8quaçi^tés ne fçaV* 

B6it£9 faire Êitos lesv^réparer^âupar^vaijt, Jç 

temarque d'abord quç .è étant ôppmun à >ous 

bfiDterme^dé la4?ïhiére ^yênwé^&neréianjc 

fffléà peujc d$lô fronde, il qe^urpit ^tre par,- 

lie.du;^us ^artd'pMWBttii. diyiftw: de ceiquai^ 



«4 ^ LE MENS 

tïtés , aînfi je Tôte de tous les ternies de cette 
féconde quantité, & je prends à Cà place ^aa*^ 
ha^-^^^K Je remarque enfuite qu'en multi^ 
pUant la première quantité é^a — ^ba H- bb 
par 3 qui n'eft point un divifeur à^^aa^ba 
*— 4^^^ la divifion fera poffible; je fais donc 
cette divifion de 1 2aa — i^ab^^bb par 
^aa'^ba — /^bb^ ce qui me donne 4 pour 
quotient & pour refte — ^ ip^^ -f^ i^bb. 

Il n*eft donc plus qucftion prëfcrîtement que 
de trouver le plus grand coniiôun divifeur de* 
:^aai^ha^^^^bb , & de — ip^ H^ l^bi. 
Gomme il faudroit, pour cette opération^ <Uvi-^ 
fer h première de ces deux quantités par te 
féconde, & que pour pouvoir diviferles^Ieux:' 
premiers termes de ces quîHitités , il faudroit 
tnidtii^ier la première par V^b qui eftun divi- 
feur exaô de la feconde, j'ote ce divifeur de 
la feconde , ce qui la réduit à — - ^-+- i; 

Mais le plus grand commun divifeur dé } ai 
^ba —^bb Se de — a^b, eft--^-4«r^ luii 
TOême,puifquèla divifion as ces deux quantités 
fe fait exaftement. Donc — . a -4- b efl It pïai 
•graud Comihun divifeur de 3 aa^ ka^^^ 
v&- de — î 5^*i ^i^^. Donc a eft auffi 
le plus grand commun divifeur de 110.0^-^*^^ 
H^ab-^^bè ^ lit ^aa^+^ba^^^ilrbi 
tlônc il l'éft encore de 4 ^a^-^^ b a -4- b b j & 
'^Q^baa^^bba^^-^^b^ ,auffi.bieii queiÂr 
Il a '— .1 :ibaa'^/]^bi}a^^^b^ Scé^^aa 
^^ba -^bL Donc il eft enfin le plu$.granJ 
divifeur commun des quantités :propôfôc$ 
'3a\''^fbaa^^b4fav^;^b^k\.^ .^a.a ^ 
jba^blf.' 



VA L G E B R E. 8y 

LXXIII: 

Il n'efl: pais difRcile maintenant de voir qu^on 
réuiliroit à peu près de la même manière quelles 
que fuflent les quantités dont on voulut trou- 
ver les plus grands conununs divifeurs. Le 
feul principe qu'on foit obligé d'ajouter dans 
cette recherche à la méthode de l'Article 
X.XXI. c'eil que deux quantités quelconques 
^^Sc B conferveront leur plus grand commun 
divifeur 3 fî on multiplie ou divife l'une de ces 
deux quantités « A par exemple , par une quan- 
tité qui n'ait aucun divifeur commun avec B. 

On peut énoncer ainfi le procédé de la mé- Méthodegé* 
thodç générale de déterminer les plus grands "t^"^^^ ^^ 
communs divifeurs. Soient ^ & B les deux plus grand 

auantités propofées ^ on commencera par or- ^(^^"acs"^" 
onner ces deux quantités par rapport à une quantités ai« 
des lettres quelconques qu'elles ont dé com- scbnqucu 
mun. On verra enfuite par quelle quantité m il 
faudroit multiplier j4 pour que les termes 
affeâés de la plus haute puldàhce de la lettre 
fuivant laqueÛe on Ta ordonnée puiflent fe 
divifer par les termes de B afièâés de la plus 
haute puiffance de la même lettre; fîqemul* 
fiplicateur m n^a auGun commua divifeur avec 
B > on s'en fervira pour multiplier A, mais s*il . 
a un çoipmun divifeur n on dtera ce commun 
divifeur tant deTTi que de £» & on ne multi- 
pliera A que par j j ce qui formera une nou* 
velle quantité C ()ue l'on prendra à la place 
de A. On prendra de même à la place de jP la 
quantité D qui ea vient lorfqu^on l'a àmd 

F ilj 



t6 ELEMENT 

par le divifeur n qu'il a de commun avec mi 

Cela fait, on divifem CparZ?, & U divî^ 
fîon faîte, fi ellç eft exafte, D fera le plas grand 
commun divifeur cherché de ^ & de S ; maïs 
s'il y a un reftç E , on fera à Tégard de Z) 5c de 
E la même opeVation qu'à l'égard de ^ «Se de 
P , Se ainfi de fuite jufqu'à ce qu'on arrive à 
deux quantités qui fe divifent exaftement. 
Lorfquon y fera parvenu, celle de ces deux 
quantités qui fera contenue exaftement dans 
) autre , fera Iç plus grand commun divifeur 
cherché. 
. . Il eft bon de faire remarquer que fi avanç 

d'entreprendre l'opération dont on vient de 
voir la méthode , on apperçoit dans l'une des? 
quantités propofécs ^ ou 5 quelque quanti- 
té qui en foit un divifeur exaft & qu; ne le 
foit point de l'autre , il faudra commencer par 
ôter ce dîvifçur pour que le calcul foit plus 
Çmple. 

Afin que les Commençans puiflènt acquérir 

Siclque facilité dans l'application de cette me% 
, ode , j'ai joint les exemples fuivan^. 

Vrmier Soient les guaqtités qrtp^'A^qnp^é}^'^^^ 

mf ^ ^-l-r } m pq^ dansleiquelles nous n avons 
trouvé ( art. lxix. ) le divifeur c0mmunp.f--.af3j 
que parce que nous fç^vîons; d'avance que 14 
première de çei deux quantités divifée par 1^ 
lecohde devoit donner le même quotient que 
1^ quantité v^»^f*sr-r-4p^*«T-r-i«^?4i^ 
Vifçç far ^??îf ^ r^^Vf f-Vj ^f f^ 



hyA L Ù E BR E; tj 

Pour féduire-préfeiitanèfit ces deux Quanti- 
tés , fao^ employer autre diofe que la mé- 
thode précédente ^ ôû coQittièhcera par ôter 
^ n qui efl commua à tous )e^ . termes de la 
premitre de c^s* deux qtmtititê? > & qui it'tft 
point CQiïteAu dans ia féconde; on otera^e 
même p m qui eft commun à tous les termes de 
la féconde fans être contenu dans la première; 
& par-là Pôpératîon fera réduite à trouver le 
plus grandMivifeur comifluti des quantités {A) 

Vivifaàt jéptLV B , fàr — ^.4. pow quotient 
& pottr4riclIe(C)li/»f -*-6pf * — Jji » 
comme il faudi-l>it alorsihultipIier£pàri if pour 
que fon pceniîer teime pôt ^Strc divîfé par le 
premier terme de C 5 <8c ^utrj eÛ contenu dana 
tous leé^ tehncs de C , je multi^ie fimpleiuent 
JI par X 1 7 &: )é divife Cpar 9, coà je n'ai plus 
à comparer ^lîe les dwx quantités ( D ) 

Je divi& la première par ta féconde > Se j'ai 
pour quotient f &ponrrcfte(F) Spp-i"^ 
I yp ijf * ,ip*^ li (f K Comme îl faudroit aiors'mul- 
tiplier(i£)par }9f a'fia que (on premier terme fut 
divj£ble par celui de cette notiveMe quantité F^ 
Ac que f «ft commun À tous leswrttes de F, jfe 
ne muUipKô donc £ que pw Jp & je diT4ïe fôh 
produit iO ) ^29 f -—254^ f — i9f 9*^ f» 
(//)3pp^ — i7p^.-^a:a^^*. L« quotient « 

u&lercfle(/;---47f^H-47î'- " \ 
Pour divifcr alors ^ff par7 U fimdioit a«fe 



Second 



.«plier tous .f^ termes par 47^1 i m^& /cette 

. quantîtç eft un divifeui; d<? ^ ,: je i'ôte donc 4© 

- // & il me refte 9 -^p pour feryir de divifeijr 

^39 p^-^iypf -—^ai ^% Or landivifionfe fait 

exaftement, , donc .^h-^p eft le plus grand divi- 

feur conunup cherché dcs;quanûté$ propofée^. 

LXXV. 

Soient propoféei préfentement les deux quan- 
fxçmjïlc. tités ^ï^-+*2^^-r--j^^ — ^b c-'^ac^^-^cc 

' i2bb, ordonnant ces deux quantités par rap- 
port à ^ j'ai a ^^^ h à — c a' — ^bb — ^hc 

[Sbc-^^cc, ou (\4) 2^4trh r^^^^X^- ^ 
$bb -^4^fc C'-r-<c &:(B) 2î ^ ^ ^^ ^ c-^^^b X^ 
^-r^l2bb^Sbc^4;CC, 

Pivifant la première par la /econde^j aï i 

pour quotient & pour refte {C)6 *-rr^io cX4t 

.^9bb — ^ i^b c^f^^f ce. Pour divifer B par 

. cette quantité j je Vois qu'il faudroit auparavant 

la multiplier par j^- — ^c. Mais atantd'en 

faiire J-opératioii , je tente la divifion de 

M par 3 i& --r-. j r , elle réuffit , . & donne 

..pour quotient ^Z) } 2 ^ -4* 3 ^ -H^ > je 

:li*ai donc plus qû à cherche! Iç plus grand corur- 

,niun diviieur de J3& de Z); mais B eft.di- 

¥ifible exaâement par J), donc -O ou if "+■ 

iSbr+^.e eA le plus grand commun divifeur 

•cherché de iz^-f-; 1^^ — 3èi'— ^4jfer-T-f. 

^.^ — - c r & de 9^c\-H :2 a a — j a b^^c C: -+- 

^ ibc 'T^iabk^ ^ïi eSti la première de ces 

deux quantités :eft le produit de zar^ ^b^c 

^ par a^^b-'^c ^^h féconde le produit de 



ly'ALGEBRE. %^ 

ia^'^h-^c par a — ^b^^^c ; 6c ces 
deux quantités i^-—i& — r& a-^^j^b^d^c 
n'ont plus aucun commun clivifeur. 

LXXVI. ^ 

Soient les deux quantités (A) dd — ccXa* Troifîéme 
'. 1 • o A*v I , ^ ■ > ,• Exemple. 

•4-^ — ddcc8c(B)^a*-^^2cc^^cdxa 

-+^2 c^ ordoDnées par ra pport à a. Je change 

-d'abord B Qn(C)2 dà^ —cc'^2cdxa^+^^ 

en ôtant dé tous fes termes le divifeur i 

qui n'efi pas commun avec j4. Je çiultipiie 

enfttite A pat 3^ d afin de rendre la diviuon 

poiEWe j ce qui me do nne pour q uo tient dd^- ^-cc 

& p our refte (D)dd^^ ccxcc^2cd^ a 

iî on vouloit alors que cette quantité fervît de 
divife ur à C, il f aud roit multip lier auparavant 
C par dd^-^cc x cc^xcd afin que fon 
premier terme- permit la divtfion. 

Mais avant de faire ce tt e iBukiplicàt ion , il 
faut fçavoir û dd — ce y, rr-H2 r^, ne fe- 
roit point ou un divifeur ou^n multiple de 
quelque divifeur de D. Pour le fçavoir ,. je 
jA erche l e plus grand commun divifeur de 
d d"--^ c c X c c^2c à ic^t^^^dÀ-'-^cxc^^ 
i^Ldc^-^^id^cc , c'eft-à-dire de ddcc — c^ 
'+'2cd^ — 2r^^&de — ddc^'^c^^2dc^ 
—2 d^ cci mais je vois tout de fuite que la fé- 
conde de ces quantités n'eft autre clioie que le . 
produit de la première par — c, &pa rtant que la 
quantité D fe réduit au produit de </ ^ — c r x 
^^ rh 2 de par ^-?- v yjoncaul ieu de mul- 
tiplier C par a d ~5^ ^ >< f ^ rh: ^dTc , je divife 



90 E L^ M £ N 3 _ 

D p» cette quantité 4c il vient ( JE) 4f— < doae 
il faut cherchef le plus grand commun divifeu^ 
avec'C; or/2-r-^ divife exaâ:ementC,donc 
tf — . r cft le plus grand divifeur cherché, 

~ LXXVII. . 

* Au Tèfte avec un. peu d^habîtude dans le 
calcul , on découvre, fouvent le plus graod 
commun divifqur de deux quantités plus fadlei- 
ment que par la méthode générale qu on vient 
Antre ma- d'e3tpUquer. Par exemp le les M^ quantités 
nîCTc de ré- précédentes dà^^cc x aa^c'^ -—-à dcc&i 

foodrclcme-r — -. , 

mcexcmpic. j^daa — ^cc -H4 c^x^ -+- 2«? ^ étant ordon^ 
nées par rappor t k-d^Sc par Conrequent étant 
fouscette fortoe^ if— -*'^x^^*+^*-— *«^^r 
& ^ca — 4^^x^-+-2^i^ — 2r*i/, il eft 
aifé de découvrir que a a — ce eft un divi- 
fcin- de la première , & r-»- tf un divifeur de 
la féconde. Mais a a — ce cil divifible par 

c aj donc r— ^ eft un divifeur des deux 

quantités propofées , je les divife donc Tune & 
l'autre par c^^a^ ôc j'ai pour leurs quotients 
cc-^dd xr-+-^;& 4 ^ ^ -+- 2 r r qu'on vok 
aflez facilement a'avoir plus de commun dî^ 
viféur , donc ^.^=s. a ou» a — c étoit le plua 
. grand conunun divifeur des quantités pro-; 

pofées. • 

LXXVIII* 

Amrcsqaan- Qu'on fe propofe maintenant de chercher \t 
no^tTe''"plus grand commun divifeur des .deux quanti^ 

plat grand ^gg g ^^ -+- ï^ 4^^ *-^— 4^' ^P — T lO <^^*^^ 

^Z^ÛSc 9aH^^21^^bc^6abcc^l^^t^^ 



If ALGEBRE. pt 

fe eommeoce par ôter aa dt tous les termes ihéchode 
de la première; & 3 ^ de tous ceux delà fe- précédente^ 
cofide. J'ai alors 6 a^ '-i^i^a^b •••^^aèe 
'— lobccSc } a^^'^^^aac—^aacc'+'ôc^i 
mais comme la (ècoïKie de ces deux quantités 
ne contient aucun h y je conclus que (î eUe a un 
commun «Èvifeur avec la première , il fatit 
qu^elle l'ait fépàrement avec fes deux parties 
Sa' --^^acc Se If ^^^-^loit rr,&quece$ 
deux parues doivent anflî avoir enti^elles le 
même commun divifeun Or on voit tout de 
fuite que j^iiï— •arreftie divifeur commun 
de ces deux parties ^ donc il eft le plus grand 
commun ifivifeur desquantités propoféesii elles - 
-ea cm un. Le prenant donc pour divifer cçs 
deux quantités on voit qu en effet il les divife 
&: qu'ik eft par confequent leur plus grand 
conunun divifeur. 

LXXIX. 

On a vô luffifamment par ce qui précède t^^^^fn 
€[ue pour trouva- les deux inconnues que ren*- t^ois hicon^ 
fermeun Problême, il fkut avoir deux Equa- ^Sitmc,« 
fions, Jl n'efipas diiSîcile d'imaginer en par* <^at trois e. 
tant de-là que lorfqu'il y aura ^oi$ inconnues S^^oadxcT 
dans un Problême , il fianidia trois Equations 8c 
atnfi de fuite. Quant à la manière de dégager 
les inconnues de ces Equations , elle ne fera 
pas difficile non plus à imaginer après ce qu'on 
en a vu pour celles qui ne renferment ^ué deux 
inconnues. Car qu'on ait trois Equations con-J|^^*^°*^^* 
tenant chacune les trois inconnues at , jr , x. ; fi inconnues de 
pfl tîrç k rakiir dç * 4ç chacune de ces Equa^ ûonu"^"^* 



f2 ELEMENS 

tions exprimée par le moyen uies coftnué» 
& des deux autres inconnues jr i ;t, dfe ces 
Equations j il eft évident qu'en égalant les unes 
. aux autres ces différentes valeurs de a: ^ on aura 
deux nouvelles Equations qui ne contiendront 
plus que les deux inconnues jr Scz^^Sc qui fe- 
ront par confequoit dans le cas de celles dont 
nous venons de parler. Il en feroit de même 
. des Equations à quatre , cinq &c. inconnues. 
Comme la méthode générale qu'on vient 
d'expliquer peut renfermer des difficultés dans 
l'exécution ^ nous allons en montrer l'applica- 
tion dans le Problême ûiivant qui renfermera 
la plus grande complication que peuvent avoir 
les Equations du premier degré à trois incon- 
nues. 

L X X X. 

Problème On /fait ce que trois magapns contenant cha^ 
ÎT^cm^^yc^^^ ^^^^^ fo^^^^ ^ip denrées y on coûté les uns& 
trois incon./^j- àutrés Jéforement s on /fait de plus le nom-- 
--nucf • ^^^ ^ maures que chaque magafin connent de 

ces trois différentes denrées ; on demande à 
combien revient une mefure de chaque denrée. 
Soient ^i> b^ Cy les nombres demefuresde 
chaque denrée contenue dans le pretpier ma- 
gafin, & foit d le prix de ce magalîn. 

Soient de plus e ,f^g , les mefures des mè- 
nes denrées contenues dans le fécond magafin 
dont le prix eft fuppofé h. 

Soient encore i^k^jl les mefures des mêmes 
denrées contenues dans le troifiéme magafin 
dont le prix eft fuppofé m. 



È^jtLGEB RE. p5 

Soient enfin x^y^z. ce ^ue coate juk fne- ' 
fare de diaque denrée. . 

Il eft évident que la.quantité de la première 
denrée contenue dans lemagafin d coûtera ajt, 
puifque a eft le nombre des mefures de cette 
denrée & x le prix de la meftire de Cette den- 
rée. De même la quantité-dé ia féconde denrée 
contenue dans le même magafin coûtera ty, 
&la quantité^e la trôifiéme denrée coetenup» 
dans le même magafin coûtera ez^ Ajoutant 
donc ces .trois Toiomes pour les égaler au pt ix d 
dç ce magafin , on aura J'£quation . 

.ax-+rhy^cz.a^d, 
on: fofmera de même les Equations » 

en exprimantles conditions mentionnées pouc 
les d)»x autres magafinSé i 

Il eft qaefiion matntendnt de tirer de cet 
Equations les valeurs MJCi^y.^z^J^$:£mù 
vue on tirera d'a|)<srd la valeur de x .de la raen 

roiere Equation qui fera — r — ; — — , ^-^S^* 

kot ç^tte Kâfcur de at è cfelle, qu'on tirède Ift 
féconde Equation , on aum tÈqimtm^ q- • j 



►. / V 



a.. . . ■' -^- \ t 



Egàrant'cnïuîtèlâmême yaleW — ' -^^ ' ■■' 



• .1 * H 



à. i:eU«, qu'o.i» .tîre <Je lajtjiojfîénie Et|wai^o^, 
on aurà*l'Eq«^tion • — ;" " ■ ; ' ^ate ' •*^-.'j"V 



P4 ÉLEMEÎ^S 

' Delapfemiere de ces deux Eipatiom thttë 
y Se z. , ontixera de "^^ h4y '^i^c€ z,±=sah — i» 

de — ah + afy-^ hey 
ajy»^-^ af «, ou t, te© 

De la féconde on tirera d i^'^^lty^^^i c z^ 

. En égalant ces deux valenirs de t il efl clair 
qu'on auroit une Equation où, il n'entreroit 
plus d^autre inconnue que y , Si qu'en rëfolvant 
cette Equation on contioîtroitjr. Comme les 
calculs que t'ona^foit par cette opération fk-^ 
foieçt aiTez confidérables ^ je vais feke voir la 
manière de les éviter enemployamr quelques 
abbreviatÎGtDs que les premiers Aaa^yftesljqui 
ont eu de gi:andt çaloik à &ire ont aifiémeni 
âmafiînées* ..';.! ;. j .. . 

XvXXXt 

Ces abbrevîatîons confident a mettre de 

Nouvelles lettres ^a la place de plifieu»»' term^ë 

compdiëô de TOnnnes; • * - :^ :■• i .. . . 

^^'ïanîcrc Xu lieu dé . . .d^^^^ah iù mettrai * 

d'abrcgcrles u— - - ^sr ^ . . - 

Calculs par Au llCU de . . • MJ — tC w A 

des dénotni- ^.. ^ 

nations pat- ;}au lieu dC. .. f f — ^j; .-••►•••; *v • - Y 

ticuiicrc, Auifeude--.//i— ^?^....'/.;:'^.y.': j^ 

•Ali Hètt de /.' . a1(r^i i • .-. . . * . • •& é^i;^ . • f 

Ji\i lieu de . « • ct^^^ ici • • • •• • . . .-.^i 9 

Far ces nouvelles ^dénominatiobs les Fqua- 



jyALÔÉB'RE, pf 

lions précédentes devienA-ont z. =» — - 

^ '^=' — j — lefquelfes donneront «^ H-^ 
P ^y =r^^> -Hy ^jr d'où Tofl rire v .••... . 

y = fubflituant en fuite cette <raleur 

yt ••*■ 0(^ ... 

de y dam Ftine des deax-^valeitrs précédentes 
de ;c 9 dans ia premierç par exemple , on aura 

xi=:i«-H. : 






«QUI fe réduit à z. 

Cela fait , on mettra ces valeurs dey & de ^ë 
^patis. Tuiie des. valeurs précédentes-de ^ ^ daàè 

'7 '" ^ P^ ^^p'i^ . ^ !:<^û aura 



-ra;. 



it,. 






' Pow^ m0ïitréir' çtërentèb'ell'tTàpplicatîon de Exemple <r<i 



'Que fé'^feébnd niag:âifïh' contienne î jf rhe- 
^'ù ait coûté 138' t*^; ** "^^ ■ ' ^ ^ î 



^S £ L E M B NS^ 

Que le troifiéme magafin contienne îd nie* 
furcs db fetgle , .J .4'of gc » 4 d^. .ftoment ^ & 
qu'il ait coûté 7J*. Pour fçavoir. à combien 
revient la mefurc de feigle , celle d'orge & celle 
dé froment , il faudra faire 
ài^îô, bt=2b , tè±tlÙ,tlé=z2SO: 
^«ly, /=6,.^ = ia, ^=^138, 
t==io,kj=S'l=^,niz=rj$yCC ^1 donner 
ta ^^— ^ibs=:a= -^69o',^**-É'fi»s=*s»*^i a<> 

ak ^f f= c= S^ ' " alz:;=:<pT=z—^10 

fubflituant enfuite ces valeurs dans les.quantttQJ 

ap y/^ y 6 — fi(p, «É— fi<r Qji aura 

24300 , 8100 , 4ojoopourc«s 

trois quantités , cequi donnera par confequent 

-• ./•""• 8100 3» ^— " ibo -> 

30 X S 100 . 

. Aînfi le prix de la mefure deïeîglè eft de 4 ft. 
Ceiai' de la mefure d'orge de . , . .-,. . . • .. 3 tb^ 
Et celui de la meTure'' de froniéntriteT é.. y * • 

Tous les Comme les Equations du Problême préce- 
Probicmes dent font les plu» firénérales du premier degré 

du premier x ^ • • ^ t u • 

^égréÀtrois.*. troiç inconnues., puucju^ c/jaçunej cf^mnt 
inconnues. , lès troîs inconnues cpmbine^eai avec d^s jçpnim^ 
^7mT$'cn" quelconques , il s'en(uitqi|^ tôutÇrot^^^ 
Equations,; premier degré à trois inconnuè&^^ii £^ 
tos^^ie proî dans le précédent auffî-tqt qiflil ..{er^ e^^ 
blême précé-analytiquement.Poiireri;.dojwMîr ttwu^qpl? fpit 
*^*"*' propofé le Problème fuiyaiïtr l J^^'^^;:, ;jir; :p9 



pALGÊÈRÊ. J)f 

Oh à tïrois lingots compofés de diflfërens 
métaux fondus cnremble^ ^ 

La livre du premier contient, • v • • . ^ • t • • • 4 

ouces ence^ ooces 

* . . . k i» ; k • 7 d'arg. 3 decuiv#5 tfétaîii> 
celle du 2^ i2 ' 5 t, 

celle du 3~* + !? ^' 

On demande ce quli faut prendre de châCuà 
tiie ces lingots pour en former un quatrième 
qui contienne 

Onces «uccs tror onces frot * 

8 d'arg. 3 o cuivè 4 x étain 
Soient «y ^ j^ j i^ les nombres d'once^ qu'il faut 
prendre de chacun de ces métaux. 

Il eft évident que ^ x fera pe qu'il y aûr4 
d'argent dans ce qu on tirera du premier lingot 
que tI y fera ce qu'il y en aura 
dans le moix^au tiré du fecopd lingot 

& que Yj z. fera ce qu'ily en aura 
xians le tnorceau tiré du troi(iéme« 

Ajoutant donc ces trois quantités leut (bm« 
me devra être 8 onces d'argent , donc on a 
l'Equation-^ ^-+-11 jrH^^iCft»8 on 7 ^ 

On aur^.demcme pour ce qu'on tirera dft 
ivre des trois mgtau3c> -^x^^riy ^rz^ 



cuivre 



gros 



dont la fomme doit faire 3 d oM -^ 

Ce qui donnera tV •*' -t- 16 ^ *+* i"6 ^ = V 
ou 3 AT j-f* 3 )> -4-7 c== 60. 

Ce qu'on tirera d'étain des trois métaux fera 
pareillement ^^, ijy , r^z. dont la fomme 

OQces gros onces 

^oit faire 1^ a o\x ^^ donc 

G 



'jS ELEMENT 

OU ^ 4r.-4-^-+- f Z,c=: 68. 

Il ne s'agit donc plus que de réfoudre céà 
trois Equations , c'eft ce que Ton tirera facile- 
ment de la folutîon précédente en faifant 
a=i'j b=iii <r=4 J=i28, 
^=*? /= 3 £=7 h i=^ 6o, 

par lefquelles on trouvera 

de — A^==«= — 'i6 ; af — ^^==*== 

li i— ^Wî == / = lp2, ^ Kr-bisxs. e i — O j*! 

^/ ^/=^== — .II, 

fubftituant enfuite ces valeurs dans les quantités 
a'^ .4^^ y <^ > y e — — ^ ^ > * • — ^ ^ on aura 

II200 , 224.0 5 6720 pour ces trois 
quantités , ce qui donnera par confequent 

118X1x40— 4 X67*o^.it^x iiioo Q 

^^-^ '7X124© * 

c'eft-à-dire qu^il faut prendre 5* onces du pre-»- 
niier lingot , 3 onces du fécond & 8 du troifié^ 
Hie pour former le lingot demandé. 




ELËMËN S 

D" ALGEBRE- 



± 




SECONDE PARTIE. 

JDe la réfilution des Equatioris dn 
fécond degré. 

l O u s avons préfentemeftt afTez trai- 
té des Problèmes dil {)remier dégr^ 
pourpafTèrà ceux des autres degrés^ 

' & particùlieremeht aux Problêmes du 
ftcbnd degré que nous allons examiner dans 
cette féconde Partie. Quant à la manière d*ex- 
primer analytiquem^t leurs cofiditions, elle 
eft la mêrtie que dans les Problèmes du premier 
degré , ce n*eft que pour réfoudre les Equa- 
tions aufquelles on arrive en exprimant les Pro«> 
blêmes qu'il faut employer des méthodes diffé- 
rentes ïiiivant les dégrés de ces Equations. On 
en peut voir un exemple dans le Problême fui- 
vâhc , qui dans fa généralité renferme des Pro*- 
blêmes de tbùs les dégrés ^ & û'eft pas plus 

Gij 



ioo E L E M E NS 

difficile à exprimer analytiquement pour le dé- 
gré le plus compofé^ que pour le plus fîmplc» 

I 

Problème X7n himvne ayant plai:é unefomme a dans un 

dtttttnl commerce où il perd.veutfe mirer dès la premie'^ 

laiité les re année ; mats en ayant manqué taccafion & ne 

tlt^^à^i^yantl^H retrouver qifà la deuxième ou à la 

fi^és. troifiéme , ou en général à la n*'"'*' année , il 

trouve que lafamme efi diminuée de la quantitéb 

de ce qi/ elle étoit après la jrennere année. Onde^ 

mande à combien pour cent mmtoit fa perte par 

an. 

Soit X le nombre cherché , c'eft-à-dire ce que 
chaque cent livres perd aiprès la première an- 
née. En fa ifant cette proportion lOO; loo— b 

Ar=tf: ax j le quatrième terme 

IOO ^_^,^^ 

I oc -^ X X • 

a X ou rt X I — -. exprimera ce que 

IOO 'oo 

devient la fomme a après la première année, j 
Si on continue enfuite cette proportion en 

dîfant 

__ ± 

^ nXioo— «.jif aX loo-^x 
floo : îoo-^xtss — 1 . 



IOO loooo 



X 
OO 



le quatriëme terme ''^"*°""* ou«xi- - 

fera ce que devient la même fomme a après la 
féconde année. 

On exprimera de même ce que cette fommç 
devient après la troifiéme année par 



-I 



]T A L G E B RE. loi 

ijXi— — 1 & en général ce qu'elle devient 

9 

après la n^"** année fera ^X i — -^^ , c'eft- 

à-direiï multiplié par la quantité i— "7;;^ 
élevée à la puUTance n. 

IL 
Préfentement fî on veut fçavoir quelle fera l'E- 
quation à réfoudre^enfuppoiàntque le négociant 
fe foit retiré à la féconde aonée^ il faudra égaler 

la quantité axi — '^^^ quantité ^i— jfj^ P?obi1^ 
diminuée de la quantité i& , ce qui donnera V^^ul^ 

' X I ^^ fécond 

^xi— — =5^X1— FT^— -i^. OU en muU degré. 

100 

tipUant I — î^ par Ini-m ême , ainfi que F in- 

diq ge i'Exp ofànt i , axt — r^ -i-.^o5=a 

4aJXi—o^^»^j& qui fe réduit a ;c — .iooAr==: 
f— ' loooo -Equation du fécond degré à la- 
quelle les méthodes précédent/s ne fçauroient 
atteindre, 

IIL 

Si on fuppofe que ce ne foit qu'à la troifié* 
me année , TEquation à réfoudre fera 

<TVf ' .TTî ^ •— itqui, en multi- 
100 100 

pliant I -r -^ deux fois par lui-même f ainfi 

Gui 



M I 



102 . ï: Jj E M E N ^^ 

que l'indique TExpcfant 3 , devient 

four le troi- * ^ , ^ 

gémç degré, 4X1 — ' * 4--i^ — ^ =tfXi ï- ^ J 

1 00 «^1 0000 lOOOOOO 100 

Qu enfin 

A" ^— — 5oo;i;*-f-zooooAr =■-— 1 000000 £ 

Equation qui doit naturellement promettre plqs 
de difficulté que la précédente, 
IV. 
Quant aux autres cas on voitaifémentcom-^ 
ment on parviendroit fucceffivement à foriçer 
les Equations qu'ils donneroient y l'induâion 
montre que FEquation feroit toujours du 
degré exprimé par le notnbre »; fi on veut 
avoir cette Equation en général fans fpécifiei: 
le nombre»; on n'aura qu'à employer l'expref- 



îpu? le dé- Uon générale axi — : -^— de la auantite que 
devient a après la n*"*^ année & l'Equation fera 

n 



1 00 ""«■ ■ 100 * "!• 



* V. 

Contentons nous préfentement de réfoudre 
le Problême dans le cas pii fpn Equation eft 
du fécond degré , c'eft-à-dire lorfquelle eft 
x'^ — 100^ = — looooj , ou plutôt cher- 
4<arriver à lâchons unç mçthode pour réfoudre générale- 
n^rST'def ' ^ent toutes les Equations du fécond degré, 
Ëquationsdugeuxqui voudront réfoudre dçs cas plus éle- 
gVé?^ y Çs du même Problème , y parviendront facile- 



Manière 



jy A LG EBRE. loj 

hient au(fî-tôt qu^ils auront vu dans la fuite> 
les méthodes générales oui conviennent aux 
dégrés que ces Equations donnent. 

Ce qui fe prëfente le plus naturellement en 
cherchant une méthode pour réfoudre géné- 
i^alement les Equations du fécond degré, c'eft 
de voir la llailon qtf il peut y avoir entre ces 
Equations & celles du premier ; or il eft clair 
que toute Equation du premier degré deviea- 
dra du fécond 3 (i on en quarre les deux mem- 
l>res y par exemple jf-f-^=>=^ donne étant 
quarrée a:* -H^^'*'H-'**==^*J reftedonc 
à (çavoir fi , par une opération contraire » on 
pourroit rappeller toute Equation du fécond 
degré à une du premier. Prenons ^ par exemple 
PEquation x^ ^fx =^ qui exprimera tou- 
te Équation du fécond degré félon les valeurs 
qu'auront p Scq , ces lettres pouvant défigner 
toutes fortes de quantités pofitives ou négati- 
ves. Suivant ce que nous venons de dire, il n'y 
a qu a voir Cix^ -+-p;r ne feroit pas le quarré 
dç quelqtie quantité dont la première partie 
feroit X , & dont la féconde feroit une connue, 
afin de trouver par ce moyen l'Equation du 
premier degré , qui^ étant quar/ée feroit deve- 
nue AT^-f-pjf ç=:(jf. Qr on voit facilement que 
a:.* rHp •*" n'eil pas un quarré , mais on voit en 
même-tems qu'il peut le devenir par quelque 
addition , & l'on a , comme on fçait , la liberté 
de faire cette addition , pourvu qu'on ajoute la 
même quantité de l'autre côté de TEquatiofl, 

Afin de trouver ce qui manque à ;f^ -rt-p A? 
pour en faire un quarré , il n'y ^ autre chofa 



104 JT L EME JV5^ 

à iûtt qu'à comparer cette quantité avec 
le quarré xxm^ 2ax^aai le terme p x 
répondant à laxi p répondra k 2a6c par- 
tent a k^p i ox comme a' eft ce qui manque 
à x^-^Z^'^ pour en faire un quarré, le 
quarré de |p, c'eft- à-dire fp* fera ce qui 
manque à xx^p x pour en faire un quarré , 
c'eft-à-dîre que xx^px-f-^f'' fera un 
quarréj il Teft eneflfet& c'eft celui de x-^^^p, 
Ayant donc ajouté ^pp au premier membre de 
l'Equation , il faut en ajouter autant de l'autre; 
côté , & l'Equation fera a; x^+f x '^ipp =f 
'+*4' PP' ^^ ^^ quantité x^^p multipliée par. 
elle-même donne xx m+^p x-+-jpp -^ il faut 
donc que cette quantité foit auffi égale au nom- 
bre qui , multiplié par lui - même 9 donnera 
gf ^ 1 p p. Pour exprimer ce nombre ^ouplûto tv 
cetie quantité en général on écrit ^ ^-+-^pp^ 
Î.C fignc V Employant lefigne 1/, qu'on appelle ligne ra-» 
indique tara- j^ç^j p^^j. f^ire * teiTouvenir qu'il faut prcn-* 

ç;nç quarrec. ,t*^- 'ii •/ - t r • 

dre la.racme quarree de la quantité gui le fuit , 
laquelle doit être toujours^ pour éviter la con- 
fufion, furmontée d'une barre ou rçnferméç 
entre des parenthefes. 

On a donc cif emp loy^facette dénomination 
^■-f-,i-pg=\/^^- H|p^ > d'où Ton tire 
^=:— P.^p^-l/flf-l^lp'' valeur de x dans 
l'Equation prôpoiée x x Hrp ^^=^^ 3 & 

* Le nombre qui multiplié par lui-même en z forme 
pn autre eft dit è radne quarrée, ou fimplement là ra- 
cine ; cette définition connue en arithmétique eft aufS 
^dmife en Algèbre pour toutes fortes de quantités. 



eette valeur (èrvira pour toute Equation donn^ 
au/H-tôt qu'en comparant cette Equation avec 
XX -f-p jf =3= ^ ^ on en aura déduit les valeurs 
particulières dep & de q. 

VI. 

Si on fe fouvient prefentement que Ton a 
trouvé ( I. Part. art. Lx. ) qu'en multipliant une 

Quantité négative par une quantité négative ^ 
en vient auffi-bien une quantité pofîtive» 
eue G on avoit multiplié deux quantités po- 
iitives Tune par l'autre 5 on verra que la ra« Laradiuc 
cine d'une quantité pofitive pourra toujours S^qulnthr 
être afïëftée du fîgne que Ton vg udra ; ainfi au eft auffi-bicn 
lieu de l'Equation v^• ip =: -f- Vf-Hip^ ^ItivI! "^"^ 
on peut écrire jc-+.{p = — |/ f^i£l» ^ 

3uidonneroit alors J»?=*— Tp-**V^f+-ip* î 
'où Ton tire ce principe général qu'une Equa- ^jj^^j^^* 
tion quelconque du fécond degré a toujours coud degré 
deux racines. On entend alors par racine d'une *çf^j[i*îàl 
Equation la valeur de l'inconnue dans cette E- dire deux vt- 
quation,ll faut bien prendre gardé de confondre ^^^* ^''* 
cette expreffion avec celle de la racine quarrée. 

VJI. 

Pour renfermer dans une feule & même ex- Formule 
preffion les deux racines ou valeurs de x dans ^^^J^g^"',;. 
l'Equation précédente xx'+^vxzr, ^ , on fe fcrt cinc$. 
du fîgne -+., & Ton écrû ainfi ces deux va- 
leurs a: ==— rp H; V ^ H-. ipS 

VIII. 

Appliquons^maintenant cette folution gêné- 



At>t>Ucation raie à FEquation AT A: — looAr= -=x6ooa;-| 
di 1 formule ^ laquelle nous étions arrivés dans le problême 

précédente a , *, , -^ _ T 

l'Equation précèdent. Jbn comparant cette Equation avec 
àcVAH'ii* x^ -^^px z=z q , nous aurons p== — loo;^ =: 

— -loooo-, & faifant les fubftitutions de ces 
valeur^ à la place de p & de ^ dans là formule gé- 
nérale X = — 7p -Hh V^ ? -H ip% il viendra 
Arq;= 50 -+- V^ i^oo -r- l opoo K 

~ IX. V 

Réduaion ^^^ P^^t donner une forme un peu pl us fîmple 
d^xVn^^' à la partie radicale V^i500 — loooo^decet- 

^■du ^rJduit ^^^^^"^ ^^ ^ ^^ partant de ce principe que 1^ 
prrc"cfi«d"cs racine quarréedu produit de deux ou de plu- 
produifans. f^ç^^^ quantités eft le produit des racines quar- 
rées de ces quantités ; car décompofanc alors 
2 J o o — 1 0000 - en fes deux produifans 
2 joQ & I i-^,i£ , & prenant les r acines d e ces 
deux quantités^ on aura 5*0 oc v/j — — > 
dont le produit jo v^i — ii ^fera la valeur de 

V^2 j'OO — MOOO ^ , c'eg:-à-dire que la valeur 
de X fera 5*0 H^JO V^TZIli^ 

Quant à la démonilration de ce principe que 
la racine d'un produit quelconque , fe trouve 
en multipliant les racines de fes produifans , elle; 
eft bien facile à imaginer ,lorfqu on fe rappelle 
Finverife de ce principe , c'cft-à-dire , que pour 



ly^LGEBR^: mot 

fluarrer un produit, comme ab , on multiplie 
lun par l'autre > les quarrés a a Scbh dç fçs 
pirodiûfans aSçt. 

Pour faire ufage de cette valeur de x^ il n'eft plus Exemple de 
befoin que de fçavoîr qi^elefl le rapport qu on cci^ighicmc, 
veut qu'3 y ait entre b & ^.Suppofons,par exem- 
ple , que b foit la partie ^ de ^, c'eft-à-dire , 
que lé négociant ait trouvé à la fçcondc an- 
née la fpmme diminuée de ce qu'elle étoit aprçs 
la première d'une quantité égale au 1- du totaU 

on aura par cette fuppofition î^=s 2i- & i—* 

I7 ^;^ , d'où la racine V^l— ±îfera | & 

donnera par conféquent a: e=2 JO -f- jo. x f qui 
exprime à la fois 60 Se 40, 

Or ces deux valeurs de x refolvent en cfièti 

également l'Equation xx — 100 x 2400 

jlans l^uçl|e l'Equation générale xx -^ i Oo a: 
5= — r loooo _ fe change par la fuppofîtion 
^c 7:p= — ; Cac ATATrr- loOA' devient égale- 
ment— 2400, foit qu'on fafle x=z6oi foit 
qu'on fafle Ar=:4o. * * 

On peut encore d'une manière plus convain- 
quante reconnoîtrelanéceffité des deux folu- 
tions 60 & 40. Car qu'on fuppofe d'abord 
x\=^60i c'eft- à-dire que la fomme de 1 00000* 
par exemple , perde 60 pour cent par an , il 
cil évident qu après la première année elle fera 
réduite à 40000 lb« 



ïo8 E LE MENS 

A la fécondé année elle fera de i^ooo * 
en perdant encore 60 pour cent; or lôooo * 
font plus petits que 40000 * de 24000 * 
qui font les -i- de looooo. 

Qu'on fuppofe à prefent que la même fom* 
me de lOOOOo ft perde 40 pour cent par an ^ 
après lai'''' année elle fera réduite à 60000 tb 
& après laa*'*' à 36000 ft or 36000* font 
encore plus petits que la fomme 6000O * de 
la quantité de 14000^^ ou des -^ de looooo ^ 

XL 

«^m'pic. ^^ ^^ ^^^^ ^^ ^ ^^^^ ^^ ^T de tf , on aura 
^^=5© ^y 01/ , _lL=:xo ^: jo|/ J- =^0 
^+-30 , c'efl-à-dire ou 80 ou 20 qu'on trou- 
vera encore réfoudre également le Problên^e. 
XIL 

cxJm^ie^"îd ^^^ ^ ^'*^^ fuppofe ^ = j , OH trouvcra 

demandant ;^_. r-^ ^- .q |/l ^ , OU 50±C0|/ {'Or 

la racine d'u- -^ _ ^ '^ 3 " ^ — — ' î 

ne quanûté comine on ne fçauroit trouver aucune quantité 

im^^Jibic,^^ qui étant multipliée par elle-même donne-—, 

il s'enfuit qfle la .quantité y^— .-i ne fçauroit 

être réelle , ou ce qui revient au même , que le 

Problême eft impoffible dans ce cas. 

Ainfî on peut être alTuré qu'il n'y a aucune 
valeur poffible à fubftituer pour x dans l'Equa- 
tion XX — loo X =— ^^j^ qui faflc que les 
deux membres en deviennent égaux ; ou ce qui 
revient au même , que la fomme a ne fçauroit 
être altérée chaque année fuivant aucune pro* 



D'ALGEBRE. lOO 

portion donnée qui foit telle que de laTeconcte 
à la troifiéme année la diminution foit d'une 
quantité égale au tiers du total. Les Géome« 
très regardent cependant comme une efpece de 
folution ou de racine de l'Equation -v-v— iooat 

î=— '-^^ , la valeur jo ^ 50 • — f qu'ils 

trouvent alors , mais ils l'appellent une racine cet racines 
imaginaire , & cette racine imaginaire à caufe ^^^ .<^«.« ^ 
du figne -f- eft toujours cenfée une double fo- **°*5"»i««« 

lution» 

XIIL 

Onvoît par la valeur générale — 7 pH- aacHcf fnnt 

^ ^^iîV^^^^y que toutes les fois que "k du fcS T^ 
quantité défirnée par a , fera négative & plus t^h^^\}^ 

1 if^^ iZj • j 1>1? *; racines font 

grande que -^fp , les deux racines de 1 Equation imaginaiics, 
A:jf-Hp;if = ^, feront toutes deux imagi- 
naires. 

XIV^ 

Lorfqu'on a une Equation quelconque du fe- Réfoiutîom 
cond degré, on peut la réfoudre fans la com- \^ ^""^f 
parer terme à terme avec TEquation générale cond dégS 
xx-^j x=<]i car on peut/anj^augmenter le ^^"^«"r"^" 
calcul y répéter le même procédé qu'on a fui vr formée *gé- 
en refolvant cette Equation générale. 11 ne ^^'^^* 
faut pour cela qu'ajouter aux deux membres le 
quarré de la moitié de ce qui multiplie x dans 
le fécond terme du premier membre , & pren- 
dre enfuke la racine quarrée des deux membres. 
Qu on ait , par exemple , à réfoudre l'Equation 
*" ^ !+• 3 ^ 55= 5^, en ajoutant des deux côtés 1 6^ 



lio tLÉMÈNS 

quarré de la moitié de 8 , on a a; a--!- SxJ^i è 
s=9-|- i6==25'. Et prenant enfuite la racine 
des deuxcôtés,on a a:-H4 — 1 ■ y , c^eft-à.dire 
a;==:— 4-H5 OU^i=— -5> &;i^= I , &ces 
deux valeurT refolvent également FEquation 

XV; 

Pour accoutumer les Comtnehçans aux diffi* 
cultes qu on rencontre dans les Problêmes du 
fécond degré , nous leur propoferons encore le 
Problême fuivant. 



Autre Pro- 
blcme du 



,^0. Trouver fur ta ligne qui joint deux lumières 

(c- tjueito'nques le joint ou ces deux lumières eclai" 

cond degré; ^^^^ également y enfuppofànt âe principe dephy^ 
fique, que V effet d'une lumière eft quatre fois plus 
• grand lorsqu'elle eft deu^i fois plus proche , neuf 
fors plus grand lorfqtielle èfl trois fois plUs pro^ 
che, ou pour s'exprimer comme les Géomètres; 
que fon effet eft en ratfon renverfée du quarré de 
la diftance. , . 

Que a exprime la diftance qui eft entre les 
Iiimîercs données , & que le rapport de 7» à » 
foit celui qui^eft entre l'effet de la plus petite 
•lumière à une certaine diftance & Tefièt de la 
plus grande lumière à la même diftance* , 

De plus i que x exprime la diftance de la plus 
petite des deux lumières à un point pris à vo- 
lonté fur la ligne qui joint les deux lumières ^ 
il eft clair que ^'— a- fera la diftance du même 
point à l'autre lumière ^ que les quarrés de cei> 
deux diftances feront x"- & ^*^— ^2^^-+-4% 
& par confëquettt que les quantités qui feront en 



T^ À LG É n  E. tki 

taifôn renverfée de ces quarrés feront éntr'elle« 
comme l^ Se ^ i ; — -, 

De là il fuit que fi les lupûeres étoîcnt 
égales, les effets qu*elles proadiroient chacune 
dans ce même point , feroient entr'elles com- 
me—à ^ 1 mais ces lumières ayant 

XX jcjc — lax^a a. 

des quantités abfolues qui font entr'elles dans 
la raifon de wj à iii , leurs effets doivent donc 
être enti^eux comme j^^ à ~;^; 

Pféfentemehtpour que le point pris à volonté 
devienne le point demandé, il n'y a autre chofe 
à feire qu'à égaler ces deux quantités, Ce quî 
donnera l'Equation maA'-'^^iamx^mx x, 
== nxx ^ qu'on réfoudra ainfî. 

On commencera par paflèr les termes 
f^xx & lamx dans l'autre membre , ;ùe qUi 
donnera n — ^ my.xx'^:iamx=^ma,a 
Où xx^ifJl^=^il!L^ 

On . ajoutera enfuite aux deux niebibres dé 
cette Equation le quârré de la lînoitîé du coefr 
ficient du fécond terme, & l'on aura 

* Ceci Joit être faèîle à entendre à ceux qui aurofet 
vu dans rArithmétîque ce que c'eft que des raîfons ren- 

Verfées. Il n y a pas plus de difficiûtc a voir que — & 
xx-^-^k x+Ta font en raîfon renverfée de xx & de xx 
^xax aa , qu'à voir que* & ^ font en raifon ren- 
verse de j & 4. 



jt*H- .^^ — --— rite: •+'-r=r7 

aamn 
dotit le fccoïid "membre devient — — r ctt 

44m aamm • 

tnettattt les ëettx termes - — -; Hh ^ 

au même dénominateur & en réduifant. 
Cela fait , on prendra la racine des deux mem* 

bre&de l'Equation, & Ton aura x . 



a m 



aamn am ^ ^ ^ 

a a 

en prenant la racine de la partie ^ ^ qui 



j^fi ufi quarré parfait , & laif&nt fous le iî* 
gne radical fon multiplicateur 7» », qui îi'elî 
pas un quarré du moins dans toutes les valeurs 
de w & de n. Donc les deux valeurs d'à: qui 
jréfolvént TEquation précédente > & par con- 
fequent le Problème qui a conduit à cett« 
Equation font exprimées par k formule 
• • a 1/ 

^ — «—;« 



DesdeoxT»- Qn voit par cette. expreflîoti que l*une4cs 
Sr-te valeurs eft néceflairement négative & la«tr« 
eftnéceflid- pofitive. Car 1°. fi on prend le ligne !?r- pow 



. P' A Ln E BRÉ. 4 if 

lâ'quâftttté radicale V mit^ïL n'eft pas douteux rcmcntiioè* 
que la quantité totale ne (bit négative. 2^^ Si twe , l'autt* 
ioh fait V 'm » pofitive > - — m-^y/ mn qu'on " ^***^* 
a alors fera pofitif, parce que ayant fait par la 
fuppofition n plus grand que m^ ^'mn doit 
être plus grand que m. 

XVIL 
Si on cherche préfcntement lafàge qu'op 
doit faire de la valeur négative , on trouvera , yaicw néga* 
ea fe rappelknt ce qu'on a vu ( I. Part. Art. "y<^* 
xxili. ) fiir ces Valeurs dans les Equations du 
premier dégré,qu*elle doit être prife dans un fçns 
oppofé à la premief e , c*eft-àdire que le point 
qu'elle donne pour réfoudre, ce Problême , au 
heu d'être placé entre les deux lumières , fera 
placé fut le , prolongement de la lighe qui les 
joint du côté de la lumière la plus foible. 

On n'aura aucune difficulté à admettre cette 
pofitioh de la valeur négative de x , lorfqu'on 
remarquera que cette même valeur n'a été trou- 
- Véë né^tîve*, q[ue parce qu'on a réfolu le Pro- 
blême , en regardant le point cherché comme 
J)lafcé entre les deux lumières , car fi on avoît 
ait attention à la poffibilité de prendre ce point 
'• fur le prolongemcnlb de la Irgh^ qui les jointe 
on auroit eu un autre calcul lélatii à cette po- 
ïîtion , ôc ^x qui aùrbit été alors placé natU- » 

tellement fiir le prolongement de la ligne qui 
joint les lumières , auroit été pofitif* 
XVIII. 
Pour nous fàîré miei^x entendre , hbuî alloil^ 
reprendre le Problême en entier, en fuppofànt 
le jJoint cherché fur le prolongement de la ligne 



114 EL E M EN S 

qui joint les lumières- La diftance de ce pcnrît 
à la plus petite lumière étant toujours nommée 
x^ ta dillance à la plus grande lumijeré fera 
alors A'^x y les quarrcs de ces diftances;r a- & 
aa-^tax'^xx; les deux quantités de lu- 
mière — & ■ ■ i^ >lefquelles étant 

égales p.ar les conditions du Problème ^doftne* 

m n 

ront ^==' , — ou maa^iamsè 

XX «tf + 2 ax+xx 



'^mxxr±znxx ou n^'^mY,xx^''^7,ainx 

1 a m*x m 

^±smaa oxx XX'-^-^ ass ad 

n m n-^^m 

qui étant réfolu donnera 

. aXm-^V mn 

X cs=3 ' dont la première valeuf ' 



aXm + V mH 

fera pofîtîve ^& Id feule <mx ré- 

n — — . tn . * 

foudra exaftement le Problême dans le fens oh 
il eift prôpofé alors. 

Quant à 18 féconde valeur ^^^ — ^^ " qui 

» m 

eft négative , elle doit être alors prife dans 

un fens oppofé à la première > c'eft-à-dire que 

le point qu'elle donne doit être placé , non 

comme on Fa fuppofé dans ce calcul ^ fur le 

prolongement de la ligne qui joint les deux 

lumières , mais fur cet'te ligne elle-même. ^ . 

Ainfidans cette nouvelle folution on a^ par 

^rapport aux Agnes ^ tout le contraire de ce 



ly j1 L G E B R È. , ïif 

i^u'on avoic dans ia première » & ces deux fo- 
lutions conficment ce que nous avons xléja vu 
dans la première Partie Art.Lic in, que les incon<^ 
Jnues qui deviennent négatives doivent toujours 
être prifes dans un fens oppofé à celui qu*biii 
leur a donné eh exprimant leProblêime; 

XIX. 

Nous ôterons je croîs tout embarras aux 
Leôeurs fur ce Problême en prenant un exem- 

{)le , fuppofohs que n==^m, c'eflvà-dire que 
a plus grande lumière ait quatrie fois plus dé 
force ique Tautre ; en fubftituant cette va- 
Jeur de n dan s la formule gé nérale deTArt. xv; 
X ====: — i— X ""^ -H V^ m«f ; elle deviendra 
'■y. — iîx-+- i— ^i > c'eft-à-diré OU -*- j i 

•bu -^^ a , qui fourhiffcnt deUx points égale- 
ment propres à réfoudre le Problêhoe , Tuit 
placé entre les deux lumiieres deux fois plui 
près de la foible que de la forte > & l'autre fur 
le prolongement de la ligne qui joint ces lu- 
mières , & à une diftance de la foible égale k 
telle qui eft entre les deuic lumières. Or il eft 
très-facile de voir fians Algébrique ces deux 
pôint$ réfolvent également le Problême , puif- 
qu'ils font l'un & l'autre deux fois plus prèà 
de la lumière foible que de la forttb & que là 
forte eft quadruple de la foible. 

: XX. 

Les principes que nous venons de donner 
font fufSfantsipour toutes les Equations dà 
fécond degrés mais commtlesCommençansne 

Hîj 



11^ E L E M EN s 

peuvent gueres . les poflfeder qu'en les pratî«» 

cuant 9 nous allons les exercer à la réfolu- 

tion de plufîeurs £t[uations y ils y trouveront 

cet avantage^ qu'outre qu'ils e^n fçauront mieujc 

la méthode 9 ils apprendront en noême-cems 

de nouvelles opérations d'Algèbre qui font fans 

doute dues aux recherches que les premiers Ana- 

lyftes ont fait fur lesÇquations du fécond degré. 

nc^r« d^ Soit b XX =^ 2 c'^x^2cca,^n or- 

réfoiutions donnant cçtte Equation, ceft-à-direenpaflànt 

d'Equations [q^ termes afièôés de x du même côté & divi- 

du fécond ^ « i /r* • i 

dégri. fant tous les termes par le coefficient de ;r ^ ^ 
on auï;a x*— - — — - = -— — ,auxdeuxmemr 

b b 



c 



4 



très de laquelle ajoutant -77—5 & prenant 

b b 

ce 

cnfuite la racine quarrée , on aura •*•— ::— r^ 




c c -4- v; A a if+^cç 

c'eft-à^dire ^=5: — =:=^J 

b 

Soit ffihii — ^^•^•^-^•^— --^îf^ 

qui devient d abord jj-^ — x xx'+-2gx 

ffnn-^ggnn xgnnx 

— — ou a:^!-H "T^ 

m m — — n n fnm — nn 

ftzn^ ffnn^ggnn g g n^ 



ly AL G E B R E. ixj 

ffnnmm^ggnnmm ff*^ 

F= ; ^ > tf OÙ 

1*011 tire ■ 

gnn nVfffnm'-^ggmrn^^'-^jfnn 

jf-*-- a=H ' — ^ = ou 

— HMR nn 




X s= X — :gnztyffi'^^'+^£Tn7n^'^ffnn. 

Soit a b c — aff^^2af7L^=a z.z.^bzJL 
qui étant d'abord ordonnée deviendra 
laf abc — aff . 

z.7i^ z^ — — ' — , enluxte 

a-^b ' a — 'b 

xaf auff abc'^aff. ^^ 



4 — ^ a — b ^Tl^ 

qui 



Maff aab c — — - abbc -H a h ff 

donne ^ == "'^^^ --~ 

Soit à préfent PEquatîon 4^^*-*-^^* -+• 
i2^;r= i8^fe— ti8i&^, enTordonnant on 
Siura ATA?—» ^2 AT == :^ ^ ^ — p 4 ^ -^9 ^ ^ > ou 
AT AT — i^x^^aa^t^taa — ^ab- ^^bb 

qui donne x^=.\ ^-tri/ T^Z^rpTXnhpZîé. 
. On réduira aifément cette quantité fi on 
^vû, & on ne pouvoir gueres mai>quer de 
le voir danatoutce que nous venons de dire , 
que le quarré d\ine quantité compofé de 
deux termes , dcvoit çtre égal à la fomme d^s 

3 narrés de chacun de ces deux termes y Se au 
ouble produit de ce^ deux termes. 
Cor trouvant daôsla quantité 2 ^^-a-:p^ 

H iij 



^ig E t EM E N s 

L^phB^ les termes ^aa & 9b b qui font les 
qùafré^ dQ^aSc de ^b^$c le ttxme^ab qui çft Iç 
Rouble produit de ^ ^ & de 3^, ou voit aifémçut 
que cette quantité J^^i — p^^H-piè eft 
te quarré de |^ ^g — 3^. Donc au lieu de l'ex^^ 
preflîon Y-^aa-^-^^ba-^^bb ^ on peut écri- 
re fimplement 4 ^ — 3 * î donc la valeur dç 
>r eft alors i^rtlr'f^H^}^ j» c?efl-à dire oi; 
i-^T-3^>ott-r-^-4-}i, «n^flct Ton Voit 
que ces valeurs rétoivçût égaiefhent l'Ëqua^ 
tion donnée. 

XXL ^ ^ _ 

. ; Comme. dans les diifëreiM;es,£quatÎQAS ^% 
fécond degré qu'on peut avoir à réfoudre , il 
arriyera fouvcnt des cas dè^ même nature* qufei 
celui qu'on vient dç traiter ; il Taiit avoiç 
gùelquè méthode fûre & générale pqur re- 
Cpnnoîtreles quantités qui font des quairés ; 
$ç pour trouver leurs racines , cette méthode 
*^ eit aifée à tirer des principes que nous venons 
« ijïL j d'employer dans l'exemple précédent $ en voi» 
î^cxtràdion Cl le procède lur un autre Exemple. 
dé la racine Soît la quantité 3 o/Zi&4-9"*^-+-^i'^* 
piiquéfur dont on demande la racire quarree. 
çi exemple. J'^or<Jonne d'abord cette ^quantité par rap- 
port à une dés lettres qu'elle contient, par rap^ 
tport à i«, par cxcuii^e , &f écris par confé- 
-quent ccfttè quantité , ainfi l^u^on la- voit danô 
^ )a Tatle cî-^oimecafe 1. 

Je prends ejfifoîte latacfnè du pférmer tçrmè. 

^Sa* 9 ùqoélk è'ft' y ^ que' je éprends pout 

, premier terme delà i^ine-chécfaëej, & ^ué 



jyALGEBRE, J19 

f ëcris à côté de la quantité propofée 2f <* * -h 
aobaA-9bb, ayant tiré auparavant une barre 
pouf éviter U çonfufion, )e place alors fous la 
propotéç le-quarré 2Ç<«' de y^ en lui donnant 
U figne — * je tire une barre & je réduis , j'ai 
par ce moyen la quantité jo fe <» -H p * & que 
f écris fous la barre ; cela fait , je double y* , cq 
qui me donne 10 <« que j'écris au-,deffus de j*, 
& je divife enfpite le piremiet teroie 3 o fc« de la- 
quantité 30 ba'^3bbifax io«» & j'écris le 
quotient j A qui eft le fécond terme de U ra» 
àne cherchée à cdté de J « , je l'écris en mê- 
me-tems à côté de^ 10 ^^ je multiplie ce nou- 
veau terme j * de là racine far la quantité f«- 
périeurc i otf -+^ j K en obfervaw; comme dans , 

fa divifion ds changer les fignes -en écrivant 
le produit fous la quantité jorfè-hp^*; tai- 
fant alors la réduaioo , .8c voyant, que tout, 
fe détruit , je cofldus que 5 « -t* î * «* ** f *5 • 
<nne cherchée. 
■ XXII. 

Pour fortifier fe$ Çommeoçans dans la méw 
^ode d'extraire les racines :quarrées , il ne fer^ 
ps inutit de kur foire p^cowir les deux • 
exemple» fuivans., ^j 

Soin d'abord pApofé d'extraire îa racine ^^iUitrcs 
duarrée de la quantité 4^ a* — ^ba^^ca a»cxtraaion 
2^hb\^2€b ^c c ordonnée , j^ar rapport de»ânc 

à ^. ~ • j i 

' Jecommënceparprendrc laracme de4,^ , 

• laquelle fA ia que j'écris a;^coté de la pro- 
potée, Cv0ye2l la féconde café delà Table ci- 
joînte ) jp tètraache enfuitc-Iç ^uarré ^aa,. 



tio ^ EL E MENS 

&'f écris le rcfte — 4.^^H-4r4r«4- i*-«*. 
Acà^cc i jç double !<:?,& j'écris le dou« 
ble 4.^ au-deffus , je divife lé terme •«■^4^^ 
par ^a 9 & j'écris le quotient •; — è y tant à 
oôté de la racine que du divifei^r 4^^ muU 
tipliant alors - — h par 4^ n^- A , j'ai en cban-r 
géant les figdes -t- 4 ^ ^ ^--r é ^ qui étant placé 
fous le dividende donne après la réduâion 
H-4^^— r2 f h -f- ce qui doit fervir encore de. 
dividende, je double alors là racine aa-r^i , 
Se j'écris le double 4^27-^ 2 i^ au - deflus , je di- 
vife -4-4 r^r par 4 ^ j( & j'écri» le quotient -+-r 
à côté de la racinç 2 an — è , Se à coté du 
divifeurj ftifant çnfiiite U multiplication de 
*^c par 4 a -^2^ «4*- c , & écrivant avec des fi^- 
gnes différens le produit fous le /dividende^ ( 
tout fe détruit, d'où je conclus que la racine: 
cft poiEble , & qu'elle e& zar^h-^c. 
-Soit enfuite prppofé d'extraire la racine* 
quarrée de la quantité ^x"^^ S ax^ r^^ 
^a'-x'- ^ l6h^x'-A-^6b^ax^l6b^ 
ordonnée par rapport kx 9 eiï foivant les opé- 
rations qui font écrites dans la table ci-jointê. 
café j , on verra facilement que la racine de 
cette quantité ejl de 2 a: ^ H-^ ax*-^^bb^ 

Dans les dfÔërens exemples que nous aVQjBs^ 
d^onçé concernant les réfolutipjns des Equa- 
tions du fécond degré , Iqs Commençant- 
n'pnt guçres pu trouver de difficultés que 
lorsqu'il étoit miciîion de rçduirç Içs quan- 
V\^ ra^icalçs Ca otm de deiâTous Iç figne j 



Pag» liû; 






C^afei. 



. ^r^-f-rr 



i-— iri-+-rr 









Cafct. 



hiXim\mi6biax^x6b^ 



^Art*4-i 6hax^î6b^ 









Cate). 



ê I 



jes guantites.quarrees qui étoient des produi- 
fans de la quantité radicale ; en effet cettQ 
Qpérauon eft Ja plus délicate de celles qui 
peuveiit entrer dans la réfolution des Equa- 
tions du fécond degré , il eft donc impor- 
tant que les Commençans s'appliquent à la 
pratiquer facilement. Pour les aider à y par- 
venir , qous joindrons ici le» exemples fuivans. 

v7'y-^aahb^^ar^_ 7^rTrvab ^^^^*^ 

O^C ç de quantitét 

•/ , , > ' ladiçalcs. 

V aahhmm _, Aaam^ am > , , . 




. XXIV. 

Pfefqu'aullîôt que les Equations du fécond LcsqaantU 
degré ont fm connoître les quantités irratio- J^^f dcTa! 
nelles ou încommenfurables (on appelle aiôfi cinc$ exacte» 
les quantités qui n'ont point de racines exac-^comm^fu-" 
tes) on a été obligé de faire fur ces mêmes rabies ouir- 
quantités les mêmes opérations mie fur l^s *^*^o^«^^^^ ^ 
quantités rationelles oli commenfurables , c*eft- 
à-4ire 'qu*on a eu à ajouter , à fouftraire ^ à 
piultiplier, à diviferdes quantités, outoùtôi 
încommenfurables , ou en partie ihcommenfu^ 
râbles , & en partie commenfurables. • ; -"^ 

Quant à l'addition & à la fouôraftion 3es L'additdoDL 
quantités radicales, elles ne renferment ^vlox- ^^^^"f^^^ 
lie difÇculté que celles dé la réduction de cts quantités ne 
mêmes quantités à leurs plus' fimples ex^rèf, f^PP^f^^^^^* 

fiopSi tion. 



12i ELEMENT 

Par exemple j s*il faut ajout^f V ^%ahh. 
avec ^ V* 7 5 ^ , je change la première de ces 
quantités en ^bV^ a^ & la fécond^ çti 
^h^ 14% dont la fomme eft p i %/ 3 4?.. 

De la ^même manière \/ ^^c * -^ \/ff ^ * 



^.n/ 4& 



1 c 


\Jah, 






K 


3 4«i -f- 6a 




c 




-^^CX 





a-t-^ 



XXV- 



Muitîpiîca- A Fégard de la multiplication , fi les quan* 
tien des i«- rites qu'on a à multiplier font toutes deux în- 
laUt*,^" ^' commenfurables j il eft clair qu*il rfy aura au* 
tre chofe à faire qu*à multiplier les quantités 
qui font fous le (îgne radical , ^ mettre le 
mçme figne radical à la tête dû produit.; s'il 
(e trouve alors des ré<i^âions à is^% j^ oû les^ 
Ésra commi? ci-deflus* € 
:' Pu'on ait à multiplier , par exemple» 
ij4^kXs\/ ac on écrira \/ a a bc o\x a s] h c 
., Demêm€?V3^^>(^ ^\fi^'^=^y l^fl^^Â 

' e^i-ç^queks quantités radicales qu^oi^ aura a 

tnpltiplier feront égales , il faudra amplement 

' otçr ic figne radiçal.Pour multiplier, par exem-?, 

fie V 4j ^ çd p4ç. ^ a^ cd , on çcrit fimple^ 



S" A LG ES RE, tif 

inent la quantité a^cd fans figne radical. 

Si I4 quantité qui niultiplîe un radical «ft 
rationelle , il faut fc conteqter de récrire 
devant le figne avec une barre au-deflus lorf- 
qu'elle a pli5îèurs termes ; fi où vduioit la faire 
entrer fous le figne radical , il faudroii h quar* 
fer auparavant. 

Par exemple, l e prpd uit dc^-H^- 

T aa — àb ' aarr'bh 



OU l/ff fZ Xag-^-xcLh-^-hh 
a a — b h 



^ a b ^^ Va — t 



3 a 



S'il eft qàcftian de multiplier des quantités 
çompqfées de piufîeùrs autrês,^jcm toutes* ^di-, 
baks ioax ^n partie ,fadiGaiîas-«:«»^Atie in- 
Gommcnfurables, r<5piSration n*en fera pas plus 
difficile que les précédentes, pourvu qu on fe 
rappelle les régies ordinaires des multiplica-, 
tions des quantit^s^oinpleiœs. ' *) 

Par exemple, ^^V b<^i^£vlLi% fi^ V^P 

^2/iammmblmi^2avTa^^^ri^^ 



,54 I L E M E N^ 



lncommcn< 



a^yaa—xxy. a-^i^ aarr^xx^:sixx* 

XXVI. 

Lorfqu'il s'agira de divifer deux quantités 
irrationne41es Tune par l'autre , on divifera les 
quantités qui font fous le fîgne , & l'on mettni 
le fîgne devant le quotient. 

S'il faut divifer une quantité irrationelle paj? 
une rationnelle , on mettra Amplement la ra- 
tionnelle fous Tautre avec une barre aflez lon« 
gue pour qu on puifTe connoître que le fîgne 
ne porte pas deflus , fi on veut au contraire , 
que le fîgne radical y porte ^ il faudra quarrer 
le divifeur. 

S'il y a des quantités commenfurables de- 
'^ant les radicaux, on les divifera à l'ordinaire, 
& pn écrira leur quotient à côté du quotient 
radical : toutes ces chofes s'entendront fans aur 
cune peine par les exemples 

Va aV k ^cVii 



XXVIt 

^ Ce qu'on vient de dire concernam les Equa- 
tîons du fécond degré fuffit lorfque ces Equa- 
tions ne renferment qu'une inconnue ; mais 
comme on rencontre fouvent des Problêmes 
dans lefquçls U efi neceiTaire d'en emfhj^x, 



ffALGEBREi I2f 

Îlafîeurs > il faut voir comment Ton traite ces 
Problèmes ^ nous prendrons dans cette vue 
l'exemple fuivant. 

trouver trois quantitis en woffrejfion ^ gio^ p^^^^^ ^^ 
métrique , dont lafomme frit donnée ^ ainjTqtu ^^conàdégié 
lafivmede leurs cfuarrfs. . ^^t. 

Soient les trois quanutes cherchées x^y^z, connues. 
on aura par la nature des progrdfions 
jt; j^ == y : «. a (fQ&'k'direyy:=:x8i; de plus, 
parceque leur Tomme efl donnée , en nom- 
mant cette fomme a , on aura X'+^y^z^^Os 
enfin en nommant la fomme de ledrs quarrés 
bh on aura par la dernière condition du 
Problême x xri'yy'+^z.z.=^bb. 

Pour faire ufage de ces trois Equations on \ 
commencera par chafler z: au moyen de fa 
valeur a — x — y tirée de l'Equation x^+y^z. 
z=La ; fubftituant donc cette valeur de z. dans 
les deux autres Equations» elles fe change* 
ront en 2. y y -+- 2 *• ;c •+- ^ x^ *^ aa 
''^'2,ax'''^2ayr=bb^ Scyy:=:ax — xx 
«-^ xy. Pour chafler enfuite celle qu'on vou- 
dra des deux inconnues que renferment ces 
deux Equations , on trouvera la valeur que 
cette inconnue a da\is chacune de ces Equa-r 
tions, & on égalera les deux valeurs que Toq 
aura par ce moyen » or ces deux opérations 

* Trois quantités dont la première eft à la &condew 
comme la féconde à la troiiîéme , telles que 8 » ii, 1 8» 
par exemple, font dites* en progreffion géométrique 
on en proportion continue. On ne fçauroit entendre la 
théorie àes proportions qu'on ne (^acfae en méme-tems 
celle des progreffions. / 



iàè k L E M k N S 

font facifci par le$ principes précédiens i ofi 

.aura pour la prfemk fe Equation 

Se pour la fécondé 

ny a donc plus au a égaler ces deux valeurs ^ 
ce qui donnera 1 Equation 

^ ^ ■ ■ ' 

^ ne s'agit plus que de réfoudre: 

On remarquera premièrement tjiiê les terme^ 
•— î 5^ -4- f « font communs des deux côtés , & 
que par tonféquent rEquatibh fe réduit à 

»= ^v ^ « ^ i-^i. ^j i — lyy^ 0r eii qùaf rahè 
les deux membres de fcette Equation , les deux 
radicàux^difparoiffeht tout de fuite , & TEqual 
tion devient en réduifaht ay r^^^^^aa-^^^bè 
•qui donne jr =.iLzii. ^ fubftituant enfuitë 
cette valeur de j dans l'une des précédentes 
de x^ on aura» ;.♦../.., Ar=ïi^-4- — 

^^V\aa^\aa^\bb^J^aa^Ub^ l^ 

jOU X srs - ^ 7 ^ . 

& en fubftituant la valçur de a: & celle de y 
dans ^ s== ^ — -x —y , on aura enfin 

4« 



t^^ ALGÈBRE i5A 

XXVII L 

Comme on eft arrivé dans cette folutîon à 
ùme valeur extrêmement fimple jpour j> , après 
iavoir eu des radicaux affez compofés , on doit 
foupçonher qu^oà pouvoit y arriver par une 
voye plus courte j en eflèt avec un peu de re- 
flexion , on trouve facilement la ihétliode fui- 
Vantek 

Soient rejprifes les deux Equations 

t bh aa Autre ma- 

^ z % J ^^"^J ^foudrclesE- 

^-^^xj^^ax == — y y; en retranchant ces ^^jj^"* P'^' 
deux Equations Tune de l'autre on a 
^ . b b a a if y u 

o=s . *-^ — . ^dy d ou 1 on tire 

y == "^ -- qui étant TubAitùé dans l'une 

la 

ou Pautrè de ces deux Equations donne • . . • . 

* . u ax ^-^h b X 

* * x^^^-^.^^ — : — — 4.V 

,^a^^iaabb'^b^ ^ bo-^-auX^t 



^ a a xa 

'^à^-^xaabb — b^ 

*== — ^-^ T- — d^oùrontirelamS* 

me valeur de x que ci-deflus. 

XXIX. 

Bans ce Problème on à eu des quantités 
qui fe font détmites par une efpece de ha- 
zard, ce qui a extrêmement iîmplifié iescal-* 
culs i mais comme les E^uatipos du Sj&Gooà 



ïfift ELEMEl^S 

âégré à plufîeufis incohàùes n'oi&eot pas toil* 
jours de pareilles facilités , il faut fçavoif- ce 
qu on feroit dans des cas moins iimples. ^ouk: 
cela foit pris y par exemple^ les deux Ëqua*» 
tiens a:*-4-^^-— 2Arj=rjt^ ^2yjy ; 

i'E^Son ^^ première de c es Equations donné 

du fécond ài-x = ^a -H > -+- V^ T ^ ^ — -4y-t-3 J J^ > f 2tU- 

cré à deux . j ^ ^ — * *^ ^-^ -^ 

fnconnucs , tre donne , 

précédent, lant enfuitc ces deu x valeurs & réduifant on a 

Pour faire enfuite évanouir les radicaux 
de cette Equation , je commence par quarrer 
fes deux me mbres, ce q iil me donne \yy — \ a y 

'^\aa—-ay'^^yyt=^ aa, — ay^^\yy 
qui contient encore un radical; afin de le fairte 
difparoître, j'écris ainfï cette Equation.....^.» 
\. . ... .. .. . —^{aa'^-{aj— 6yy 

= dt3y"*"5^^4^'^ — ^y ^3yy^ ^^ ^ 

réd uifant & la ifFant la quantité rad icale ... * 
W- 3 'V— ■ î ^ V ^ ^ ^ — ^ay -+- ^yy feule d*un 
côté de l'Equation, cela fait, je quarre lefs 
deux membres, & j'ai 
\a ^^{a^y ^^aay y —'S^y^'\'S6y^ 

Equation fl-î=9 ^JV — i8^y ^ 9 ^^ X ^au^oy^^yy 
naicàiaquei-Qu en réduifant 

V::t:^^'9y'-^9^y'--3ogayy^2nà^yt==^U^ 
^uation». , c^eft-là FEquatiou qui réfulte des deux prece - 

dentés. 



Ib^ A LG E ÈRE. 4ap 

dehtes , & celle qu'il faudroit réfoudr e pour 
lavoir la folution du Problême qui auroic 
donné res deux Equations • on voit par •* là 
qu il n'en eft pas des Equations du fécond dé^ 
gré à pluiîeurs inconnues , comme de celles dtt 
premier qui ne donnent jamais une EquatioA 
finale d'un autre degré qu elles» 

On petit fan^ avbiir là jpeine de réfoudr j^^^^^ ^^^ 
les Equations du fécond degré , & de chafferfeicrcdctrai- 
éftf\iite lièurs radicaux , parvenir également à cxcmp^t""* 
l'Equation finale. 

Soit repris pour lé faire voir les deux Èquà- 
tîbâs précédentes , & foît tirée la Valeur de 
ixx de chacune d'elles , là première fournira 
x^t=zaa + 2JJ — ax^+^2xyi la féconde 
** s==&^ a mi^jyy^ 2axi^^xj, égalant ces 
deux valeurs on a ^^-+-2j^j'-|-i a:j-^ ax 
€= 2 a a — ^^ j •— xy^2 a X, d'où l'oh tire 

À-cŒ JiZUlf^ qui étant fubftitué dans Tuôè 

OU l'autre des deux Equations données , dans 
xx-'^2ax^xy^:=s2 aa^^yjf pat 
exemple, lacïîange en 



^a--}y 



j « — sy t . j I 

fs=i2 a U'-^yy f qui étant réduite donne là 

même Equation 



ixO EL E MENS 

XXXL 

Pour rompre les Commençans à Tufage de 
cette méthode qui eft d^un grand ufage dans 
l'analyfe , nous allons l'appliquer aux deux 
Equations 

qui contiennent chacune la plus grande com- 
plication que puiflent avoir. les Equations du 
fécond degré à deux inconnues. 

Tirant une valeur de x x de chacune de ce« 
Equations & les égalant on au ra 
7^f XX y-\-T^Xxz=:^h X y'-^d-^i X >-+-e— ^ 
laquelle , en faifant pour abréger les calculs^ 

d — i=p, ^ — i=î 

fe change en /^■^•+-?7z^=^j*'rhp J'^î 

d'où je tire x ^^y^fy^S ^^^ j^ fubfti. 

tue dans Tune ou dans l'autre çks deux Equa-? 
lions données,dans la premiere,par exemple,j'ai* 

■ z • ■■ ■ 

„yz^^y.^q ay -+- bxny^'+'f y-^q ' 

I II • !■ • *"^^ , I _ I —M W . " ^_ '< , I ^ . A 

ly ^m ■■ 9 . 

brr r J'* •+- ^jy. -+- ^ 

ou ny^+ fy-^ q '+'ay +h.X ny* +pSriri ><ly + ^ 

~ I ■ V il ■ ■ z 

:;= cy^-hdy-^eX l y -hm ,^ , .^ 

En faifant alors les opérations indiquées, re^ 
duifant & ordonnant, il vient enfin - 

Bln -+. anin S+- alf -^ znp ^"im/v -^i^ d. ! 
X ^ , " r- ' ' J f 



b' JLGEÈ RÈ. tjj 

ilq+amq-i'hmp-hlfq^in'rd^imti 



a In -4- n n 



aln+n^-^l^ c ^ ^^^^^^<^^ ^^ quatrième 
degré réfultant des deux Equations du fecoiid 
dégxéles plus générales. 

xxxir. 

SI on avoît des Equations telles que a--^.^ 
^ axys==:aé b 8c xxyy'+kccy Xzrsza'^ , 

ces Equations ne feroient point comptées par- dégfé^qLtr" 
tni celles du fécond degré à eaufe que lepro- ^<^"<5"e»&'i 
duitinconnu de x^ par ;; efl de trois dimenfions T/fcc™ 
& que celui de ^* par > eft de quatre di-^-Ç'^' on 
hienfions, mais la méthode précédente fer^ S^s "^^ 
viroit avec la même facilité à, chaffer les x ^e^* £qoa* 
de ces d^ux £;<iiiations. Pour le faire voir,"^"'* 
fuppofons que i repréfente toutes les quantités 
Compofées &jy Se de connues, à quelque dé* , 
gré qu'elles montent, qui peuvent multiptieç 
x"- dans Tune des Equations données; ^ toutes 
celles qui mukiplient a- dans la même Equa^ 
tîon î y les quantités entièrement connues qui 
font de rentre <:oté de la même -Equation , 
ç*eft-à-dire que cette 'première Equation fer^ 
«* x^ » -I- * ^ == y .CJue la fecondeToit de même 

• Pn tirera de la première ;y * «s^ ~^ f^ jjg 

T *• 



ÏJ2 E L E ME N S 

lîe la féconde x' = ÎUlL lefquelles étanf 
égalées donnent y/— -iS'^-vssss ça— «««^ d'où 
Ton tire ^s= ^'"^'^^ , \qvi étant fubftitué dans 

J'Equation io x* ^^x= >» , don ne 

6= y X f *— P J^ dans laquelle mettant pour 
«y, e , y , <r , f , (p leurs valeurs compofées de 
^j & de connues Ton aura TEquation cherchée. 

XXXIII. 

Si les X ' ainfi que les^ montoîent chacunes 

à des dégfés plus haut que le fécond , on 

pourroit encore dans ce cas ^employer la mé- 

CcquHlfau- j^QçIe précédente, fuppofons , par exemple, 

Qfoit feirc • '^. 1 1 t? • 

i^our ar»yet qu OU ait Ics oeux Jbquations 

a: içroit au ^ans IcfqucUes «,iS,>,*^,«,^^X>« repré- 
iroiricmcdé-fgjj^çj^^ toutcs fortcs de quantités compofées 
^^' ffy & de connues , on commencera par pren- 

dre X î duns chacune de ces Ecmations , & on 
égalera fes deux valeurs , ee qui donnera 

. . ■ I '■'■ * I ' ■ ou 1 



OU (pw—€l6 X ^*t=>£.— x«XA:-+-iia— J^i 
dans laquelle x n'eft qu au fécond degré, 
Slurtipliant enfuîte cette Equation par <** ^ j 
ainfî que l'Equation oux^^^x"- ^y x^^ss^i" 



'VA LG E B ïi E. 155 

par p « ^^^ t jS ♦ j'ai tes deux Equadons^ 

& çtt* — a1?x-y3^ ^(p<t-— ^»tx>y'*i^y<P<^— ^>g^XAr 

s-s i' X ^ <* — * ^. 

Defquellcs je cbafle x^ comme des deux prc- 

mier e& Equations » c e qui me don ne 

«X ;.t — xct-4-^Xf«— .^fX^*^ 



H- « X « •— /• -H> X ^ «-~« * X A? 



':?= / X ^ «— « ^* Dans laquelle *fle monte non 
plus qu au fécond degré , voilà donc le Pro- 
blême réduit préfentement au cas qu'on a r^ 
folu dans l'article précédent , c'eft-à-dire à ce- 
lui oà l'on a deux Equations dans lefquelles 
l'inconnue x ne monte qu'au fécond degré; 
il eft donc înujtile d*achever ici le calcul , pûif- 
qu'il n'auroit de difficulté que celle de fa loxh: 
gueur. 

XXXIV. 

si l'inconnue Qu'on veut chaffèr des deux E- ccfcroit u 

Ouations propofées , s'y trouvoit élevée à un *ncmc cboïc 
égré plus hqjjtque le troîiîéme , on voit bien àdès'dégrS'" 
que par une opération femblable à la précédente P^»» éicvé$» 
on les changeroit d'abord en deux ajitres Equa- 
tions d'un degré moindre , Se que par ce , 
moyen on parviendroit toujours à chaUer en- 
tièrement l'inconnue. 

XXXV, 

SI au lieu de deux inconnues on en avoit trois 

liij 



i^4 EJLEMENS 

,.^ ^ élevées chacune à un degré quelconque 5 îleff 
voi/*piuJ de clair que pourvu qu on eut trois Eîquations, on 
deux incon- parviendroit par la même méthode à une Equa* 

nues on par *. r» i • • j • ii 

vicndroit de tion finale qui ne conttendroit que celle que 
"ilno* fi- ^'^^ voudroit de ces trois inconnues j car ou- 
quanon ^\^^^ d'abord uttè de ces trois inconnues, deux 
des trois Equations fuffirolçnt pour arriver à une 
feule qui ne renfermeroit que Tinconnue oiir 
bliée , & que celle que Ton ybudroit des deux 
autres inconnues. Faifant. çnfuite la même 
opération avec l'une des deux Equations em- 
ployée dans la première opération & la troî-e 
îtéme Equation , on parviendroit à une autre 
^Equation, entre les deux mêmes inconnues 5 
c'eft-à-dire que le Problême feroit réduit à 
celui où l'on a deux Equations à deux incon- 
nues f d'où Ton parviendroit enfin à une feule 
,4ncohnue renfermée dans une Equation. 

Si on avoit quatre Equations & quatre in« 
connues , on réduiroit de même la queftioa 
à trois Equations & trois inconnues , puis k 
4eux Equations & dçux inconnues ^ puis enfin 
à une feule Equation & à une inconnue; Il 
çn feroit de même pour un plus grand nombre 
^'^quations & d'inconnue^. 





ELEMENS 

D'ALGEBRE 

TRÔISIFME PARTIE. 

Où ton donne quelques principes gé-* 
néraux pour les Équations de tous 
les dégrés , avec la méthode de tirer 
de ces Equations^ celles du premier 
Ù* du J^cond degré quelles peu^ 
^uent renfetlner. 

I les Equations plus élevées que le 
fécond degré ont préfenté de gran- 
des difficultés , lorfqu'on a entrepris 
de les réfoudre dans tous les cas , il 
a été du moins aflez facile de faire fur ces 
Equations des réflexions générales qui p(>u- 
voient en faire connoître k nature , Se fervir 




Ijtf E LE MENS 

ji les réfoudre dans beaucoup de cas partlcuUerf «^ 

Ayant vu , par exemple que les Equations 

du premier dégre n^avoient qu'une racine , que 

celles du fécond en ayoient deux « on a été 

porté à croire que celles du troifîéme en 

avoient trois & ainfi de fuite , & pour s'aflu- 

rer de cette vérité, ou plutôt pour comprendre 

commçnt qne équation pouvoit avoir autant 

de racines qu'elle a de dégrés , on a cherché 

l'inverfç du Problême qu'on sj'étoit propofé 

^'abord , c'e(l-à-dirç qu ^u lieu de chercher 1^ 

racines d'une Equation , on a cherché quelle 

feroit l'Equation qui auroit pour fes racines 

des quantités données , problème infiniment 

plws facile quç Iç premier^ 

I. 

ftc^ une Qy^'on demande , car exemple quelle eft TE-. 

Bquation quatioH dans laquelle x pourra avoir egale^ 

5cVc$TaçI- ' "^^'^^ pour valeur ou i , ou j , ou y ; on n'a 

Açs, ' qu'à former ces trois Equations (impies 

;c — 2=:Q;X'f.^^=^OyX — , 5* =cQx mul- 
tipliant enfuite les deux premières l'une par 
Fautre , Se leur produit par la troifiéme , on a 
x^ -— lOAT* -+-31^ — jOac? (^ dan^ laquelle 
on peut fuppofer également x = 2 , ou =5 > 
pu ?== j. On voit aifément que chacune de c^ 
valeurs étant fubftituée à la place de x dans 
l'Equation ^' -r- io^^^^jiat— '305=0, 
doit la refondre^ ou ce qui revient au même , 
en doit faire évanouir tou§ les termes , car 
cette Equation pouvant s'écrire aînfî 

^•^«XfTwmJ X Jt-^^'çacQ j, chacune de 



Tes "parties étant égalée à zéro doit , à caufc 
qu'elle multiplie toutes les autres , les faire 
évanouir en même-tems ; or la fuppofî- 
tion de x t=2 , ou s= } , ou ?= y rend tou- 
jours zéro Tune des trois parties at— a, ^— 3> 
;r — ;-• 

II. 
Par cette méthode on voit comment une uncEqtw- 
Equation peut avoir autant de racines que de «io"*?«""^ 
dégrés ; pour traiter la queflion plus en gé- qSJdc dî- 
nerai y foient aybyd d yC i les racines d'une g'^»- 
Equation,& partant x — • ^ = o , ^ — b =o, 
X — c=iOy x—d^siO y X — f=o, les 
Equations (impies qui compofent l'Equatioa 
dpnt les racines font ces quantités. En mul- 
tipliant toutes ces Equations les unes par les 
autres , on aura 



,f'_<i**-Ha6jc 


' — abcx'-+- abca 


— b 


■+-ac 


— abd •+• abce 


-^ c 


■+-ad 


— abe H- abde 


— d 


■+-ae 


— acd -^-acde 


n — e 


-hic 


— ace -^ bcdt 




'f-bd 


^Ot 




^bf 


— bci 




-+-çd 


<*—/«■ 




-+-ce 


— bde 




-^.de 


— cde 



pour l'Equation dans laquelle x peut avoir à 
la fois les^ valeurs données a ^b yC yd, e. 
III. 

Il eft aifé de tirer de cette Equation , ces propriété 
remarques générales fur les Equations de tous des Equa- 
les dégrés ic dégiéi. 

I** Que le premiçi: terme rfeft autre chofc 



Ii9 "E L E M EN S 

que Knconnue élevée à la puiiTancc exprimée 
par le nombre des racines fans coefficient. 

Que le fécond terme contient l'inconnue 
élevée aune puidance de moins avec un coeffi- 
cient égal à la fomme des racines. 

Que dans le troifiéme, Finconnue fe trouve 
élevée à deux puiflances de moins , & a pour 
coefficient la fomme de tous les produits deux 
à deux qu'on peut faire de toutes les racines. 
Que dans le quatrième on aura de même 
l'inconnue élevée à trois puiilànces de moins 
avec un coefficient qui exprime la fomme des 
produits de toutes les racines prifes trois à trois. 
Il fera ainlî des autres termes jufqu'au der- 
nier qui n'aura aucune puiffance de x ^ mais qui 
fera le produit de toutes les racines les unes 
par les autres. Ces remarques ont fervi de bafe 
en beaucoup de rencontres , foit pour trouver 
les racines des tquationy proposées, foit du 
moins pour connoître plufieurs de leurs pro- 
priétés. 

IV. 

Dans une On a tiré , par exemple, de ces remarques 

fficond q"'""<^ Equation comme ^^^x-^^^x- 

terme la -+- 7 AT — 3 == o manqîiaut de fécond terme , 

wdnes pofî. ^^^^ ^^^^^ néceflairement des racines pofitives 

tivcscftégï-& des négatives, de plus que la lomme des 

Légariv»."*^*""^® doit être égale à la fomme des autres.^ 

car fans cette condition elles ne fe feroient pas 

détruites pour faire évanouir le fécond terme. 

Ainfi dans une Equation du troifiéme degré , 

où le fécond terme manquera, il y aura tou)ours 

ou une racine négative égale aux deux pofiti- 



veif i OU une racine pofitive égale fiu* deut 

négatives* 

V. 

On a tiré encore des mêmes remarques que une Equt- 

lorfqu'uhè Equation n'aura pas de dernier ^*^." *Ç^ "'* 
* .i /- 7 »•! • * point de ter- 

terme j il faudra qu il y ait au moins une ra<^ me connu 

cine égale à ^pero j* ce qa^on auroit pu recon- * *" ^^^j^^'^^ 
noître auffi enfaifant attention qu'une Equa-gaicàicro/ 
tion telle que x^ -f* y **H*3 xtsszO qui man- 
que de terme connu peut toujours fe divifer 
parATssso. 

VL 
Lorfqu'on voudra retrouver dans une Equa^ Çonditionf 

1* .,, • . iff^* qu'ilfeutob- 

tion les propriétés qu on vient d énoncer , on fcrvet dans 
voit bien qu'il faudra que tous les termes de""^^^'"^^**'* 

~ *. ^ . «k ^ A # >•! pour y troa- 

çettè £quation Toient du même cote > qu ils ver les pso- 
foienr ordonnés par rapport à l'inconnue , Se l^^^*^^^ 
que cette inconnue n'ait d'autre coefficient que 
1 unité au premier terme. De plus, que fi queU 
qu'une des puîiTances de x manque dans i'£^ 
quation , il faudra toujours prendre pour quat- 
rième des autres termes ceux qu'ils aurôient 
fi ces puifiances ne manquoient pas; par exem- 
ple dans l'Equation x^"-^ ^x^ -4^4 -^ -— yssso 
le terme j x^ n'eff quelle troifîéme , parce que 
le fécond manque i & le terme ^x efl le cin- 
quième , parce que le quatrième manque. Si on 
vouloit donc appliquer les remarques précé- 
dentes à une telle Equation ^ oîi diroit que 
la fomme de fes cinq racines eô nulle , c'eft- 
à-dire qu'elle a néceflairement des racines né^ 
gati ves & des racines poGtives , & que Ja fom- 
pie des premières eft égale à la fomme des au- 



jïî<5 £ ILS M EN S 

très. On dîroit encore que la Tomme des pro» 
duits de toutes les racines deux à deux eft éga? 
le à — }j que la fomme de tous les produits 
trois à trois eft o » que la fomme de tous les 
produits quatre à quatre efl *-i-4> qu'enfin le 
produit de toutes les ,racines efl -— j*. 
VII. 
Méthode De la proprie'té qu'a le dernier terme d une 
fntidMS Equation d'être égal au produit de toutes les 
commcnfu- racincs , on peut tirer une méthode d'avoir 
Bquation."^ toutes les raciùes qui font conunenfurablesdans 
une Equation , car elles doivent totites fe trou- 
ver en tentant la divifîon de l'Equation par x 
plus ou moins chacun des divifeurs du der« 
nier terme. 

Par exemple , qu'on ait l'Equation x '—y xx 
H- 7 AT — 3=a , les divifeurs du terme -^5;» 
ne pouvant être que -~i ,— 3 , -+-1 , -+•} ; je 
tente la divifion par x — i, x»-^^ ^x^i , 
•*•-+- 3 ; elle réuflît par x — * i & par a: — 3, 
& je vois que l'Equation auroit pu s'écrire ainfî 

*•— . I X ^ — - 1 X ^ — j =0 , qui ni*ap- 
prend que l'Equation propofée a trois raci- 
nes t dont Tune eft o-^- j 4P ^^^ autres tout^ 
deux égales font chacune -+- 1. 

Lorfqu'une Equation ne pourra pas fe divifer 
par aucune Equation (impie compofée de ^ -+- 
ou ——quelqu'un des divifeurs du dernier terqié, 
on fera (ur que cette JEquacion n'aura aucune 
racine commenfurable. 

VIII. 

Il fe préfente contre cette méthode de trou« 



ifJLGÈÉÉÈ t4* 

Xér les ràdoes commenfurables , une difficulté 
cfuî, au premier coup d*œil , paroit aflèz con- 
nderable i c'eft que fi quelque racine de cette 
Equation écoit une fraâion , on ne fçauroit 
pas comment la trouver parmi les divifeur^ dck 
dernier terme , parce qtfen admettant des divi- 
feurs fraâionnaires dans un ndhibre^ on en 
peut trouver à l'infini. Mais il eft aifé dc>é- 
pondre à cette difficulté en faifant remarquer ^^^^^ ^^ 

3ue tous les coefficiens d'une Equation étant Eqaarion 
es nombres entiers , il eft impoffible que l'in- ^^'^eni^* 
connue ait pour valeur une fraftion. Je crois font des en- 
que ceux qui pofledent un peu l'Arithmétique Jî^niiurnê 
des fraâions reconnoîtroient fans fecours larçauroirêtre 
vérité de cette propofition; mais pour leur fa.'»^^*^^"* 
ciiiter les moyens de s'en afliirer> prenon» 
pour exemple une Equation comme 
jc^^ax^ >m^bx'i^c==zo , dans laquelle ^ ; 
h , c, font fiippofés des nombres entiers. Il 
«ft évident que x étant une fraâion ,x^ fX'^ ^ 
€n feront aulC , & que jamais la fraâion qui 
exprime x^ ne pourra fe réduire à une qui ait 
le même dénominateur que at*^ ou fon multi« 
pie ax^. A plus forte raifon la même fraâion 
^e pourra pas no»- plus fe réduire au même 
dénominateur que .v ou fon multiple ^ ;if , donc 
A:'-+-tf^*-+-^ AT ne pourra jamais faire une 
fraâionplusfimpleque at' qui eft irréduétible. 
Donc X ne peut jamais être une fraâion dans 
de telles Equations. 

IX. 
Lorfqu'on aura une Equation dont les coef- 
ficiens feront des fraâions , on ne pouf ra pas 
en la laiflànt avec fes fraâions uouver par la f^ 



non 
ionqne, 



î4i 1È t É M Ê rf\È 

méthode précédente les racines commeâfùrâ' 
blcs qu'elle pourroit avoir j mais on pourra 
toujours par une transformation aflez fimple 
. changer le Problême en un autre , où l'Equa- 
tion à réfoudre n'aura plus de fradions', fans 
donner de coefficient au premier terme* 
L«"S" S<>i^ par exemple rEquation 

frtto/" ment qu*urie d'un degré plus élevé n'auroît 
a'une £qua*.p3s plus de difficulté) en faifànt l'inconnue x 
ic"^^" égale à une autre inconnue > divifée par quelque 
nombre indéterminé m ^ je change TEquatioii 

11 ^^ -a- ""^^ -1-. ""^ -^ 
en une nouvelle — r •+■ - — • •+*--«+*-- c= o 

i»5 hm^ dm f 

OU >^H — —y'+'-^y'^'—T-'^==^oi 

^ans laquelle je vois que fi w efl divifible à k 

am cm e m^ 

fois par i&,par d , & par fi — j- »-j — & '-t- :: 

feront des no/nbreiB çntîers. Or le Problême 
eft réduit par-là a quelque chofé de bien aifé g 
car le pis aller eft de prendre pour m le pro- 
duit des nombres i^j dyf,JSc fi ces nombres 
ne font pas premiers **fentr'eux , on trouvera 
aiféraent un nombre plus petit que leur pro- 
duit qui fera divifible par tous les trois. ' 

* On appelle en Arithmétique nombres premieit 
ceux qui n'ont point de drvifeurs , tels que 5 9 1 v 9 M» 
&c. & on dit que deux nombres font premiers entre 
*eux lorfqu'ils h*ont aucvui conuium divifeur % tels fons 



If A LGEB R Bli 14* 
X. 

L^Equation étant changée en une autre fans Par cette 
JB-aftion , on cherchera les racines commenfu- t»nsforma-| 
rables de cette dernière par la méthode pré- th^e*pSci- 
cedente , & fi elle n'en a pas, on fera fur que ^f."*^ »>- 

• . » • 1 •/• plique aux 

la prenuere n en avoit pas non plus , puifque x Equations 
étant conunenfurable ne pourra jamais don-? fractionnai-* 
ner une quantité incommenfurable en le divi«> 
fant par le nombre m qui eft coœmenfurable 
audi. 

XL 
La méthode précédente a cet inconvénient i„conre. 
confîdérable que lorfqu il arrive que le dernier nient de u 
terme a beaucoup de divifeurs , les calculs qu'il ^écédenle* 
faut faire pour tenter toutes les divifions que 
cette méthode prefcrit font fi longs , qu'on l'a- 
bandonneroit malgré l'avantage infini de s'éten* 
dre généralement aux Equations^ de tous les 
dégr-és dont une ou plufieurs racines font corn- 
menfurablesu Ceft ce qui a engagé les plus ha-i^ 
bilesÂnalyfies à perfeâionner cette méthode ea 
trouvant des moyens plus faciles que la divif 
fion pour reconnoître les' divifeurs qui ne doi« 
vent pas réufiin Voici comment on s'y eft 
pris. ^Mu 

On a d'abord remarqué que fi on faifoit dans Réflexions 
laradaç Ar.4^i2 d'une Equation quelconque , 9"^ JJ^^^^P*^^^ 
ou ce qui revient au ipénie dans le divifeur ner cette mé^ 
X -+- a d'une quantité quelconque , x égal à un ^^<^* 
nombre^onné, le nomore dans lequel fe chan- 
geoit alors la racine* dévoit être un divrfeur 
de la ciuantké prof oi^c j. dans laquelle ou aw 



t44 . ^ ^ E MENS 

roit fait x égal au même nombre ; c'eil-à-cîîrt> 
par exemple que fî on a la quantitéAr'— ^ijv' 
*— 21 dont ont fçait que *•— -j eftun divifeur ^ 
il arrivera qu'en faifant x^sz^ le nombre ,94 

2ue devient x^ — x^;*— ^i paf cette fuppo-^ 
tion eil nécelTaîrement diviiible par le nom-^ 
bre X que devient ^-«-^ pair la même fuppofî-^ 
tion. 

£n partant de-là on a fuppofë dans la quan^^ 
tité dont on cherchoit un divifeur , x fuccefE* 
vement égala plusieurs nombres, tels par exem- 
ple que -H I * Oj — • I ; on a comkneficé par ce^ 
luppofitions » parce qu'elles donnent les fubfti-' 
tutions les plus faciles. Enfuite on a cherché 
tous les divifeurs des nombres dans lefquels 
la quantité propofée fe change par ces fubfti- 
tutions ; & on a fait ces remarques qui fe pré-i 
fentoient naturellement après la prâmiere» 

X ^ Que parmi tous les divifeurs du nolnbr6 
venu par la fuppofition de ;cs= -f-i i dans la 
quantité , on devoit trouver le nombre 1 -+-^ , 
puifque x^a étoit le divifeur cherché, 
^ 2^. Que parmi tous les divifeurs venus palf 
la fuppofition de 4;ft=o,qui ne font autre chofe 
que les divifeurs du derni^ terme de la quan^ 
tité propofée, devok être le nombre a. 

3'' Que parmi tous les divifeurs du nombre 

venu parla fuppofition de;fs=— 1> devoit 

être le nombre --^ i •+* a. 

XIII. 

fbndlmlStai ^^ Comme les nombres i^a , a , l— iH-it 

pour trouver font néceffairemeut tels que le premier furpafiè 

î?mmcX It fécond d'une unitéj^& que lefçcoûdfurpaflele 

nbies. ' troifiéme 



iyjtLGÈÈkÉ. t+j- 

troifiéme d'une unité auflî , il étoît aîfë de tirer 
de^là ce principe , aue de tous les divifeurs 
du nombre venu par la fuppofition de x ==Oi 
hucûn ne pouvoit être le nombre demandé a ^ 
s'il ne fe trouvoit en même-tems fùrpafTé de 
Tunité par quelqu'un des divifeurs du nombre 
venu par la fuppofition de^s=ri , & s'il ne 
furpaifoit en même tems d'une unité quelqu'un 
des divifeurs du nombre qu'a donné la fuppo- 
fition de xs=z — !• On voit bien qu'un tel 
principe doit faire éviter beaucoup ae divi- 
fions inutiles dans la recherche des racines 
commen furables. 

Si on trouve plufieurs nombres , parmi les 
divifeurs du nombre venu par la fuppolitioû 
de^=ro, qui ayent les conditions qu'on 
vient de remarquer , on fera enfuttc xs=sz 2 , 
& on verra fi parmi les divifeurs ûts nombre^ 
qui Viennetit alors , on trouve des nombres 
Gui furpafienc d'une unité ceux qu'a donné k 
luppofition de ^=3= I , & ainfi de fuite. 

Au refte, on voit bien que lexamèn qu'ort 
fait de tous ces divifeurs doit être double ^ 
c^eft-à-dire qugchacun d'euîc doit être pri^ 
auffi-bien en ^«^ qu'en ^^. 

XIV. 

Pour éclaircir cette méthode & pour en fa^ 
ciliter l'ufage ) nous allons en donner quelques 
exemples en faifant voir l'ordre qu'il faut gar- 
der dans le calcul pour lies^y point tromper, 
& pour abréger , autant qu'il eft poiSble» la pei^ 
he du Calculateur^ 

K 



1^6 ËLEMENS 

Applkarion Soîc TEquation ;r'— -2^*— -i3^-+-fe5=o 
it^^^fSlV dont il s'agit de trouver les racines commen* 
teâancKcm- iurables, OU cequi revient au meme^loit iaquanr 
^^^'' tité ;r^— •xAr* — i3;i:-+-6 dont on demande 

les divifeurs d'une dimenfion. 
Je commence par écrire ( voyez la Table 

cy-jointe Café i ) Tune fous Tautre les fup* 

pommons I , o , — I que je veux faire pour ^} 

i ''écris enfuite à côté de chacun de ces nombres 
es noipbres-— 8,-+-<J,-+- 1 6 ou Amplement 8, 
6, 16 { à caufe que les Agnes font indiffërens 
pour les divifeurs ) dans lefquels fe change 
fucceffivement la quantité ;c'— 2 v'-— i jx-^ô 
par ces fuppofitions , & je les lépare des pre- 
miers nombres par une barre verticale. J'écris 
dans une troifîéme colonne les nombres i » 2» 
4» 8; 1,2, 3 , 6; 1 ,2,4, 8, 16 qui font 
les divifeurs des nombres précédens ; les qua- 
tre premiers à cô:é de 8 dont ils font les di- 
vifeurs y les quatre féconds à côté de 6 ^ & les 
cinq derniers à côté de 1 6. 

Cela pofé , pour trouver parmi les divifeurs 
1,2,5» ^ du nombre 6 venu par la fuppo- 
fîtion de^s=o, celui quj^feut ajouter ou 
retrancher à x pour avoir leoîvifeur cherché, 
ou plutôt pour exclure de tous ces divifeurs 
ceux qui n'ont pas les conditions requifes ; je 
commence par remarquer que i qui eft le pre- 
mier de ces divifeurs ne fçauroit ètte admis, 
foit qu'on le prenne en -4-, foit qu'on le 
prenne en — -, car û on le prend en -4-, 
c'eft - à - dire fi on regarde x -+- i comme le 
divifetir cherché , 2 feroit ce que deviendroit 
ce divifeuir par la fuppoiitioo de ;ir sa -{• i » 



r 



. ïyALÔÈÈRË. 14^ 

&o ce qu'il dcviendroit par la fuppofîtion 
de 4:±=-— I ,& par conféouent il faudroit 
trouver à la fois % dans les nombres de 
la première bande , & o dans ceux de la troi- 
fiéme , orj la féconde de ces conditions n'eft 
pas remplie* Quant à ce que i ne convient 

{>as non plus, c'eft-à-dire que ^t»*-^ i n'eft pas 
e divifeur cherché , cela fe tire de ce qu« 
ce divifeur devenant o par la fuppofition de 
*'=-+- I & — 2 par la fùppofition de x 
fc= — I y il faudroit par conséquent trouver 
o dans les nombres de la première bande , & le 
nombre 2 dans ceux de la féconde. Or il n'y à 
que la féconde de ces deuic conditions qui ait 
Keui Je vois enfuite que le divifeur 2 en auilï 
danis le cas d*être rejette , parce que fi on le 
prend en -H , c'eft- à-dire fi on regarde x-^t 
comme le divifeur cherché, on auroit-f- 3 par 
k fu^pofitâon de ;c ±= I , & -4^ i par la fùp- 
pofition de .v==i:— .j, ce qui demanderoit 
^qu'oîi trouvât ks nombres 5 dans la première 
bande , & r dans lartroifîémè j or la première de 
ces deux conditions ne fé trouve pas remplie. 

Et fi Toh prênoifc^en , c'efta-dire qu'on 

voulût que x — atut k divifeur, on auroit 
alors -r- I & •-*- 3 pour les fuppofitions de 
*=:-t*i & dfe AT *— " ■ I ^ ce qui demanderoit 
de trouver à la forsf i dans la première bande / 
& 5 dans la troifîénie, conditions dont il n'y 
a que la première qui ait lieu. 

Ayant exclu i'& i, je prènfll fe divifeur j , 8c 
fe vois qu'en le prenant en -H j c*eft4-dirc en» 
rerardanf x •+* i comme te divifeur cherché i 

Kl/ 



^4» ^ t £ ME NS 

il faudra trouver -+-4 par la fuppofîtion âé 
^r=-|-i, & -f-i par la fuppofîtion de 
iafc=r— I. Or je trouve effedivement 4 dans 
la première baode , & 2 dans la troifîéme. 
Donc -H 5 a les conditions requifes > je l'écris 
alors à la féconde bande , c'eft-à-dire vis à- vis 
le nombre dont . il eft divifeur , & j'écris en 
inême-tems les nombres -f- 4 & -+- 2 dans les 
bandes fupérieures & inférieures ; non que ces 
nombres foient à joindre à x pour fervir de 
divifeurs à la quantité propofée, mais parce 
que n'ayant pas encore achevé l'examen des. 
divifeurs , il fe pourroit trouver encore d'au- 
tres nombres que -+- } qui auroient les condi- 
tions requifes ; & qu'il faudroit alors faire de 
nouvelles fuppofitions pour reconnoître entre 
ces nombres ceux qu'il faudroit encore exclure. 
J'examine maintenant fi 3 pris en — ne pour-^ 
roit pas rcuffir auffi-bien qu'en -+-,c'eft-à-dire 
fi AT— 3 ne pourroit pas avoir les mêmes con- 
ditions pour être divifeur de la propofée , il 
faudroit pour cela trquver -— i & — 4 par les 
fuppofitions de x == •+- 1 & de ^tr=— - 1 , or 
ces nombres fe trouvent eflfeft ivement ; donc 
jufqu'à prefent x — - 3 à Sum-bicn les condi-. 
tions néceflàires pour être divifeur que ^ -+- 5 
j'écris par conféquent dans une cinquième co- 
lonne verticale — 2, — 3, -— 4» 

Je palTe enfin à Texamen de 6 & je vois que 
fi je le prends en •+->il faudroit trouver -+-7 & 
rhS dans les bandes fupérieures & inférieures, 
çg qui n'arrive pas , & que fi je le prends en-^- 
je devrois avoir i:;;^ 5 & rr: 7 dans les mêmes 



If A L G E È RS. 14^ 

bandes , ce qui ne fe trouve pas non plus. Je 
conclus donc quil nV a que x — 3 Scx'^j 
qui puiflènt être des divifeurs commcnfurables 
& d'une dimenfion de la propofée. 

Pour fçavoir fi Ton eft autaat fondé à ten- 
ter la dîvifîon par v — 3 que pafr>-+-5 ; je re- 
marque que fi on faîfoit une; <(ûatriéme bandé 
en fuppofant A:=--^a or dèvroit trouvée: 
— 5 pour le quatrième terihe de la colonne 
—2 , — 3 , — 4 ; & -+- 1 pour le quatrième 
terme de la colonne -+-+> ^- 5. » -+- 1 > . car il 

eft clair que le divrfeur;r ^5 dtvîendroit ^ 

par la fuppofition de ^= .,^ 2 l & que le dî- 
vifeur 4;-+.3 deviendront -+- I^-par la même 

fuppofition. Mais en faifant ^=ï=: z dans la 

propofée xK — a x^ * i--i.'i 3^-4-5, etk devient 
1 6 qui n'eft paà dlvifibfe par j &^ûi Peft par i. 
Donc a: — 3 ne*fçàiH-dit être un divifeur dé 
cette quantité > donc s'il y en îa uri Vil ne peut 
être que ^-+-5 ,' ou ce qui revient au même fl 
<x^ — 2 ^*^-. ï^x.^:\^ a uneraèinè cdménfura-^ 
ble , elle ne peut être que ; — 3. Pour fçavoir 
fi elle Fa éfFeftîlrement , je divife *•* ., — zx"; 
— 13 ^-+-^ par ^H:-3, cç cjurrëuflît & don^ 
ne pour quotiewt^aft a:^..^ c;r-4*2; 
- XV. 

Pour que ramfotmitë fervità'la clarté dans 
cet exemple ,• j'ai' examiné parmi les divifeurs 
I ^ ^ > 5 j 6 du nombre 6 venu par la fuppofition 
de .V!;r=o le nombre i comme les autres, maii 
on peut toujours fe difpenfer de faire aucun 
examen cour ce nombre , parce ques*i.l avoîi 
è réuflïr^foit en Hhj foit ea— ^,onFauroit 



ijo ELEMENT 

appris déjà en fubftituant -Hi & -«^i à la place 

de^irdans TEquation donnée. 

Dans des nombres auiC (impies que 8, 6, 1 6 il 
étoit aifé de ne pas oublier aucun de leurs di«- 
yîfeurs^parce que ces nombres en ont ^^.Maîs 
lorfque Ton a des nombres qui ont beaucoup de 
.^ivileurs , il f^iiit ks çjierçher ayeç un certain 
ordre pour les avoir tous. Un feul exemple 
fuffira pour faire voir comment ce(te opération 
doit fç fairç. 

XVL 

Manière, Soit propofôde chercher tous le? divifeurs 

d'avoir tobs du nombre lao. Je coromçqce p^r tracer une 

i" nnS"" ^^""^ verticale (voyez la Qfe^ Table fuiyan- 

>?iç^ te) à gauche de ce nombre, pi^is je mets \ 

fauche de cette barra à la hauteiir de t2o f 
unité comme étant (on prenii^r diviTeHTf J'ef- 
ïaye 'enfuite de ^vifer 120 par 1 , comm^ lai 
divifion réuffit j'écris s , & jg le mets à gau-r 
phe de la barre à la même hauteur que 60 
quotient de la divifion que je mets k droite de 
la même barre. 

' ]'eflaye encore la divifion par 2 qui réuffit j 
^ donne 50 pour quotient, je mets alors le 
nouveau divifeur 2 fous le Qjiasaier ; & 30 fous 
60. Je multiplie en même-tems le nouveau di-r 
.vifcur2 par celui d'en haut 2, & je mets le 
produit 4 à gauche du fécond 2 » comme étan( 
un nouveau divifeur du nombre propqfé 120, 
Ita raifon de cette multiplication efl quç fi 
J20. eft divifibjepar 2 & (a moitié par 2 , il 
^oit 1 être néceffairement par 4, 
Comme 30 peut fç 4ivifçr J)%r j j'écris, fnr 



Tf A L G E B R E. ly, 

core 2 à gauche de la barre & à la quatrième 
ligne i Se le quotient i J à droite à la même li- 
gne. Je multiplie en même-tems le nouveau 
divifeur 2 par 4 , ce qui me donne 8 pour un 
nouveau divifeur du nombre propofé. Je ne 
multiplie pas ce nouveau 2 par les premiers » 
parce qu'il m'en viendroit 4. qui eft déjà écrit» 

1 c ne pouvant pas te diviler par 1 j'eflaye de 
le aivifer par ) > ce qui me réuffit & me donne 
5 pour quotient que f écris à droite dans là 
cinquième ligne auilibien oue le divifeur ) 
que f écris à gauche; je multiplie enfuite ^ par 2» 
par 4 & par 8 que je trouve dans les bandes 
Supérieures , Se j'écris à gauche du j les pro- 
duits tf , 12 > 249 qui font , comme il eft évi- 
dent j des nouveaux divifeursdu nombre pro« 
pofé. 

JT n'ayant plus dTautre divifeur que lui-mô- 
tne , je 1 écris à gauche de la barre dans la cin^ 
quiéme ligne , & je mets en mème-tems le 
produit de ce nombre par tous les divifeurs 
précédens25 ) f 4 s 6 , 8 , 12,249 & f ai la, 
I y > lO, 3 , 409 60 , 1 20 que j'écris dans la 
même ligne à gauche de y. 

Cela fait , t^i» les nombres qui font à gatt« 
che de la barre , à compter depuis i jufqu'à 
X20 font tous les divifeurs de 120. Il en fe^ 
roit ain(i des autres nombres dont ont cherche-* 
roit tous les divifeurs. 

xvir. 

Soit propofé préfentement de chercher les Autre «em- 
racmes commenfurables de 1 Equation thode de 



raanes coni- 
mcnTusables. 



%^ E LE MENS 

Ayant écrit dans une première colonne vef^ 

ticale 1,0, i (Table fuivante Café 3 ) 

pour le$ valeurs à donner fuccefCvement ^ 
^ ; & dans une autre colonne verticale les nom- 
bres l6$y liQ, m qu'on trouve par la.fubfti-» 
tution de ces valeurs dans la quantité 

|e place dans une truiiiéme colonne les divi- 
seurs de ces trois nombres , cç qui me donne 
les trois bandes 

^*^*3»4*;><5i8,lO,I2,ïj',2O,j0,4O,d0,l20î 

3 , 1} , 17, 221 

que je place chacune vis- à vis du nombre qui 
Ta produite cela fait parmi les divifeurs de 120, 
J'examine en premier lieu fi le nombre i a les 
conditions requifes, & je vois qu'en le prenant 
en •+? il s'accorde avec les nombres 3 & i 
.pris en haut & en bas. J'écris donc dans la qua? 
triéme colonne verticale *+-j , rj+-2 , •s+-i. 

Je vois enfuite que le même nombre pris 
en 1-1^. ne r^uflit . pas , parce qu'il faudroit alors 
j»— 3 en bas ,. ce qui ne fe trouve pas. 

Parcourant enfuite de la même manière tous 
les autres divifeurs de 120 -ig trouve encore 
le nombre 1 2 qui étarit pris en — a les con- 
ditions requifes , pourvu qu'on prenne en 
« — les nombres 11 & 13 qui font au-deflus 
^ au-defTous. J'écris donc dans une cinquième 
colonne verticale les. troi$ nombres — 11, 

Pour fçavoir préfentcment à laquelle de* 
^Çtt« 4çrwçrç3. Cfxlonnçç )e. dois ^n'arrçter , ou 



D'JLGEBRÊ ÏJ5 

plutôt, par laquelle des deux quantités x-^i, 
ou X — 'i 2 je dois tenter la divifiôn , je remar- 
que que fi c'étoit la première g il faudroit trou- 
ver zéro en fubftituant 2 pour a: dans TE- 

quation , ce qui n'arrive pas ; donc il n'y a que 
la divifiôn par x — 12 à tenter , je la tente 
& elle réuffit en me donnant pour quotient 
^^-h;-*"^ — jc-f-io, Ainfi-+-i2eft une des 
valeurs de x dans l'Equation donnée & la feule 
commenfurable. 

XVIII. 
Soitenfin^^ — ^v^^^x^ — Jix^^^^x"^ Troifiéw 
^- II AT -+.3 6. Ayant écrit ( Café 4 Table application 
fuivante) dans une première colonne verticale Je ^J^Joal 
les valeurs 1,0, — i à donner à x ; dans une ver les racU 
féconde les nombres }0, 3 6^40» dans lefquels[ncnf^a!!^^ 
la quantité propoféc fe change par ces fuppo-bies. 
fitioDs , & dans une troifiéme tous les divifeurs 
i> ?> 3» S y 6, 10, I j, jo du nombre 30, les 
divifeurs i, 2, 3,4, 6,j>, 12, 18, 3 6 du nom- 
bre 16 f les divifeurs i, 2,4, j. 8, 10, 10,40 
du nombre 40 ; je trouve parmi tous ces di- / 
vifeurs quatre colonnes à écrire qui renferment 
les conditions requifes , la première, -f-. j ,-Hi, 
r4^i, la féconde ,^-;;i, — } , —4, la troifiéme, 
^- — i 9 •'"4 9 — y* îa quatrième , ^-I O , -+- p , 

Pour décider alors entre ces quatre co- 
lonnes , je commence par faire .rt=:2 , & j'écris 
fl^au-dçffus de i dans la première colomie , 
j'épris -enfuite dans la féconde colonne 74, 
notpbrè dans lequel la quantité propofée fe 
çhapge par la fuppofition de xs=z2. Cela fait , 



If4r. E L E M É ^ S 

je vols fans me donner la peine de chercher Ie$ 
divifeurs de ce nombre que les deux colonnes 
•4-},H-2, -+-I, &-t-io,-t-9,H-8, fomàrc' 
jetter, car fi la première avoii lieu , il faudroit 
trouver -4-4. parmi les divifeurs de 74» ce 
oui n'arrive pas « & fi c'étoit la féconde , il 
raudroic trouver -f- 1 1 parmi les mêmes divi« 
feurs f ce qui n'arrive pas non plus. 

Je vois au contraire , que les nombres — i 
& -—2 que demandent les colonnes —2, — }> 
-—4 > & — 3, — + > —5 font des divifeurs 
de 74 , j'écris donc les nombres -— i & —2 
au-defius de-— 2 & de— -j dans ia féconde 
& la troifiéme colonne, & )e cherche enfuira 
à exclure encore une de ces deux colonnes 

— I, — 2, — j, — 4.,& — 2, — j, — 4>— y* 

ce qu** devient b.en facile , puifque fi la pre- 
mière éioit à conferver , il faudroit trouver o 
par la fuppofition de x^sss^^ ce oui n'arrive 
pas ; au lieu que — i qui , par la colonne —2» 
—3, -^4, — y doit être un divifeur du nom- 
bre donné par la fuppofition de x =:3t ne peut 
I)as manquer de l'être. Donc il n'y a de co-* 
onne à eflayer que —1 , —-2» —3 , *— 4, — j, 
c'cft à-dire qu'il n'y a de^iyifeur à tenter que 
j:— 4. J'efiàye en eâet la divifion de la quan* 
tité propofée par x — 4, ce qui réuflît & don- 
ne pour quotient x^ ^ ^v^ ^^^ y v -— 9. Ainfi 
»f-4 eft une des deux valeurs de jt dans l'Equa- 
tion propofée & la feule comnlenfurable. 

Après avoir vu comment on pauvoît tirer 
des £quatioû$ d'un degré quelconque ^ les 



V A L G E B R E. j^i 

Equations commenfurables du premier qui ea 
ëtoient les racines , il ëtoit naturel de cher- 
cher auilî à en tirer les Equations du fécond 
degré qu'elles pouvoicnt renfermer : on de- 
voit s*en promettre une auflî grande i)tilité, la 
folution des Equations du fécond degré étant 
auiC complette que celle du premier* 

Voici k méthode qu'on a imaginée pour y Méthode 
parvenir. Que x x -+• b x -f- c 3=? O repréfente P°*" trouver 
l'Equation du fécond degré qui peut être unlufe^^d^^ 
des produifans d'une Equation donnée , ou ce S'^ /*^?r 
qm revient au même que ^r^r-f-^Ar-f-r /dans une b- 
foit le divifeur cherché d'une quantité donnée; ^^^oa doa- 
en faifant ^ =s: o dans ce divifeur , il eft clair 
qu'il fe réduira au nombre c^ & que ce nom*p 
bre fera un des divifeurs du dernier terme de la 
quantité donnée. 

Si on fait enfuîte xsss^- 1 dans k divi-p 

feur A?^r+.*,r-t^ , ij fe changera en i4-^+^ 

qui fera un des divifeurs du nombre que 

I Hon a ei> faifant de même dans la propo- 

fée xtssz i. Donc fi on cherche tous les divi^ 

feurs de ce nombre & qu'après les avoir pris 

tant en -4t qu'en — , on en retranche l'unité 

ce fera parmi toui l^ nombres , tant polîtifi 

I • que négatifs , que l'on aura par cette opérai 

Y tion que devra fe trouver le nombre égal à 

j Si on feît enfuite Atea^rv^i tant dans la quanti- 

té propofée, que dans le divifeur ;r^-+-^jr«f-rc' 
qui devient alors i^-^^h^-^c^ on voit qu'en 
cherchant tous les divifeurs du nombre que de^ 
vient la ^antité p-ar cette fuppofîtion >& r©- 



ï;6 E L £ m E N s 

tranchant T unité de tous ces. divifeurs, prî« 
tant en — qu'en H- , on aura parmi tous les 
nombres que ce calcul donnera celui qui ex- 
prime — ^H-r, 

Or comme c eft moyen arithmétique en- 
tre h^c & -r- b-^c , il s'enfuit que parmi les 
trois fuites de nombres qu'on aura pour repré- 
fenter ^-+-r , c , — h^c , il ne faudra s'arrê- 
ter qu'à ceux qui feront en progreflîon arith- 
métique. Lorfqu'on aura trouvé trois nombres 
en progreflîon arithmétique , il eft clair que 
celui qui réfiondra à la fuppoiîtion de x:=.o 
fera celui qu'il faudra prendre pour c , & com- 
me celui qui répondra à la fuppofition de 
^3=irepréfentera ^-4-^, en retrandiant le pre- 
mier du fécond , on aura i. Subftituant ehfuitc ^ 
ces deux nombres à la place de ^ & de ^ dans 
x^^bx^c , on aura un divifeur à tenter 
pour la quantité donnée , & le feul à cflayer 
fi on n'a trouvé qu'une progreflîon arithmétique 
parmi toutes les fuites de nombres qu ont don- 
né les divifeurs de la quantité où l'on a fait fuc- 
ceflîvement 4:=i,o, — i. Si on a trouve 
plufieurs progreflions arithmétiques , on fe dé- 
terminera entre ces prqgxoffions à peu près 
comme dans le cas des divifeurs (impies , ea ' 
faifant de nouvelles fuppofitibns pour x , com- 
me — 2y — ;, ou-^-'i, -f-j, &c. 

Car qu'on fuppofe, par exemple .fœa — 2, 
x^essz ..^ 3 , &c. dans la quantité propoféé , il 
eA clair que tous les divifeurs » tant pofitifs que 
négatifs du nombre que l'on aura alors repréfen- 
teroût la quantité 4-!-^z^'+-c,^— 'jjè^-^^&Ck 



/ 



ly A tG EBKE. 1J7 

que devient x'-'-^bx-^c lorfque ^s=— 2 oit 
;t=:— 3 , &c. & que par conféquent tous ces 
mêmes divifeurs dont on aura retranché 4 > 9 ^ 
&c. repréfenteront — 2^-+-r, -^3^-+-<:, &c. 
Or —2 ^ »+- r , •— 3^ -+-r , &c. étant d'autres 
termes delà progreffion arithmétique ^-+-c,r, 
•^^^14. r , on n*aura donc plus qu à chercher 
parmi les progreflîons arithmétiques trouvées 
précédemment celle qui fe conferve par ces 
nouvelles valeurs de *• , & s'en fervir comme 
on vient de l'expliquer pour déterminer les 
nombres h Sec. 

XX. 

Soit par exemple la quantité ** 4- 3 «^"^ Application 

•4-24; ^^8^"^ 3 (5 ^-+-2 1 , dont ondclamétho* 

cherche un divifeur de deux dimenGons. ^cprecedcn* 

Je commence par écrire dans une colonne 
verticale ( Table iuivante Café j ) les valeurs 
1^ o, *— I que je veux donner à x. j'écris en- 
fuite dans une nouvelle colonne vetticale les 
nombres 1 5 21» 6^ , dans lefquels la quantité 
propofée fe change par ces fuppo(ïtiôns, 

J écris de même dans une troiiiéme colonne, 
à côté du premier lïombre , fon unique divi- 
feur Il à côté de 2 1 , fes divifeurs 1,3, 7, ^i ; 
& à côté de 6^ fes divifeurs 1, j*, 13, 65*. 

Cela fait , j'écris dans une quatrième co- 
lonne les nomores 1,0,1 quarrés de 1,0,— -i 
écrits dans la première colonne & valeurs de 
XX ^^dx conféquent , dans les mêmes fuppofî- 
tions^de i,p,*A-.i. Enfin je forme une cinquième 
coloone par ces conditions j 



ijÈ ELÊMËttS 

1^. Que la première bande — i j o É; fôi*- 

ine en retranchant i de i pris en & de i pris 

en-+-. 

i*. Que la féconde bande foît compofée des 
Nombres —21 , ——7 , — j , — i , -f-i , -H7» 
+ 2 1 , les mêmes que les divifeurs qui font à 
côté , mais écrits deux fois s Tune pour \t fîgne 
•~, l'autre pour le figne-+-. 

3^* Que les nombres de la troifiéme bande 
foient ,.^66 9 — • 14, — 6 , — 2, o, -+• 4 ^ 
•+• 12,-4-64» dent les premiers — 66, — 14, 
— 6, — 2 foient trouvés en retranchant i des 
nombres 6y, 1 5, j*, i pris en —, & les autres 
0,-4-4, H- 1 2, "+■ ^4 ^n retranchant i des mê- 
mes nombres 1,5', 13, 6 j pris en -+*. 

Pour déterminer enfuite les progreffionsr 
arithmétiques qui font dans ces trois fuites dcf 
nombre^ > je commence par prendre dans la 
première bande le nombre — 2 pour le pre- 
mier terme d'une progreffion , & je prends fuc- 
cefGvement pour féconds tous ceux de la féconde 
bande ; je cherche en même- tems les troifîémes 
termes que ces premiers donneroient , & j'e- 
xamîne quels font ceux de cgs troifîémes qui 
fe trouvent dans la troifiéme bande ; or ^-^ 2 & 

— 2 1 doivent donner pour troifiéme termç 
—40 qui n'eft point dans la troifiéme bande, je 
rejette donc 21 , je prends alors — 7 pour fe- 
toiid terme , & comme il devroit donner 
*— 12 pour troifiéme terme, & que — 12 n'eft 
pas dans la troifiéme bande, je rejette encore' 

— 7 ) & de même — 3 , parce que ce der- 
nier devroit donaet —-4 qui ne fc tjpouve paf 
non plus. 



îf ALGEBRE t^p 

A Pëgard de — i comnic il donne o pour 
froifiéme , & que O fe trouve dans la troilié- 
me bande , j'écris dans la fixiéme colonne la 
progreffion — i , — - 1 , O, De même *4- i 
pris pour fécond donnant ■+•4 qui fe trouve 
encore» /écris la féconde progreffion — 1, 
H-i , -+-4. Et comme -4-7 & -+-21 devroient 
donner chacun un trpifîéme terme qui n'efl 

£as dans la troinéme bande , je les rejette. 
its progreffions qui peuvent commencer par 
2*étant déterminées, je pafle à celles dont le 
premier terme, feroit o , & pour les trouver , 
je prends ainfi que j'ai fait pour 2 tous les 
nombres de la féconde bande l'un après 
l'autre. 

Je vois d'abord que — 21 devroit donner 
pour troifiéme terme — 42 qui n eft pas 
dans la troifiéme bande. Je vois enfuite que 
•—7 donne — 14 qui ie trouve , ainfi j'écris 
encore la progreffion o, — 7, — 14. De mê- 
me — j & — I donnant -—6 & — 2 qui fe 
trouvent auffi> j'écris les pro^effions o, — 5, 
— 6 , & o, — 1 , — 2. A l'égard des nom* 
bres -Hi , -t-7 j -+-2 1 , ils ne donnent aucua 
troifiéme terme qui fe trouve , ainfi je les re* 
jette. 

Pour voir préfentement lefquelles de ces 
progreffions il faut encore rejettçr, je fais 
jcs^ — 2 , & j'écris — 2 dans la première 
colonne ; en obfervant de mettre en même- 
tems,i ^ dans la féconde colonne i ij que don- 
ne la quantité propofée par cette valeur de x. 
2^. Dans la troifiéme les aombie^ 1 j j ^ 2; » 



i(;^o E LE MENS 

à2j divircursde i2j. j*^. Dans la quatrîëmê 
colonne le nombre 4 quarré de — x & va-^ 
leur Aq XX dans cette fuppofition. 4.''. Dans 
la cinquième colonne les nombres — 1 29 > 
- — 2p , -i— p , — 5* que l'ort a en retranchant 4 
des nombres i ly , 2^, y, i pris en — ^ & les 
nombres — 3 , H-i>-H2i, -+-121 que Ton a 
en retranchant 4 des mêmes nombres 1, y, 2/» 
1 2 J pris en -+- . 

Par ce moyen , je vois que les deux pro- 
grcffions — 2> «4-1,-1-4, &o, — 7, — 14 
font à rejetter , parce qu elles dcvroient don- 
ner pour quatrième terme -+-7 & — 2 1 qui 
ne fe trouvent pas dans la quatrième bande.Mais 
les trois progreifions — 2 , — 1 , o j o , — 3 ^ 
— 6 ; O , — I , — 1 devant donner pour 
quatrièmes termes > -h 1 > '^ J) > — 3 qui fc 
trouvent dans cette quatrième bande, j'ai befoin 
d'une nouvelle fuppofition pour exclure au 
moins une de ces trois progreffions. 

Je fais donc x 5== — 3 , ce qui me donne 
1 47 pour le nombre dans lequel fe change la 
quantité propofèe par cette fuppofition. J'écris 
. donc 147 dans la féconde colonne , & à côté^ 
dans la troifième, fes divifeurs i , 3 > 7 * 2 1 , 49 , ^ 
147 , je mets de même dans la quatrième co- 
lonne p quarré de — 5 ou valeur de x x dans 
la nouvelle fuppofition , enfin j'écris dans la 
cinquième colonne les nombres -^—I jô, — y8i 

î — 30, ~ 16, 12, lOi — 8, — 6, — 2, 

•-H12, •4-40, -Hi }8, que l'on a en retranchant 
P des nombres 1, 3 j 7> 2 1 ^ 4p^ 147 pris en — ^ 
& en -4- . 
* * ; ' Par-là 



Pag; \6o 



I Café 2. 



I 
o 

■Ml 

-2, 



■TCafe 3. 



Café 4. 



Café j. 



trH9»+^i^ 



mt^mH 


•~;2 











m^mm^l 


H-l 


— 7 


— 3 


— 1 





-H4 


—14 


— 6 


2 


-+-I 






— 5, 


—i 


1 




12 





ï>' ALG ES k s. ttt 

rar-là je trouve que les progreffions -— *, 
— i,o,-f-i&o, — I, — 1, — ^ doi- 
vent être rejettées , & qu'au coatraire il faut 
conferver la progreffion o > — 5,-^6, ~^, 
car les deux' cin<iuîémôs termes des premières 
progreflîons doivent être -+.2 (Se -^4 qui ne 
fe trouvent pas dans la cinquième bande , au 
lieu que le cinquième terme de la progrefGon 
O > — 5 > — 6 , — p ell— . 1 2 qui s'y trouvci. 
Après avoic réduit toutes les progreffions à 
la feule o , — j , — 6, &c. je prends danfc 
cette progreffion le nombre -^5 qui , dans la 
fixièrae colonne , répond à k fuppofition de 
^«=0 , pour exprimer le tçrme.^ du divifeur 
,cherché x.x^hx^c. Je prends cnfuite'. 
toujours dans la fixiéme colonne , o qui ré- 
pond à la fuppofition de a: =33^1., & qui fui^ 
vant les principes précédens doit être h^c., 
ainfi retranchant c ovl — 3 de o ou,^H-^ , j'ai 
rf^3 pour b^ & partant le- divifeur cherché 

«^"^ -H^-*" -+-/• efl A:;t -H 3 -î^--^ î f ^il J en^a 
un de deux dimenfions. 
Pour fçayoir ce qui en efl,je divife la quantité 
propofée x'^.^^ -*-2Ar^-h8Ar^— 56a-H-2^ 
par^ •**■+-?■*' -—3 , & je troiive qu'en effet la 
/ divifîon ell exaâe , & donne pour quotient 

XXL 

'■ ' o • 

ooit préfentement la tju^tîté a?^H-(Ja?^ Àatre ap{)U- 

I '^ '%^'^17'?'^*^ A J^ .commence par Sa'/ '^ 

I écrire ( lable ci-jçinte Café, i ) daû« unetp^e- précédente. 

çiçiçre cploftaevertiçale k«yftUursji> lyOij^i^ 

L 



i6^ E L E M E N S 

•—1- que je veux donner à x. J^écrîs ehfuîte 
xians la féconde colonne verticale les nombres 
'îï^^î^T^^n <lans lefquels la quantité f« 
change par ces fuppofîtions. 

Dans la trôi/iéme j'écris vis-à-vis de ces 
rrombres tous kur» divifeurs. Dans la quatriè- 
me les valeurs 4> i> o, i > 4 de atat dans les 
fuppofitions faites pour a? à la prenniere co- 
lonne. 

. £nfin danrs la dnquiéftie colonne j'écris pour 
la première bande les nombres — 137>* — 2^% 
•—i I , — y , -•-j,-f^3,-f..iy^-4-.i2p trouvés 
en retrandïant 4 des nombres 135, 19, 7> i pris 
d'abord en -^ &enfuite en H-. De même dans 
la féconde bande les nombres-*- 34,' — 12 j 
— 4> — a, o, ^2,-hio, 4-52, produits en 
-retranchant ides nombres 33 * i ' » 3 j i pris 
d'abord en — puis en •+- , & ainfi des autres 
bandes. Tous ces nombres écrits , je commen- 
ce par prendre dans la cinquième bande de la 
cinquième colonne, |.le premier nombre -^7 
pour fervir de premier terme d'une progreffion, 
& prenant en méme-tems — •2d^ârts la quatrième 
bande pour fervir de fécond*», je vois que le 
troifiéme devroit^tre -+-3 , & qu'il ne fe trou- 
ve pas dans la trdWîéme bande, ainfi je paflè à 
o qui, en prenant toujours — ^7 pour premier 
terme , donneroit ^4-7 pour troifiéme terme, & 
comme-+-7 n'eft pasnon plus dans la troifiéme, 
je conclus qufil n*y a point dans les nombres 
de la cinquième colonne: de ppagrcfSoh ijm 
ptoriffe conameiicer par — 7» " 

% J^. prend» donc- ...^ y pouf prteiier termes. 



&JLÔÊËÈÊ. 16^ 

^ jevois qu'ealui donnant -— * pour JTeôohdi 
Ile troifiémç feroit -+• i qui fe trouve bîeii 
f^ahs la troifiéme bande ^ m^s qui donne pouib 
quacriékhe teimç H^4 ^ qui n'eft pas dans la fe^^ 

conde bande; ainfî je laiiïe ^2 8c prends o 

pour fécond terme , ce qui itie donne alorÉ 
H-j,«-Hî0,-4ri jf, pour troifiéme > quatrième 
i^c cinquième termes > & conima tous ces nomt 
hrts fe trouvent datis la troiliéii^ei féconde Si 

Ï Première bandes i. /écris dans lal^xiéme co«4 
pnne les nombres ij^ io,y,o,--^j, ? 

Prenant enfuite — j poi^r pi^mier tei'me § 

}e vois que oi z ni o ne peuvent lui fervii^ 

de féconds tenues » parce qu(e le premier don^ 
neroit la prôgreflîon — 3, — :^j .i^-i, 6 > *+*i> 
dont ie dermer terme n'eft point dahs la pre'* 
^ere bapde $ & que le fécond 4onneroit là 

{)rogreflî.on *:-*-*3i O, H-)* &ç. d^ii manque dèt 
e troifiérae terme -4-3 quf ne le trouve point 
dan& la troifîéme bande. " 

; li ne nyç.K^e plus qu^à pren^f^ — i povit 
premier tei^me > je l^^ do^oe d*abord — *^2 poui 
ijbcoad qui q^ réuflu pas , mais, liii. doanant 
çafuite o , j'ai pç^^ troliéiine , quàtri^tne > àtt-t 
quiéme termes les nombre *+»^ ^W^ i > ^ 3- 
(jui font d^ i^ trqiûémejifeoqftde, & premiè- 
re bande ; [écris donc dans IaJ\xi^cne colonne 
les nombres *^j ^ •4-2>-Hi , 03 -r-ri- 
. Cela fait p\p^ ne cherche point à donner dâ 
nouvelles v^leuç^ k':ç pour^^wbire ija^ de ces 
deux progrefËons j parce qi|e la quantité don*» 
^ée ét^{\t 4e quatre dim^ûotis. ^ doir 011 n'a- 
Voir auçjui çUvJirsw 4^ dç^ii^ dilQ^âoof 9 oa 
^ ^ X ij 



M avoir deyx^ à h fois , ce qtiî fe i\ft de sM 
qt/auflî-tôt quôn aura trouvé ua divifeur dç 
deux dimeftfîons à une quantité qui a quatre 
dimenfiôris", le qudtient qui efî toujours un di* 
^feur eu toême-tems , aura aufG^déux drmcn- 
ixms. • • ) •- .i î • i 

- Suivant cfette- réflexion., je prends îndiflfef 
remment l'une où îautredes deukprogrçflîonÇ 
|»récédentesy là'premiere ,; par'wierijpk , danî 
kfquelley étah^ce qui réporfd k^ù, fuppofi^ 
tion de ;if«i»©'i 6c lo ce qui répdnS à la fu)^- 
pofition dê'wcr^i^s"^* , j'ai «^t^y & ^-f-ir=io , 
c'eft-à^direiAs— y. Doii fediviféurque dôn-i 
ne cette prôg^ffiôtfi eft xx^^x^ ^^.Jé 
divife donc-la-^antité propoféé par^f Ar;-|-yji: 
•+-5, & je vois ^u elle réuflît en donnant pôqr 
qtidtient xx^x^i iqui èîft îe divifc]i;r qu*oH 
trouvcroit J^i* l'autre proçreffiônT ' '' : 

:!/:•■ .;..-.... ^ XXiL. ^ .iL , -■^■-::, 

Lorfijtr il Tera iqûeftion-de trouver les divî- 

feurs dirné; Équation telle iqiie ' Sy ^ -—y ?^ 

i^2 ly -h^jy '^ ao === d^i dont h premier 

t€tùit ' aura un ; coefficient àmi • nîaura pas pS 

^eri aller en divifaht toute FEq[uation par ce 

coefficient, on pourra fe féivîr des principeà 

précédcns fahs être obligé de changer cetïè 

Equation 'ien ifnc autre ^i'nW poinÇ^ïW 

coefficient eu ^rèmi^ terme comme^^n le pour- 

roit faire i)aîr kiiJétBode de' Fart. ïx. [• 

poîî^tto''uvcr '^ Pourle faire voii? examinons tfaBôrd ce cjtfï 

les divifcurs regarde fes-divlfei^rs d^une- dimchfion. -Qcié 

d'uacdimcn.jj^^^^ j,êprôfenfe ceittiqui-doit divifér iiflé 



quantité quelconque-donnée. Il eft çlaîr que fi ^^^ ^ lorfqne 
^>n fait ^ iiKfceflivcmeht égd à ±i i, ô, ^ i , ridktâwr 
— -^2,&c, ce-dîvifeurdeVijèiKllra'dahs tous <>èSscte^* 
cas iw-H ayin^a^ a, ^— m-t^z/y-^-^-iz m «H^uî, 
&c. qui foïit desr quaiititéî èrt ptdgrêffion ahith- 
*inétique,dans-lefquèllés it e# tàîfé'd^ rcmar qtièjf, 
, i^. Que k 'difierence »r de' lous les t^més 
. tft lecoeflfîciénf dé x dans le dîvîfcun - ' \* 
' a^ Qa€ cette îiiême différence 7» eft utt d>- 
vifeur du'Coefiicient du {)rieiniet- tefrnie d% k 
quantité propofée. 

3^é Que.k'fefnïe Vï^réj>6ndant-à la fup- 
' pofitiqn da ;e sat: ô eft la partie délivrée d*^ du 
divifeur. • * î • 

4^» Que les mêmes qiMiiiti tés en prôgref- 
fion arithmétique feront ide« divifeurs de la 
quantité donnée 9 dans (laquelle on aura fait 
fuccéffivem^ x- ëgdi à 2 ,î i ^ d , — ^ i , — ^ âj 

-&c . ••/ •.. : ••• ,1 < T î --ï 

Cela pofé , iortiju'on aura à chercher les di- 
: vifeure ■■ d'aide dimenfion d'iïtte quantité quel- 
; coïique JoTioèe , on fuîvra d'abord le mêffle 
procédé qôte ci-deffus pouf les tfois premiéi^és 
cçlonnes^ion <;herchera en fui^ô parmi tous ces 
/nombres quelqiie progreffioft , dont la diflf^- 
rencefoit lin divifeur da 'Coefficient du pre- 
. mier terme dô> la quantité' prô«pofée. Eftfin , 
- pour employer cette progi^mbn > on fubftitue- 
rà dans mx'^^ay à la place de a le ternwde 
la progceffiôn qui répondra à la ftippoCtion- 
deArrisio^ & à la place' de »^ le -nombre que 
Ton aura en retranchant» un terme quelconque 
ide la progfeffioiv> de celui qbi^|t au-deilus* 

Liij 



j 



l^€ e L E M ENi 

XXUI. 

AppUçatton, .Suppofoiis a pr exeipple, que Ton chercha 
thod^^iS^'"'^^ divifeurs de îa quantité ôx^^^x^'-^zix'^ 

Je range à Tordînaire ^s la première cô- 
Jonne les Aippoiitions :*, i j o, -^i , — ^ , à 
faire pour Jf» Dans la feçonde les nombres 30, 
7j2o^3s34« que devient fucceflîvenjelït la 
duantité donnée :par ces fupppfiûpns , âc enfin 
dans la troiiiémç tous |^s divifeurs tle ces 
nombres, 

Cela fait , afin de découvrir parmi tous les 
nombres de la. troiSf o^e colonne quelque pro* 
greiHon qui fcrve à reconnoître le divifeur 
cherché , Je co^nmence p^r ejn^itoiner le pre- 
<nier nombre i de la première bartde ; & je vois 
d*abord que û on lui donne pour fécond le 
premier nombr^ i de la féconde bande ^ la 
progre^on i > i » I» &c. qui en vient ne peut 
pas 4^rc admife , puifqu'elle ne fçaoroit repré* 
Icnter le divifeur cherché mx^^a qui doit 
varier néceffairement par les difiërentes valeurs 
de ^, Je vois de même que 7 ne fçauroit être 
pris pour fécond , car le troifiém^terme que 
.produiroit cette fuppofitîon fefoit 13 qui 1^ 
ip trouve pas d^s la troifiéme bande. 

Prenant enfuite i en -r-?^ , je vois que i de 
)a féconde ne lui fçauroit fervir de fécond ter- 
|ne I parce que le troifiéme feroit 3 qui n'eâ 
^ pas dans la troifiéme bande. A l'égard de 7 , 
al eft inutile de chercher fi le troîficme terme 
qu'il donnerost fe trouve dans la troifiéme 
|)^de ji puifque }â diiiérencç4e-m i à 7 eâ^ 



D' A LG E BRE. tôj 

qui n*eft pas un divifeur du coeiEcienc du pre- 
mier terme de la quantité propofée ; donc i 
foit qu'on le prenne en -h ou qu'on le prenne 
en — eft à reietter. 

Parcourant oe la même manière tous les ao^ 
très nombres de lapremiere bande, je oe trou* 
ve que lo qui puiflë avoir les cooditions con* 
venables. Lui donnant 7 pour fécond terme > 
il donne la progreflîon lOj 7» ^> i >— ^2 dont la 
différence efl; 3 divifeur du coefficient de 6x^. 

Ayant donc écrit cette progreiCon dans la 
quatrième colonne , je prend le terme -4« 4 q^i 
répond à la fuppofition de A'aeso pour expri* 
mer la partie a du divifeur cherché , & retran^ 
chant le même terme •+•4 du terme fupérieur 
*t-7 qui repréfente m-^a^ j'ai -+• 3 pour ex- 
primer m , c'eft-à-dire que le divifeur cherché, 
s'il doit y en avoir uq , ne peut être que j-^'H-^. 
Je tente donc la divifion par cette quantité j^ 
elle réuffit , & me donne pour quotient xx^ 

XXIV, 

Examinons prélentement les cas où les èU 
vifeurs doivent avoir deuxxdimeoiions. Soit pria uéthodc 
^^-55r-^ pburrepréfenter le divifeur cbec {^"--«J 
^ ché d une quantité donnée , il elt clair comme des deuxdi. 
ci'deflusque Je dernier terme ç fera un divifeur J^j^qç^î^J 
du dernier terme de la quantité donnée > & que doit avoix un 
m fera un 5 divifeur du coefficient de la plushau-^ codfiacnt. 
te puiflaqce de x dans la quantité donnée. 

Choififlànt donc d'abord pour repréfcnter 
m un des divifeurs du coefficient du premier 
terme de la quantité donnée , & faifant la mê« 



1^8 / E LEMEN S ^ 
me opération que dans Fart. xix. à cela près; 
qu'au lieu de retrancher les quarrés 16,9,41 
&c. on retranche le produit de ces mêmes quar- 
lés par le nombre qu'on aura choifî pour m » 
on trouvera de même b 8c c. 

Si le divifeur que Ton a aînfi en mettant dans 
mx^^bx'^c f^owxm le nombre choifî , & 
pour h fC ceux qui auront été déterminés 
d'après ce choix , ne réuffit pas , on p- endra un 
autre des divifeurs du coefficient du premier 
terme de la quantité donnée pour repréfenter 
>w , & l'on achèvera le calcul de la même ma- 
nière. Si après avoir effayé tous les divifeurs 
du coefficient du premier terme , il arrivoit 
qu'on ne trouvât pas de divileur par cette mé- 
thode , on feroit fur que la quantité propofée 
O^en devoit point avoir. 

XXV. 

AppUcârion ' Soît pris, pour faire une application de cette 
thod"a mi méthode la quantité 4 v^ ^16 x ^ — 2 2 a: * 
Exemple, — i^A--.p— j6Arr4-77 dont on demande un 
divifeur de deux diir enfions. Ayant d'abord 
placé à l'ordinaire ( Table fuivante;JDafe 3 ) 
daiw la première colonne les nom'Sres2, 1, «> j\ 
•—1 5-~2,&c. auxquels on égale fucceffivement 
X'y dans la féconde les nombres 117, y > 77* 
15*^,457 que devient fucceffivement la quantité 
propofée par ces valeurs de x^ dans la troifîé- 
me tous les divifeurs des nombres de la fécon- 
de : je commence' par chercher fuivant les rè- 
gles de Tart.xix. s'il y a quelque divifeur de 
d^ux dioienfions , dont le premier terme ait 



D' ALGEBRE. 9S^ 

Tun^ié pour coefficient ; mais n'en trouvant 
point , Je fuppofc que m , c'cft-à-dire le coef* 
ficitnt du premier terme du divifeur , foii i 
qui efl un des divifeurs du coefficient 4. du pre- 
mier terme de la quantité donnée. 

Je place alors danç la quatrième colonne, 
au lieu des quarrés des nombres de la premie- . 
re , le produit de ces mêmes quarrévS par 2 va- 
leur fuppoféedcw, c'eft-à dire que j'écris dans 
la quatrième colonne les nombres 8^ 2t o, 2, 8. 
Je retranche enfuitc ces nombres de tous ceux 
dé la troifîéme colonne pris en — & en H- , 
ce qui me donne pour la première bande de la 
cinquième colonne — nj ,-—47 , — 21 ,* 

— 17, — Il , — 9 , — 7i-^5'>-+-'''+'y> 
-f-Jî^H-iop; pour la féconde bande — 7, 
—.3 , &c. 

Tous ces nombres écrits , je cherche tou- 
jours comme ci-devant des progreffions arith- 
métiques parmi tous ces termes , & je ne 
trouve que la progreffion -f-j ,— 3 ^ — 1 1 , 

— ip, — 17 que j'écris dans la fixième co- 
lonne; cela fait, je prends — ii répondant 
à zéro piguf exprimer le nombre f , & re- 
trtfiîcharit ce fiîJhîére de 3 qui eft au-deffiis, 

=7ai le refte -+- 8 pour exprimer b. Le divifeur 
qui réfulte donc de la (uppoiition de m:=2 
eft 2A"*-t-8;r — 11, j'eflaye alors la div^fion 
qui réuffit en donnant pour quotient 2v^ — 7, 
& fans prendre la peine de faire le calcul que 
demanderoit la fuppofition de ^^=4, je vois 
qu'il ne doit pas réuffir , parce qu'il faudroit 
pour cela quç le quotient a^^ —7 pût fe 



ï7^ ELEMENT 

décomporer • ce qui t& impoUible. Aînfi la 

la quantité propofée n'a pas d autre divifeur 

de deux dimeoiions que 2;r^*<{-8^ il. 

XXVI. 
^2^l^^!l^. Loffqu'on cherchera les divîfeurs d'une 

titede moins - 7 • .rr t • • / i » ' 

^ de fix di- quantité qiu ne péllera pas le cinquième degré, 
qLli? dcsdi^ ^^ pourra toujours les trouver par les métho- 
vifears , en des précédentes ; car aufE-tôt qu'on fe fera aC> 
d'auddrÔui ^^^^ P^^ ^^^ méthodes que cette quantité n'au- 
de trois di- ra point de divifeur , ni d'une, ni de deux di- 
mcniions. menfions, on fera fur auiïï qu'elle n'en aura pas 
de trois. 

XXVI L 
f fixTpï . Maïs fi la quantité monte à fix & à plus de 
de dimcn- dîmcnfions , elle pourroit n'être décompofa- 
^urwitnvWe qu'en des quantités de plus de deux dimcn- 
voir de divi- fions. t»a méthode qu il taudroit fuivre pour 
tro[s o^dc* trouver ces divifeurs eft fondée à peu près fur 
plus de di- les mêmes principes que les précédens , )e nç 
mcnfîons. ^^^^^^^ p^j^t à l'expliquer à caufe de la loi^- 
£ueur des calculs. 

XXVIII. 
Tout ce que nous venons de dire concer- 
nant les divifeurs commenfurable s ne rega rde 
que les Equations numériqifesT'*^epen3anih^s 
Équations littérales pouvant auffi avoir de^ 
divifeurs commenfurables , il faut voir ce que 
l'on doit faire pour les trouver. 

Suppofons d'abord que l'Equation ne ren- 
ferme qu'une lettre connue avec 1'^ , & que 
cette Equation , foit ce qu'on appelle homo- 
gène, c'eft-à-dire que tous fes termes montent 
à la môme dimenfioa , telle que l'Equation 






— S 



o 
-I 



2. 



Pag. 170 



-ii,-H77 



— 3 

IX 

—27 



^7^ ELE M EN S 

décomporer • ce qui t& impoilible. Airifî lâ 
la quantité propolée n'a pas d autre divifeur 
de deux dimeniîons que 2x''^ix — n, 
XXVI. 
Twitequan- Loffqu'oH cherchera les divîfeurs d'une 

tite de moins .7« i rr i« •/ m ' 

de fix di- quantité qiu ne pàfiera pas le cinquième degré, 
inciifions,& çjj pourra toujours les trouver par les métho- 

quiadesdi- . ^ ,, ,% ' /T*\f r r r 

vifeurs , en des précédentes ; car aulu-tot qu on le iera ai« 
doit avoir f^fé paj. ççg méthodes que cette quantité n'au- 

a aaaeiious *, , it.** «if «ij j* 

de trois di- ra point de divileur , m dune, m de deux di- 
wniioni. menfionj ^ on fera fur auflî qu'elle n'en aura pas 
de trois. 

XXV I L 
f &cTpï M^î« fi ïa quantité monte à fix & à plus de 
de dimcn- dimcnfîons , elle pourroit n'être décompofa- 
Jourroifi^a. We qu'cn des quantités déplus de deux dimen- 
voir de divi- fions. Là méthode qu il iaudroit fuivre pour 
troTs oITde* trouver ces divifeurs eft fondée à peu près fur 
plus de di- leis mêmes principes que les précédens , je nç 
l'arrête point à l'exphqucr à caufe de la Ion- 
£:ueur des calculs. 
^ XXVIII. 

Tout ce que nous venons de dire concer- 
nant les divifeurs commenfurabl esne rega rde 
que les Equations numé^iqlfes^5^fcepénclan^^(es 
Équations littérales pouvant auflî avoir de^;^ 
divifeurs commcnfurables , il faut voir ce que 
l'on doit faire pour les trouver. 

Suppofons d'abord que l'Equation ne ren- 
ferme qu'une lettre connue avec 1'^ , & que 
cette Equation , foit ce qu'on appelle homo- 
gène, c'eft-à-dire que tous fes termes montent 
à la même dimenfion , telle que l'Equation 



menfîons. ^. 

m 



p«g. I70 








-+- S 
— 3 

— IX 

— ip 



O-I 

I •,. 



•>:■ \~ Ai'tr 



w — ''>^ 




- 1 • . î 


1 


V 


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-; - - i^ 






Z • 


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... 1 



1^ 



\'i- 



• • ' , T " 



Zy^LGEBÈÈ. f^l 

jr'«,p^».t^,— lou *jf^-(5^^, par exemple^ 
on n'aura qu'à fubftituer Tunîté à la t>lace de 
la lettre connue a de cette Equation , 6c cher* 
cher Tes dîvîreurs de la même manière que ci^ 
deflua. Ces divifenrs étant trouvés , s'ils font 
d'une dîmenfion , on remettra la lettre a à côté 
du nombre qui fert de fécond terme. Si le di*- 
vifeur a deux dimeniîons , on placera a après 
le coefficient du fécond terme ^ 8c a a après 
le nombre qui fert de troifiéme terme. 

Soit, par exemple ^ la quantité Ar^H-4^'^* 
—17^* AT — ia^*> après avoir fait^=si , 

& trouvé que la quantité x^m\^é^x* 174: 

«»-^ 1 2 „ qui vient par cette. opération , a pour 
divîfeur ^ — - j , je conclus que x — j ^ eft nû 
divifeur de la quantité propofée. 

Qu'on aitenfuitea<^ ^H-y/r^r* — ^m^x* 
m — 2 a^x"- _- 20a ^x^î2a^. En fuppofant 

4fss=r,onauraaA:^ -4-y*^ 3 x^ ^^^Sx* 

— 20 AT ^ 12 qui donne pour divifeur de 
deux dimeniîons ^^^H-l***^ — 3* Mettant 
alors d^nscë divifeur a à côté de j, Scaah 

côté de3,il vient 2x^^^a x, 3 a a pout 

le dîyîfgydedeuY dimenfions de 2 AT ' -H f^ AT* 

^J^JF'^^Stî^ a: * — api^* Ar*f-i 12^^ 

XXIX. 
Dans une Equation homogène 3c fenféra» 
mant trois lettres , on pourroit , en fuivanrlé^ 
méthodes précédentes, parvenir encore à trois 
•ver fes divifeurs , tdm (impies que compofées 
de deux dimenfions>; mais à Faioe de quelques 
obfervdtions de calcul qui fe •]^réf<enient aiT^z 



t^2 '^l^EMENS ^ 

naturellement >on peut réuf&r d'uaé façoa ita 
peu plus commode. 
Méthode Supppfons d abord que la quantité donnée 
tomicsXi-^"^ renferme trois lettres , a, è:, a: dot avoir 
fcurs à deux pour divifeur une quantité qui n'en renfermât 
u""quand"é^^^ dcux , quc Içs lettres^ ,&: «î, par exero- 
qoicnatroisple: puifque ce divifeur quel qu'il loit pourra 
fans contenir de i ,, divifer la quanthédonnée 
ou i entre, il faut* que la valeur.de i> foit in- 
différente à la divifion , & que; cette divifion 
puifle fe faire de même lorlque b fera zéro , 
donc fi on fait b==iO dans la quantité doa- 
née , il faudra que la quantité donnée par cette 
fuppofition ait pour commun divifeur avec la 
xjuantité entière j le divifeur cherché. La queC- 
tion eft donc en ce cas renfermée, dans une 
autre traitée dans la première Partie^ar,t.Lxxiil. 
où Ton a enfeigné» à,. trouver le plus grand 
commun divifeur de deux quantités données: 
de forte que par ce qu'on a enfeigné <dans cet 
article, on trouvera le divifeur cherché de 
quelque dimenfîon qa'Ufqitj pourvu qu'il n'ait 
que deux lettres; 

XXX. . 

Exemple. Pq^^. montrer l'application de cette métho 
de , foit pris d'abord la quantité x^-^ax^ 
^2a^x^-^^a^ x^ahhx-i-^^ r^aahb, 
dont on cherche un divifeur où les feules let- 
tres a , X entrent. 

En faifant ^=o il vient x^ -+- <r ;c ^ ^7,a^x^ 
,^^a^x-+-a^ dont le plus grand commqn 
divifeur avec la quantité €ntiçre;,.0Uj ce qui 



ly AhG E KRE. tji 

revieot au même , avec le reile abbx -^-aaiby 
cft ;c-f-^, qui eft donc néceilàirement un divi- 
feur de la • quantité donnée ^ & le plus grand 
qu'elle puifibavoir qui ne contienne pas de è. 

' ; ; ■ XX XL 

Soit J»:^ ^^.^x^^6aa x ^ — aBx ^^abhx'' ^^^^^^^ 
Li^2aahx'^ rr^4^a\ x^^.^%aa bbx — 2^^ b x 
'^ i4^\blyen faifant à ass o dans cetcç quan-r 
tité ona*^ — ^ajc^ ^ 6 Aa x^ ^..^^^ x^ 
dont ij faut chercher le plus grand commun<livi- 
feurave<c la quantité propofée» ou ce quire* 
vient au lnême,avec le refte — ^ah x^^ap b x^ 
-4- la ah x^ — 2 aoBbx — 2.a>b x-^za^bb^ 
c'eft-à-dire le plus grand comaïun divifeur des 
quantités Jfc?^-— 4^^* H- 6 aax — à^a^ & 
^^:^x^ 'J^bx^ -f- zax^ ^^.^2 ab x^r^zaax 
.^laOfb. .... .;., , 

Or ^'il y, a' un divifeur c^ipmyn. çjitrç cç^ 

àswx, qi^ant^tés qui ne contijènne pas dâ^ ^ il 

fera auiïï commun aux de)^ parties ^^^x'^ 

.ui^2ax'^H-^2a'^xScbx^.^^.:^2abx^^2^*b 

.de, la dierjQierç de ces deuXtq^antjt;és; mais Ip 

,divifeiit^6in.mun de rcça-t deux parties .ne peiy: 

4tee qpe^ATA: _i iaxrh^^^ * j'eifamiQ^ donc 

■^i'il di Ytfe^ puffi 4^ ' — - 4^^ x\'r]h6 aax . — 4 a^ 

& conin^§ U le divife en efièt^, je conclusqu'y 

èftje divif^i^; cherché de la. quantité : pro* 

i^oÇéo^l, y, : .... . . ,, -^ • .:. -j ' . , 

-*'•-•• 1 ', y- , -X. JL A, J. !• . ,''j^, : ' y 

r tSiippofetis^réfenteivientqtf6laquantitépr<>- jyiéthode 
*pofëc «ompcfée de trois lettres dont ion cheo- pour trouvée 
che les:divileurs n'ea\kwQuà com]ioSi(!M^^^ll^Zl 



474 ÊtÈMÊNS 

très ^ d'une lement de deux lettres ^ ou bien que iî elle 
dimenfioiu g|, renferme i on ait commencé par les trouver, 
& les mettre à (lart i poiif trouver alors les di« 
Vifeurs de trois lettres & d'une dimenfion qu elld 
peut avoir i je commence par repréfenter ce 
divifeur par mx^na^fb*^ m^n^p étant 
ruppofées dé5giier des nombres. Je remarque 
enfuite que fi on fait fuccefGvement ^a^x ,t 
égaux à zéro dans ce divifeur, on a les trois 
quantités m x ^ph n a^f h^ mx^^né 
telles que les deux termes -que chacune d'elles 
renferme fe trouvent répétés dans les deux au- 
très quantités; n^X'^pb par exemple donné 
par la fuppofition de a^i=zo; efl eompofé de 
fnx qui le trouve dans iTi^H-^-^donné par 
la fuppofition de è ^ns: o^ Scde pB qui fe trou« 
ve dans na^pb donné par là fuppofitioii 
de XTssio. Je vois en même-tems que la fôm«> 
me de ces trois quantités mx^^nuf rnx^^pb^ 
na*+-pb, eft le double du divifeur entier 
mx '^na^pbé 

- Or comme ces trois quantités font nécef- 
fairement des d^vileurs de celles que Pon au- 
roit en feifant les mêmes fuppsJ(il;j{}Bj^{e a ^ 
X , b égaux \ zéro , dans la "quatnHté propos 
fée; on tire de^tà , qtie pour trouver les divi^' 
feurs de cette quantité qui ne montent qu'à 
une dimeniîon , Se contiennent troi^ lettres , il 
faut commencer par écrire féparément les trois 
quantités , dans iefqueUes la propofée fe chan- 
ge par la Jfuppofition de Uypç ^b égaux à. zéro ; 
écrire eofulte a côté de: chacune de ces nov^ 
celles quantitosL tousi feisi divifeurs d'une di* 



D' J IG Ë B Â Ë. ijf 

«leniîon & à deux lettres. Cela fait > il faut 
choinr trois divifeurs parmi ces trois clafles 
de divifeurs à deux lettres , en obfervant les 
conditions dont nou& venons de parler ^ que les 
deux termes dont chacun de ces divifeurs fera 
compofé fe retrouvent dans les deux autres 
divifeurs. Ces trois divifeurs étant ainfî trou- - 
vés , la moitié de leur forame fera le divifeur 
de la quantité propofée (î elle en a un. 

Si pour trouver dans un de ces trois divi- 
feurs de deux lettres les deux termes qui doivent 
être la répétition de ceux qui font dans les deuif 
autres , il fallpit en changer les deux fîgnes à 
la fois , on voit bien que ce changement fe« 
roit permis , puifqu en général .une quantité 
qui en divife une autre la divifera encore > fi 
on en change tous les iîgnes. 

XXXIIL 

Cour montrer l'application de cette métho- AppUcâdoo 
de , foit propofée la quantité 2x^ -+-7 ax * ^p^J^é^^ 
—3 1 x^ ^$a}x — -^abx ■+■4^*4: -+-10 ahb te à un c- 
— GbK Ayant tfabord écrit ( voyez la Ta* "^""P^^- 
ble ci- jointe Cafe^i^ dans une colonne verti- 
cate les trois quantités XQa.h^ --^^h^ i olx^ 

dans lefquelles cette quantité fe change par la 
fuppofîeioji àt X yU^b égaux à zéro; j'écris 
dans une féconde colonne verticale vi&-à*vis'de 
chacune de ces trois quantités leurs divifeurs à 
deux kttres & d'une feule dimenCon. La pre* 

miere fournit ^a 3^âc 10 6b \ lafe« 

conde feulement xx^'^^b ^ ^h, troi^éme 



î76 EL E MENS 

i .V -4- 5* a. Cela fait , je vois tout de fuîtft 
qye fi on prend des deux divifeurs, ^a — 3^, 
\Qa — 61 y le premier y^— 5^; il aura, avec 
les deux divifeurs 2^ — 3^, 2Ar-4-. y^ , la 
proprié é requite , car ce premier divifcur 
c a —^5 1 contient ^a qui eft répété dans le 
divifeur 2x^ja, Se — 3 ^ qui eft répété dans 

ax i^; de même ix — ^h contient 2JC 

qui eft répété dans 1 ^ -+- J ^ , & - — 5 i qui 
eft répété dans 5i«_3 ^ ; & enfin ix^^a eft 
compofé de 1 X & de -+-5 a , qui font répété» 
tians les deux autres ja — 3^ , 2x — 3 L 

J'ajoute donc fuivant la règle précédente 
ces trois divifeurs, & fai ^x — ôh'-i^ioa ^ 
dont la moitié 2x — } ^H- j a eft le divifeur 
cherché. En efFet ^ fi on tente la divifion , on 
trouve pour quotient x^'i^ax'-^itb* 

XXXIV. 

Autre Soit propofé préfentement de trouver leà 

«empic. divifeurs d'une dimenfion & à trois lettres de 

la quantité 8;^^^ — 2ax^ — io'at^ — ^a^x^ 

^_ j abx"- . iiab'' x^^^d" ^^-f-iy^^'k 

Ayant fait fucceffivement x ^jZyb égaux a zéro 
dans cette quantité, j'ai les trois quantitésp^^^'i'' 
^i$aPy 8*^ — \obx^ ^ 8;f^_ 2ax^ 
.._ 5 ^* X que j'écris ( voyez la Café fécon- 
de de la Table ci -jointe) l'une fous l'autre 
dans une colonne verticale. J'écris dans une 
autre colonne verticale à côté de chacune de 
ces quantités leurs divifeurs d'une dimenfion 
& à deux lettres; ceux de la première iont 
S^r^S^ &p^-+:ij;^î^ceux de la féconde 

4^ 



ÎJ^ ALGEBRE. tjy 

^.^...^fifSx — loBs & ceux delà troi* 
fiéme 4*" ..«- ^aSç ix ^a. - - 

Il n'eft pas difficile enfuite de trouver que . 
les trois divîfeurs 3.^-+-^ ^,4ar-— 5 ^^ & 
^A-— }^ Qflt les propriétés requifes pourvà 
qu'on prenne le premier j^-f-y^ en changeant 
fes fignes, c'éfl-^-dire en récrivant ainfi ►-— 5* 
•«•^jé ; je mets donc à part ces trois divifeurs 
,dans la quatriéoie colonne > je les ajoute , de 
prends la moitié de la fomme^ ce qui me donne 
^ X — 3 W'-^^b pour le feul divifeur cherché^ 
fuppofé qu'il y en ait un. Je tente la divifion-j 
,& je trouve pour quotientexaâ 2a;}-|-^x> 

XXXV. 

Dans ces deux exemples nous n^^vons poia€ 
écrit les divifeurs d'une lettre que donnoient 
xhaçune des Qrois quantités de la première co- 
lonne 9 parce qUje ces divifeurs n'auroient ja- 
mais pu ètîtX^s, quantitéjsi da^ns lefquelles le 
divifeut à trois lettres fe change, par la (up^ 
pofition de ^ t a^b égaux à z^o \ , Se que 
oious avoûs (uppofé qu'on ç'étoîc aflfuré p$u: 
Ja méthode^ de l'article xxix. que la quantité 
propofée r^avoi* pas de divifcûr à deux let;- 
très. Mais fi OQ ayoit des quat)|ités qui euffeitt 
.de ces fortes de divifeurs ySç. qii'çn ne voulut: 
:pasfe fervir.dieJaiiiiéttiodedèVari'. xxix. on 
pourroit les trojuyer en même-tems que c^Ux 
^ à trois lettres par la même méthode que fiptis 
venons d'expKqu^,. pomyû qpç^îqs divifeurs 
tfeuflènt non pi||tf Qu'une dimenfiôn,. 

M 



1^8 £ L E M EN S . 

Troiaémc Soit pàt «emple la quandtc ^^f^f^^ 

ex«npic où .^^%axx -f.3 $aax — "Xbabx'-^oa -H3^ o^ 

l«ViX«. Ayant écrit dans une première colonne ( voyez 

à deux icf. la Cafe 3 de b Table ci-jointe ) les trois quan- 

Kcscnmc. j , Ôd^-^^d'h^ léx^^l6hxX, 

mc-tcm$ que VUP5 " *• ■ j ^' , , 1 /• ^1 

ceux â aoif . 1 6x ? — 48^ v^cHi.5 5^^* 4?.-^6i« *? idans teiauel- 
les^i^tte quantitié rechange par la fuppofition 
àtx^a^P égaOT à zéro- Pécris dans la fé- 
conde colonne , & à la première faande^ a y 3^ , 
.— 1 a^h ,— »^ /i^-+-3 * divi&ura d'une di- 
menfion & à une ou deux lettres -de la quantité 
.»^5^î ^3^*i. De même dans la féconde 
bande, f écris les divifeursar, 2;x,4x , S^f, 

y6x^i6b , de la féconde quantité lOx^ 
H- 1 6bxx : & dans la troifîéme bande, ^--4^> 
'j^'-i— 4.v,\* — 2a divifeurs de la troifiérae 
iouantité i^x 3:^—48^^^-4-35'^* x — 6aK 

Cela fait, à caofe du grand nombre de ces 
divifeurs , il faut plus d^^tentipn que dans les 
exemples préoédens potït n'en-laiffer aucun 
.^ui puiffe avoir ks cwdkions nequiCss ; & 
rordre qu'*dtt doit fuivre c^ àpéu près Je mêrfie 
que celui quW a fràvi dans feiï^divîfcfurs mimé- 
xiques. il feut id'abw^d cc^ripôrer 4e préttfter defa 
-première bafldê^vec tcyus ceu^ des autres l^àH- 
^es , & faire «nfuîte la mêWê^ératimi fé^ 
-chacun des autres <livîfeurs dé la ^première ten- 
'de. Je Vois ît'àbord <fùe fi À fait- partie ë uii 
divifeur dé là ^uafltité , ce ne petft être que 
<tftm divifeur qui ne contienne guè aSc^ pa#j- 
iCe^ue s'il y avoit tm terme qvi contint bi<^ 
divileur ne fe feril^it pÀs rid^itàa f àr la fup- 



D' A L G E B RE. îjp 

pofîtion de^ssato. Aînfî je n'ai àchoifirdans 
ce cas que parmi les cinq premiers divifeurs 
Xy iXfd^jv^S Xi ï6xy êc comme de tous ces 
dîyifeurs il n^y a que 4^ qui foit répété dans 
la troifiéme, en fuppofant que ce divifeur ^^x 
foit afFeôé du figne—^; & qu'en même-tems 
de tous les divifeurs de la troifiéme bande , il 
rfy a que le prismier ^— -4.A; qui renferme 
le même terme a de la première bande ^ je 
conclus que û a lait partie d'un divifeur , il 
faut que ce divifeur foit /f— -4 at, je Fécris donc 
à part. Je'pafle après à j^ , & comme je le 
trouve répété dans le divifeur ^a ^^^.v de la 
troifiéme bande , & que Tautre terme 4.x du 
jnême divifeur fe trouve être un des divifeurs 
de la féconde bande en changeant le figne de 
ce divifeur, je conclus que 5^ — 4^ peut-être 
encore un divifeur de la quantité propofée , & 
je le mets à part afin de Peflayer. 

Quant à la-^b on voit d'abord qu'il ne 

peut pas feulêtrc un divifeuf de la quantité 
propofée , ^arcô qn^il feudrôir pour cela 
que parmi lés divifeurs de t6x^'^i6hxx,^ 
oh eût le tennfe t qîie deviendroif — 1 a-^^ b 
par la fuppbifckïfn de ^fc===p , refte« donc à fça-* 
voir s^il neTerpit pas partie d'an divifeur où 
Aremreroitj pour w/cn aflurer,' je Commence 
par remarquer <}uè de tous les divifeurs de là 
féconde bande il n'y a que Ar-+-^ avec lequel 
on puillele comparer à caufe qu'il n'y a que 
et feul divifeur tjui -ait le terme H- ^ de com- 
mun avec hxu Je vois auffi qu'il n'y a que 
^— »z^ de la troifiéiit bande avec lequel je 

Mij 



i«o £ L£ M £N s 

puiffe comparer le inême diviCsur -— 2^^-^# 
parce qu'il n'y a que lui qui contienne le ter- 
me — 2a. Je vois enfuitc que de même que 
les deux termes du divifeur — 2 -ar -+• ^ font 
répétés dans les deux autres divifeurs ^-4-* j 
X'-^iaf le divifeur a:-+-^ a auffi fesdeux 
termes répétés dans les deux autres — .a^-+-*, 
X — 2a j& récipa)4uement que Içs deux ter- 
mes du divifeur à* — 2^ font répétés dans les 
deux autres x^ h , -— 2 /it-+-^. De - là je 
conclus que les trois divifeurs — zj^-J-^, 
x^b.x — la ont les conditions héceflaires 
pour former un divifeur. Je les ajoute donc, 
te je mets à part la moitié ^— 2^-+-A'de 
kur fomme pour un divifeur à tenter. Mais, 
avant d*en faire le calcul j'examine ce que peut, 
me donner le divifeur — 6a ^ 3 ^ > j^ ^^^^ 
tout de fuite qu'il n'y a aucun de fes deux ter- 
mes qui foit répété parmi les divifeurs 4©s 
autres bandes , & qu ainfi.il faut le rejetter. . 

Par cet examen on trouve . donc les trois 

divifeurs^ — 44^, 3 ^^ — 4 *• , at-^— 2dt -t^/à 

cffayer ,je tente la divifion par le dernier, ^ 

elle réuflit ,: & ne donne pour quotient 3 ^,d 

mm^i6ax^i6xx ^ que je divife enfuitejpar 

j^...^, & la divifion réuffit encore , & ^010 

donne pour quotient le pr^w^^ divifeur a — ^4:*:. 

Ainfi la quantité proposée étoit le produit /ie 

ces trois divifeurs. i » 

XXXVI. . ;. 

Méthode Si la quantité propofée n'a point de divi- 

l»our trouver ç^^^ d'une dimenlion , & qu'on veuille exami- 

dedî;;^Toer fi elle n'en a poij^de deux, on y parr 



Page igo. 



Ji. 






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a — ^ 






X* 
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h* 



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.. .;-4- 


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t. •' 



D'ALGEBRE i8i 

viendra aflèz facilement à Faide de quelques mcnfions de 
obfervations analogues à celles fur Icfquelles*"^"^"* 
eft fondée la méthode précédente. Soit pris 
mie X'^naX'^fbx^\^a^^rab^shb pour re- 
préfenter le divifeur cherché à deux dimcn- 
fions ; faifant fucceffivement ;r e= o ,^ = o , 
bssso dans cette quantité faî les trois quantités. 

qa} ^rab^sbè 

nix* ^pbx^s bb 

m x" -f« nax '-^ qa^ 

3UÎ font toutes trois des divifeurs de ce que 
evient la quantité propofée lorfqu on y a 
fait fucceffivement les mêmes fuppofitions de 
x^ a ib égaux a zéro. De plus chacun de ces 
divifeurs eft toujours tel , que les termes af- 
fe6l;és de lettres quarrées font toujours répétés 
dans les deux autres divifeurs , tandis que les 
termes qui contiennent un produit de deux let- 
tres font toujours les feuls de leur efpece. Voilà 
donc des conditions pour examiner les trois 
clafles de divifeurs de deux lettres & de deux 
dimenfîons qu'oii tirera d'une quantité propo- 
fée , ainfi quan^ on en aura trouvé trois qui 
rempliront jES^onditions , on n'aura qu'à les 
ajouter, prendre enfuîte la moitié de tous les 
termes afeftés de quarrcs , & laifTer en entier 
ceux qui ne feront que des reftangles. 
XXXVII. 
Pour montrer l'application de cette métho- AppUcation 
de foit la quantité a: ^—4^^^* — C^^.v'-H4A*^' de cène mé- 

^\ ^x rx t r. A 71. thodc a lin 

— a^x^ — ij^ab'^x^^^b^x — a^x — ^a i% exemples 
laquelle n?a aucun divifeur d'une feule dimen- 
fion , & dont on cherche quelque divifeur qui 
en aie deux. Miij 



j82 E L E ME N S 

On commencera par garder ( voy^z la premiè- 
re Café de laTable ci-jointe) les trois quantités 
— :^aH'-yX^^^b'^x^^\h^x^ x^ — 4^^ 
^.^^a" x'^-^a^ x^'^'-a^x qu'on n'aura pas man- 
qué de tirer de cette quantité' , en faifant fuc- 
ceffivement x^a^ b égaux à zéro, lorfqu'on aura 
voulu s'affurcr qu'elle n'avoit point de divi- 
feurs d'uhe diraenfion. On mettra enfuite à cô- 
té de ces quantités leurs divifeurs de deux di- 
menfîons ; la première fourniflànt a^^ab, b^ 

?\a'^,^ab,^bbih féconde ^*-+-3^*, Ar-^-i*; 
a troifiéme feulement x^^ax. Dans cette 
méthode on ne fçauroit rejetter les divifeurs 
qui n'ont qu'un terme > quand même on fe fe- 
roit alTuré que la quantité propofée n'a au- 
cun divifeur à deux lettres , parce qu'un di- 
vifeur à trois lettres & de deux dimetiHons 
peut fe réduire à un feul terme par la fuppo- 
fition de Tune des lettres égale à zéro. 

Il s'agit préfentement d'examiner tous les di- 
vifeurs de la première bande , je vois d'abord 
que le premier a"^ eft à rejetter, parce que ce 
quarré ne fe trouve point répété dans les autres 
bandes , je pafTe enfuite à où ^^ôc de ce que 
ce divifeur ne contient aucun terme affec- 
té de /^ ^^ & de ^ ^ , je conclus que le divifeur 
dont il pourroit faire partie ne peut avoir ou- 
tre ce terme que des xx , des ax,ôc des bx, 
& comme cette raifon exclut la comparaifon 
qu'on pourroit, faire de ab avec les divifeurs 
j^r * -+- 3 ^* , jr*-f- b* , il s'enfuit que ûab doit 
faire partie d'un divifeur de la propofée > ce 
divifeur ne peut être que xx^f-ax^^-ba; 



jy ALGEBRE. 185 

mais je vois en même-tems que xx^ax^ba 
lie fçauroit être un divifeur de U propofée , 
puirqu'il deviendroit feulement x x par la fup. 
pofition deifïsro» & que^^ n'eft point un 
des divifeurs de la fçconde bande* Donc le di* 
vifeur ah efl encore à rejetter. 

Quand au divifeur ii, ie le trouve répété 
dans le divifeur x^^b"^ de la féconde bande, 
& trouvant que le même divifeur x^^h\ a x^ 
de commun avec le divifeur de la troifiéme 
bande, je conclus {{vl^ x^^b^-^ax 9^ les con- 
ditions requifes pour tenter la divifion. Mai» 
avant de l'entreprendre je palFe aux autres di- 
vifeurs de la première bande « & je vois dabord 
que laUfSc ^ab font à rejetter par la même 
raifon que a* Se abs\^ vois enfui te que ^bb 
étant répété dans le oivUeur ^^-^-ji^ & at* 
dans xx^ax iW s'enfuit que xx^^bb^ax 
a aufli les conditions requîtes pour tenter la 
divifîon; j'eifaye alors ces deux divisons , Se 
je trouve que la féconde feule réufGt en don« 
nant pour quotient ;rî— J^w:* ^b^x — -^ ^ 

Au lieu, de ^roourir tous les divifeurs de 
la première bamle > on auroit pu examiner le 
feui que RhiSmiere liande contient, & trouver 
bien plutôt que x^^^ax^+^b* & x^-t-ax 
•4- } ^ ' étoitat l^s feu)s divifeurs à tenter. 
Car il fuflifoit alors dis remorquer que le divi- 
feur x*^ax Contenant x* qui eft répété dans 
;»r*H-3i* & jr *-f-jtS & que ces deux der- 
niers contenant V\in ^b^ Se i autre h* qui font 
chacun dans les divifeurs de ]a première bande^ 
il «'enfuit que x* -f-^^-fc-fc* ^x'^ax-hi ** 



i84 E L E M E N S 

ont les conditions requifes & qu'Hs font les 
feuis, puifque s'il y en avoit d'autres^ ou bien ils ' 
auroient donné d'autres quantités que xx^ax 
par la fuppofition de bsssso, ou bien d'autres 
quantités que at* -4-3^ * <Sc a»* -4-fr* par la fup- 
pofition deassnO. 
^ XX XVI II. 

Autre cxcn> Qu'on ait préfentement à chercher les divî- 
^^^' feurs de la quantité 2Ar*-4-î^^*-+-i^*'*^* — ^* ^ 

-+. 4 4 1 * ^ ^ ^6â^ b * a:-4- 2,ab^ — la^b'^^ foit 
d'une dimenfion, foit de deux , foit à deux let- 
tres , foit à trois. 

aab^'-^ia^h'-y 2x^ ^b^x^^ & 24r ^ -4- ? ^•«^* 
— /î*jt' étant les quantités que donne , dans 
lapropofée, la fuppofition A^x^a^b égaux 
à zéro, il s'agit de ranger d'abord vis-à-vis 
de chacune de ces quantités tous les divifeurs 
qu'elles peuvent avoir tant d'une dimenfion que 
de deux ; comme la première de ces trois quan- 
tités en a un affez grand nombre , il faut, dans 
la crainte d'en omettre quelqu'un , les cher- 
cher tous avec le même ordre que nous avons 
fuivi pour les divifeurs numérEques. 
Apptîratîoft Ayant écrit ( voyez la prenn ^re C afé de la 
de^dWc' *^^^1^ ci-jointe ) cette prcmicre^ntité 2ab^ 
^rt. XIV. >.^^2a^bb à part avec une barre à fa gauche, 
tous' leHi- & à gauche de cette barre l'unité comme pre- 
vifeurs d'un mîer divifcur de la quantité , je pôfe 1 audef- 
qu^Ssll? fous de I , parce que c'eft après i le divifeur 
téwics. le plus fimple que puifle avoir cette quantité , 
& j'écris à droite de la même barre ab^ — a^bb; 
te divife enfuite cette quantité par ^ , & j'écris 
^ à gauchç de k barre , en racttanti en méme^ 



D' ALGEB RE. i9f 

fems à droite le quotient b^^^a^b^ , je muU 
tîplie alors a par t , ce qui me donne T^a que 
j'écris à gauche de 1'^ comme un nouveau di- 
vifcur de la quantité , puis je divife i^— /«^i', 
par b , & j'écris le divifeur b à gauche , & le 
quotient b^^^a^b à droite; enfin je multiplie 
^ par 1 , par ^ > par 2aiôc je mets à gauche de 
i&, les produits, ^.b^ab y xab comme de oou« 
veaux divifeurs de la quantité. 

La quantité étant réduite à b^ — a^b , je 
la divile encore par b que j'écris toujours à 
gauche , ainfî que le quotient bb — aa à droite; 
je ne multiplie point enfuite ^ par i , ni par a^ 
ni par ta y parce que cela donneroit des divi- 
feurs que j'ai déjà eu; mais je le multiplie par 
i& & par 2^ 9 ce qui me donné les nouveaux 
divifeurs de deux dimeniions bb Se xbbi fî 
j'en voulois admettre de trois dimeniions y ainfî 
que cela peut être néceflaire dans d'autres oc- 
caiions^ je multiplierois outre cela bçax abSc 
2ab. 

Après avoir réduit la quantité à bb^—aa , 
je vois qu'elle eil ctvifible par /&-— ^ > & que le 
quotient eft b -k/> j'écris donc l'un à gauche 
& l'autre à ^SfiSite , & je multiplie i— — ^ par, 
1 , par a y par b y par la , & par ib y ce qui me 
donne pour nouveaux divifeurs d'une & dç 
deux dimeniions , ib^^2a , ba-^-^aa^ bb-^-^ub , 
aba-^^Zéia^ ^bb-'-^iab. Si j*en avois voulu de^ 
trois & de quatre dimenfions , j'aurois outre 

cela multiplié k ^ par aby^ab» abby labb. 

b-^a n'ayant plus enfuite d'autre divifeur que 
lui*méme ^ je l'écris à gauche ^ & je le multi-f 



tS6 E L E me N s 

plie par 2$ par if , par ^, par 2b ^ la^ b-^^a^ 
xb — 2a y ce qui me donne les nouveaux divi- 
feurs d'une & de deux dimenfions ^ 2 b'^2a, 
b a \ aa , 2ba -4- 2aa fbb-J^ab, ibb -4. xab , 
Uh-^aa » ibb — 2aa» Si j'en avois Voulu ad- 
mettre de trois > quatre & cinq dimenfions » 
c'efl-à-dire tous les divifeurs que la quantité 
propofée pouvoir avoir , f aurois multiplié ou- 
tre cela b^a par ab, 2abj bb^ ibb > abb , 
2abb, ba — aa^ iba — 2^^ , bb — > ab , 2bb 

,^^iab , abb^^ aab , zabb — la^b^ b^ ab"" 9 

xb^ — 2ab\ab^ a^b\ lab^ — la^b"^. 

Cela fait , j'écris ( voyez la troifiéme Café 
de la Table ci-jointe ) tous les divifeurs d'une 
te de deux dimenfions a^aa^b, ib , b — a , 

xb — la , b^a , ib^ia , ab , 2ab^ ab aa , 

2ba — laa , bb ab , 2bb — lab ,ba^^aa^ 

xba^2aa , bb^ba , %bb -f- ^^b à côté de 

la quantité 2*a b^ 2a^ b"^ qui les a donnés. 

J'écris enfuite à côté de la quantité ix^ -J^b'-x^ 
les divifeurs d'une & de deux dimenfions x , 
atS ixx^^bbjSck côté de la quantité 2x^ 
j^^ax^ — a^x^ fes divifeuf-s d'une & de deux 
dimenfions x ^x^^ xxx ^fax^^^ a a. 

Parcourant après tous ces dmISufs pour fça- 
voir ceux qui peuvent être admis , je trouve 
bien-tôt qu il n'y en a aucun d'une feule di- 
menfion > C|ir ne trouvant que x dans la fé- 
conde & la troifiéme bande qui fgit d'une di- 
menfion , je conclus qu'il doit être le feul di- 
vifeur d'une dimenfion s'il y en peut avoir » 
puifque fi le divifeur d'une dimenfion renfer- 
moit ou un terme aâfeâé de a ou. un aâèâé 



D' A LG E B R E. 187 

de by celui qui auroit e'té aflcfté de a feroit 
refié dans les divifeurs donnés par la fuppofî- 
tion de ^=0, & que celui qui auroit été 
aflfedé de b feroit tmé dans les divifeurs don- 
nés par la fuppofîtioh de ossso. MaisArn'eft 
point un divifeur de la quantité propofée , 
donc il n'y en a point aune dimenUoni Je 
viens enfuite aux divifeurs de deux diaieii- 
fions , & je comnience par x * que je prends 
dans la troificme bande ; trouvant qu il eft auflî 
dans la féconde bande 5 je conclus que s'il fait 
partie d'un divifeur , U ne peut lui manquer 
qu'un terme affèdédu reftangle ab ^ parce que 
s'il y en avoit eu qui fuflent afièâés àtauy 
de i ;& , de ^AT , ou de bx , ceux qui auroient 
été aflfèftés de bb ou de bx ne s'en feroient pas 
allés par la fuppofitîon de ass±:0 , & ceux qui 
auroient été attèftés de aa ou de ax n'auroîent 
pas difparu par la fuppofition de fc=asao* Mais 
je trouve dans la première bande abSciab^ 
donc XX ^ab , ;rAr-H2«é,4rAr— -«f i&> xX'-^^T.ab^ 
font des divifeurs à tenter. 

Je pafle enfuit^au divifeur SLx'-^^ax-^aay 
Se je trouve Ij^^me 2.x^ répété audeiTus 
dans le divileur 2,xx^bb , je trouve en tnê»- 
me-tems le terme .^^an répété en haut dans 
plufîeurs divifeurs , mais de toUiB ks divifeurs 
où il^ eft répété , il n'y a que bb^-^aa qui âk 
en même-tems le terme ib que contient te divi- 
feur tixx^bb , ainfî ce n eft qu'avec ixx^bù 
& bb — aa que ir^-^^ax a a peut con- 
courir à former un divifeur qui ait les con- 
ditions requifes>& ce divifeur qui eft ^x'-^-^^mx 



i8S E L E ME N S 

— ^a^hbj eft par conféauent à tenter , 8c 
je vois qu'il n'y en a plus d autre à chercher > 
parce que s'il pouvoit y en avoir un qui n'eut 
pas ^té déterminé dans'Texamen qu'on vient 
de faire des divifeurs & de la troifiéme bande, 
il faudroit que ce fut un fcul terme aflfèfté de 
abi or on voit tout de fuite que la quantité 
n'a point de divifeur de cette nature. 

Je tente alors la divifion par axx^^ax 

— aA-\-hh , elle réuffit, & me don ne pour quo- 
tient X ^ l\^2abh qui m'apprend qu'aucune 

des quantités xx^ab^xx abyxx^2a b\ 

xx^''^2ab , ne peut divifer la propofée. 

XXXIX. 

si la quantité propofée avoit plus de cinq 
dimenfions , & qu'après s'être afliiré qu'elle 
n'a aucun divifeur , ni d'une ni de deux dimen- 
fions , on voulut chercher ceur du troifiéme , 
quatrième , &c. degré qu'elle pourroit avoir , 
on fuivroit pour cela une méthode analogue 
à celles qu'on vient d'expliquer ,^ & qu'il eft 
aflez aifé d'imaginer, (• 

Si la quantité dont on cW che les divifeurs 
renfermoit plus de trois lettres , la méthode 
qu'il faudroit fuivre pour les trouver feroit à 
très peu de chofe près la même que lorfiju'il 
n'y en a que trois y ainfi nous laifiTerons les 
Commençans ^y exercer. 

XL. . 

Ce qu'il faut Lorfqu'on aura une quantité dont tous les 
toc pour^ tenues ne feront pas homogènes , c'eft-à-dire 



P«S. i8S. 




arei. 



* H-}it'-+-<ÏAf 



\ 



Café 



2 \ab^—aibb 



2a^a 
2aBpab,2h^b 



bi—aib 
b^-^a^ 

I 



a^' H 



>ifiC 



Café j« 

2XX -^bb 

2XX^^aX — OM 










- a^é I 2xx^bb-^iéPC'^aa 

' — 2ab 



\ 



i: 



* D'ALGEBRE. i%^ 

élevés à la même dimenlîon, on n'aura qu'àdlvlfeande» 
commencer par mettre tous fes termes à la me- ^^fonm^^ 
me dimenfion à Taide d'une nouvelle lettre j homogènes. 
& chercher les divifeurs de cette nouvelle quan- 
tité par les règles précédentes. Ces divifeurs 
trouvés , on en chaffera la nouvelle lettre in- 
troduite en la fuppofant égale à l'unité ,& Ton 
aura par ce moyen les divifeurs cherchés. Que 
j'^aye , par exemple la quantité x^^bx^^-^bx^ 
.^x^ ~^hx*^b; je multiplie le terme bx^ 
par a , afin de le rendre de fix dimeiifions. Par 
la même raifon je multiplie x^ par a^ , bx par 
a^ , Se b par a^; ce qui me donne la quantité 
AT^H- hx^^-^aèx^^a\ x x^a^bx^^^a^ b que 
e trouve par les méthodes précédentes être 
e produit de xx — ah^bx par x^^a^. Je 
fuppofe as=zi dans ces deux produifans , ce 

3ui me donne xx — b-^bx, & at^^-I pour les 
eux produifans de la quantité propofée x^ 
^bx^ — bx^^x^^bx — b^ 
XLI. 
Il y a des cas où les divifeurs fe trouvent 
plus facilement qu'en fui vaut les méthodes pré- 
cédentes lorfqu'on a un peu d'habitude dans 
le calcul. Voici un de ces Cas fur lequel il ett 
bon de prévenir les Commençans. 

Lorfque quelqu'une des lettres de la quan- ç^^^^^ j^ ^._ 
tité propofée ne montera qu'à une dimenfion , vifcur fe 
il efl aifé de voir qu'il ne peut y avoir qu'un f^^ulmene' 
des divifeurs de cette quantité qui contienne que par lei 
cette lettre. Donc il y aura au moins un di- ^^i^^x^^^^^^ 
vileur qui ne la contiendra pas , & alors lui- 
yant la.méthode de Tarticle xxvl^ pour trouver 



jpo E L EM E NS * 

ce cUvîfeur , il faudra chercher le plus grand 
commuo divifeur des termes où cette lettre fe 
trouve 5 & des autres termes dans lefquels 
cette lettre ne fe trouve pas. 

Soit par exemple la quantité a: 4 ««-. ^ ax^ 
— ^^*j:* .4,1 ^a^ X'^cx^ — acxx'-'^^a * ex 
^ba * r— 8^ ^ ; je cherche le plus grand com- 
mun divifeur des deux parties cx^ — acx x 
^^%aacx^6a^c Se x^ — ^ax^ — ^a^x^ 
^{^lia^x — Za^ de cette quantité , Tune con- 
tenant la lettre c, l'autre n'en contenant point > 
je trouve pour ce plus grand divifeur commun 
A-* -+-2 a X "'^T.aa , & c'eft le divifeur cherché 
de la quantité propofée. 




ELEMENS 

D'ALGEBRE - 

QUATRIE^ME PARTIE. 

Réfoltuion des Equations de dégrés 
quelconques lorjqu elles nom que 
deux termes ^ou lor/qu en ayant trois 
elles peuvent/^ réduire à celles qui 
nen ont que deux Jpar la méthode 
des Equations du. fécond degré : 
avec différentes opérations néceffar- 
res pour ces Equations ^ comme té- 
levation despuiffances > îextraBion 
des racines , la réduâion des quan- 
tités radicales , &c 

il P R E* s avoir vu comment on tîroît 
d'une Equation qui paflbit le fécond 
degré > celles du premier & du fe- 
_ ^ ^ cond degré qu^elle pouvoit renfer- 
mer i il tàMi voir ce qu'on a fait pour réfoudre 




191 E L E MENS 

les Equations qui échappent à cette méthode» 

I. 

Dm Equa- Pour aller du plus fîmple au plus compote, 

tiens au troi- i t? ^* • 

féwc dég.é "ous commencerons parles iLquations qui ne 
• deux tcr^ Contiennent que deux termes ; fuppofons d'a- 
°^*' bord qu'elles ne montent qu'au troifiéme dé- 

gré , comme ax - «=è. 

Pour réfoudre ces Equations, il eftbien aifc 
d'imaginer de délivrer d'abord x* de fon coef- 
ficient, & de prendre la racine cube des deux 
i^fiîr*^rca" "membres. Le caraâere qu'on employé pour 
raaere V exprimer la racine cube, eft le même que celui 
ïK)ur cxpri- Jqj^^ qj^ [q fç|.j jgjjj 1^ racine quarrée ; mais 

mer la raci- ., i /r i j'/i* 

ne cube. 1 on met un 3 au-defluspour le diltinguer. 

Ainiî pour exprimer la valeur de^v qu'on 

L 

lire de l'£quation ax^t=it ou^î=:- , on 

met A" ==A'^ - ♦ Si par exemple i&= 1000 & 

3 
a;s=i2 on a xp=i^ S^^* 

11.^ 

Les radicaux:;, H eft à obférvcr qu'on n'a -pas ici, comme 
^^^^^^X'^\à^I)s\ts racines quarrées, la liberté de mettre 
^u'un figne ^ OU — deVant le figne radical, mais qu'au 
• ^ ^°"* contraire la racine cube d'une quantité eft tou- 
jours de même figne que la quantité elle-mê- 
me : à caufe que le cube d'une quantité pofî- 
tive eft pofitif, & que celui dune quantité 
négative eft négatif. 

III. 



IIL 

Cette réfolution fournit afiçz naturellement 
une réflexion quiparoît contredire celles qu'oQ 
a faîtes précédemment fur ^c nombre des ra- 
cines des Equations. Car un cube n'ayant qu'qne 
racine & cette racine n'ayant qu^un figne , il né 
paroît pas qu'une Equation telle que ^;irj=é 
donne plus d'une valeur de ^,cependant fu vant 
ce qu'on a vu ci-deflus , on dcvroit s'attendie à 
trouver trois racines dans une Equation du 3''"'* 
degré, de même que deux daps une du fècpnd^ 

Que conclure de cette réflexion ? abandoii- 
nera-t'on ce principe fi fatîsfaifant par fa gçné-^ 
ralité, & qui fuit fi naturellement de la for- 
mation des Equations expofée dans la m '"* 
Partie , article ii. ? Voici le dénouement de 
cette difficulté tiré de la même formation. 

Qu*on mette l'Equation ^at'^ = h fous cette 

forme x^ — ~r=o , qu'on mette auflî fa ra* 



a 



ane 4cs=Y_fous la former — v/- s=:g; 



b ^ \b 



on 



qu'on divife alors ;f5_^_ p^,. x^^jt. 

trouvera une Equation du fécond degré qui 
contiendra les deux autres racines. 

Pour en faire le calcul plus aifément , foit fait ' 

- == c' , on aura donc atr Ijéu des Equàfions 

précédentes x^^ — c^=o^&ç jç r==Q-i i^î? 

vifant la première par la féconde , il vient 
au quotient jir.r-t-^^-f.cr = o, dont les 
deux racines font exprimées par • • . •••••« 

N 



fp4 "E L E M EN S 

itess— *-r-+"V^ — IcCf Se deviendront la fé- 
conde & la troifiéme valeur cherchée de x dans 

FEquatîon x^eszt , auiS-tôi qu'on aura remis 
à la place de c fa valeur y^ - ^ 

IV. 

La fubftitution faite , on a ura pour ces deux 

yaleurs de .,-1 // JlhK -i/^r. • ^^' 
on voit "que le quarré de \/ - , c'eft-â-dire le 

produit de n/^ par Vj doit être \/ — î & 

Comment qu'en général la multiplication des radne^.cu- 
on maiùpUe jjgg comme ccUes des racines quarrées fe fait 
S^'*" en multipliant d'abord les quantités qui font 

fous le figne radical , & en metwnt enfuitc ce 

figne devant leur produit. 

V. 

R»dn« de Les trois racines de l'Equation propofée 

. dn "Sème d * ' B= ^ , font donC AT ass V - , *=— i i/ ~ 



degré à deux 

termes. . i bi 



1 i.h 



H-v^— W-- *=— ;^/^■^ 



V—\ yj ^ ; la première réelle,& les deux au* 

très imagîpaires , maïs cependant toujours telles 
qu'on peut dire qu elles réfolvent lEquatioa 



propoléct. 



iy A L G E BR E. ïpf 

VI. 

Suppofons maintenant qu'oA ait une Equa^- d» Eqaa- 
tîon à deux termes d'un degré quelconque j^°"^//^"* 
on iaréfoudra de la même manière, en em- d'un degré 
ployant tin radical dont Tcxpolant foit celui <l«cico»^««* 
de rincoïinue dans cette Equation. Soit> par 

eacemple> TEquation if^sa=:i&,ou^s=;^, on 

m h 
en tirera a: = y - . 

Si m eft un nombre jmpair , cette quantité 
he pourra être que négative, lorfque ~ fera 
faégatif , & elle ne pourra êtte que pofîtive , 
lorfque - fera pofîtif. Si w eil un nombre 

pair, la racine aura comme dans le fécond dé- 
gré le (ïgne ^, & elle ne fera réelle que lorfque 

- fera pofîtif. Dans le cas où - fera négatif ( m 

toujours pair) les deux racines exprimées par 

H-^ â feront alors toutes les deux imaginai- 

tts. Ainfî toutcsif'les Equations ejcprimées gé-î^o"» "« 

néralement par x =1 ne pourront au plusJp*us*aUcux 

avoir tjuedeux racines réelles , ks autres i-àci-iei.^"" ^^^^ 
nés étant néceflàirement imaginaire». 

Qu'on ait , par exemple , a: ^ =e 25^ , les 

deux racines réelles (ont -+-+ & — 4 , les 

deux imaginaires font -f- V^— ^^ & — V — \6 

DansTEquation a;^=243 la feule racine réelle 

^ rf* 3 > & le« autres celles qu'on doit trouvejs 

Nij 



1^6 E L E M E N S 

en réfolvânt TEquation x^ ^^ x^^^ x^ 
-H27 a: -+-8l=: o qui vient par la divifion de 
TEquation at * — 2 4 5 = o par l'Equation 
A-— 13=0. Sans réfoudre cette Equation , on 
doit être afluré que fes racines font toutes 
imaginaires, puifque i il y en avoit quelqu'une 
de réelle , elle réfoudroit auffi x^ =243 , & 
par conféquent il y auroit d'autre nombre réel 
que 3 qui , élevé à la cinquième puiflance > 
donneroit243. 

VIL 

Il ne manque préfentement à ce que nous 
venons de dire fur les Equations à deux termes, 
que de pouvoir abréger ou Amplifier les ex- 
preffions radicales qu elles donnent lorfqu'il 
y aura une partie de la quantité dont on pour- 
ra prendre çxaftement la racine, ou même de 
pouvoir éviter entièrement le figne radical 
lorfque la quantité entière fera une puiifance 
complette. 

Pour reconnoître ces cas, il faut commencer 

par faire quelques réflexions fur Tinverfe de 

n^ré^r ^'?P^^^"on qu'^ fe propo% alors, c'eft-à^ 

tioudespuif. dire fur l'élévation des quantités à des puif- 

^nccs, fances quelconques. 

Qu'on ait , par exemple une quantité telle 
que a h cd k élever à la puiffance m, on voit 

bien qu il viendra par cette opération a h c d • 
Qu'il s'agifle d'élever à une puiflance quel- 
conque , une quantité , comme -^— qui a un 
dîvifeur , il eft clair qu'il faudra élever le dî- 




vîfeur, aînfî.que le numérateur à cette puif- 
fance quelconque, & que s'il y avoit des coet 
fieicns , il faudroit qu'ils fuflent auffi élevés à 
la même puiflTance. De plus, fi les fadeurs ou 
produifans de la quantité donnée fe trouvoient 
déjà élevés à quelques puiflances , ils dcvien- 
droient alors élevés à une nouvelle puiffance, 
dont Texpofant feroit le produit de Texpofant 
qu'ils avoient d'abord par celui de la puiflTan- 
ce à laquelle on les voudroit élever. Ainfî 

élevé à la puîflancc j , donnera . . • . 

a ^br 

j^-î ■ à la puîflance ^, deviendra 

' • Tout cela eft fort fimple, & fuit 

entièrement de ce prîncq)e, qu'une quantité 
élevée à une puiflance quelconque , eft ce qui 
vient de la multiplication de cette quantité par 
elle-même autant de fois moins une , que l'ex* 
pofant dç la puiflance contient d'unités* 

. nu. 

On Voit bien préfêntettienPt que Pinvetfe de Application 
cette opérati<wi , c^QÉLk^ire Textraftion dès xions^prtcé- 
racines ne demandera autre chofe que dedîvï-dcntesài'ex 
fer les expofaris des parties ou fàfteurs de cette ^''"'*"*" '^"* 
quantité par l'expofant de k racine j foitque 
ces parties ou fadeurs foient dans le numéra- 
teur , foit qu'ils foient auffi dans le dénomî- 
ûoteur. Qu'à foit queftion , par exemple de 

N iij 



tradion des 
racines. 



jp9 • ELEMSUf 

prçndrc la racine cube de ^ ' çii.aiyîfant 

par 3 les expofans 3 » 6, 9 , & en mettant leurs 
quotiensi,2, î,aux mêmes lettres, on aura 

• - pour la racine cube cherchée. 

S'il y avoit eu un coefficient à la quantité-, 

on en auroit pris la racine cube , — — >p3^ 

c 

exemple, aurok donné — ^ pour fa racl. 

ne cube. vit 

De la même manière , fi on cherche la raci- 

ne quarrée quarrée , ou quatrième de - ^ ^^ ' * 

lab^ 
oa trouvera ■ « 



De Pcxtwc- Lorfqu*il n*y aura qu'une partie de la quaHp^. 
cines^^iôr "' tité quî fc pourra extraire, on Textraira, &oa 
qu'on a des laiflera le refte fous le figne radical affeAé de 
Incomplètes, l'expofan^ qui lui convient. Soit propofé ,^ par 
exemple, de prendre k. racine cinquième de 

\ . qui eft compofé du produit de 

2 par. , dont la première eft 

.nxa^çmentla, cîpquiémç puiflàiice dç ..-..^^ 



■ > Se dont la recx>nde n'Br pas dé àxti 

quiérne racine , il faudra écrire alors. 

De même la racine cube de . fera 

^a s/ -^-^ ^ parce que r.» «t te 

produit de par , & que la première 

de ces deux quantités eft un cube parfaît,celuî de^ 
ia^Sc que la féconde n'a point de racine cubew 

De même i/^ ■ ^ ■ 

14 1 «^-4-4 4^'-! — » ^^ 

X, . • 

Lorfque k quantité dont il fera néceffaîre 
d'extraire la racine fera compofëe ainfi qufc 
Jes précédentes *, de plufieurs termes , & qu a-^ 
près avoir féparé de tous fes termes les quai>- 
tités communes qui font des puiflances com- 
plettes , on foupçonnera que le relie pourrott 
être la puiflaDce complette de quelqw quan- 
tité commenfuraBle compoféç de pluueur* 
termes 3. l'opération qu'il faudra faire pour s'ea 
^ffurer fera plus difficile. Afin de trouver k 
wéthade qu'il ikut fu^yçe, <feA& cettç^ opéra© 



^ TtE M É NS ' 

non , nous commçncerons. par faire quelqueir 
réflexion* fur le Problème inverfe; c'eft-à-dirc 
fur l'élévation des quantités complexes à des 
expofang dànrfé« , & nous en tirerons enfuité 
les principes, qu'il faut pour ^xtraîre les raci- 
nes de ces fortes de quantités. * 

Cherchons d'abprd comment Télevationau 
cube peut tlomter la méthode d'extraire les ra- 
cines cubes j on verra après que les autres puiC- 
îiàncEs n'augmentent h difficulté que par 1$ 
longueur des calculs.. 

;. XL 

Soit prîfe la qiiamîté complet k plus fîm- 
©le «-h^ i & foit devée cette quantité au cu- 
be. L'on aura premièrement pour fon quarré 
««■4-2f«L^«x, * multipliant ce quarré par 
la fîmple puiflànce , on aura enfin le cube 
^ •+• j uuzM^jw!A^+» z. ' , <j«i«]pf?rend qu un« 
quantité quelconque co'mpofée de deux par- 
i oi con ^^^^ * ^^^'^^ élevée au cube , donne d'abord le 
fiftATcubT cube de la première partie , enfuite le triple 
d'un binôme tiù quârfé dé éètte* première partie multiplié 
par la féconde partie; depfas, le triple de la 
^eraiere partie mukiplié parMe quànré de là 
fteoûde ; enfia le cube de la. feçoûde. 

: XI I. 

Méthode • <^\xàn aft donc une, quantité dont ort 

cu'il faut fui- • Ml • ' 1 • f 

vrc pour 'Veuille extraire fâ tâcine Cubé , oh cofnmenr- 
ra^'^'^'^iA ^^ P^** y chef-che^ tiii ternre 'qui foit an dube , 
"c"quamit6''<^ ee cube r'cfiréf$ntera« 5 ^ foh écrh^ à côté fâ 
«empicxcs. Taci&é qui Tefrféfèntéra M '» on triplera enfuite 



ly A LiSÈSRE. loi 

îe quarrë de cette racine , & on le fera fervir 
de divifeur à ce qui refte de ta quantité donnée 
de laquelle on aura ôté le cube de la racine 
premièrement pofée ; le quotient de cette di- 
vifion fera la féconde partie de la racine , & 
repréfentera z. ; l'ayant écrit à côté du premier 
terme , on multipliera enfuite ce dernier ter- 
me par la quantité qui repréfente ^uu^^uz. 
H- zjL i c*eft-à- dire par le triple du quarré de 
la première partie , plus le triple du produit 
de la première quantité par la féconde , plus le 
quarré de la féconde : la multiplication faite , 
on retranchera le produit (qu'elle donnera de 
la quantité propofée , dont le premier cube re- 
préfentant «' a déjà été ôté. S'il ne refte rien, 
on fera fur que la quantité étoit exaôement 
le cube du. binôme- répondant à u^^z^ S'il 
refte encore plufieurs termes > & qu'on veuille 
fçavoir fi elle ne feroit point le cube d'un 
^trinôme; pour trouver le troifiéme terme > on 
fera des deux ternafes déjà écrits , le même ùfa- 
ge qu'on à fait du premier ternie lorfqu' on a 
cherché le fécond. 

,XIII; 

Quelques exemples éclaîrcîront cette mé- Premier 
thode.Soit la quantité 8)'*^-4-(Jo^^^*-+- 1 joh^y* exemple. 
-4-1 tyè*; je commence par prendre, la racine ' 
cube dû premier terme Sy , & j'écri* cette 
racine (^vbyét là TàÛe cî-joîme Café î ) 
2j^ a cote de la quantité propofée J je i^écxis 
enfuite le cbbe de 2jy*avec te ûgne-^-^ fotfîs 
la quantité propofée y ttk- ôbf^tyaàt d^en chaô-! 



Ï02 ELEMENS 

ger le fîgne , la fouftraftion ou réduftîon faîtcî 
j'écris le refte (îo>4^»-f-i joA^ y*-4-i2j:^* ^ 
je mets au-defliis de 2y^ le triple de foa 
quarré , c'eft-à-dire 1 1 ^^^ , & je divife le pre- 
mier terme 60 y^b^ par ce triple i xji^ , quant 
au quotient jA* qui vient de cette divifion , 
je l'écris à côte' dç 2^*; j'ajoute enfuite à 
I2J»*, 30^%» produit du triple de 2-);* par la 
quantité jA* que je viens d'écrire, & fajour 
te à ces deux premiers termes aj"^* quarrç 
de yA». 

Cela fait , je multiplie j'A* par ces trois ter- 
mes , & j'écris leurs produits avec des fignes 
différens fous la quantité 6oy^ b^ ^i^ob^y* 
.H-'i2 5'A*, & voyant qu'après la réduâion il 
ne refte rien , je conclus que la quantité pro- 
pofée étoît un cube parfait , & que fa, racine- 

^toit aynt-j^N 

XIV. 

^^\c. Q"^ >'^y^ ^ prcfent la quantité x^^6b»^^ 

-+'2jb^ qu'on voit bien au premier coup d'œi). 
devoir donner plus de deux termes pour fa ra- 
cine cube, je commence a abord par trouver 
avec la même facilité ( voyez la table ci-jointe 
Café 2) qqe dans l'exemple précédent les 
deux premiers termes x^^2bx; mais comme 
au lieu de ne rien refter ainfî qu41 eft arrivé 
dans cet exemple, il vient pour te&e^b^x!^ 
m^^6b^xi ^S^b^x* '4-J4é^Ar -+-27^^ je di- 
, vife le premier terme p b*x^ de ce refte pa'^ 
.^x^ triple du quarré de ;r% jgairce qu€i ce tgp 



me 5Ar4 cft le premier du triple du qnarré de 
la quantité xx^zbx , laquelle reprcfente ac- 
tuellement la première partie ( nommée u art. 
XI ,) de la racine cube cherchée : ayant fait cette 
divifîon de p^*Ar^ pour 3^ , f écris le quotient 
3^* à côté de xx H- 2bx* Je forme enfuite la 
quantité 3^* Hh 1 ^^a:» + z i éV» H-; 1 8 ^'at 
Hr^b^^ en ajoutant enfemble le triplç du 
quarré de xx 4- 2bx , le triple du produit- de 
Ar^-+-2^Ar par^É*, &le quarré de ib\ Cela 
fait , je multiplie cette quantité par 3 i&» , & 
^'écrîs tous les termes du produite en changeant 
leurs %nes, fouiB la quantité $ i&*^-h}6 i&';r^ 
^6%b^x^ ^s;j^b^X'^27h^ y & comme il ne 
reile rien après la réduction , je conclus que 
A?*H-2âA--+.3i* eft exaftement la racine cube 
de la quantité propofée. 
XV. 
Nous avons vu (H "* Part. art. xxiv, xxv * 
xxvi.^ comment on faifoit, fur les quantités ra^ 
dicales du fécond degré, les opérations d*addi- 
tioin , fouflraûion , multiplication , & divifion. 
Comme ces opérations font également néce^ 
fairespour les quantités radicales des dégrés 
plus élevés , nous allons examiner ce que de- 
mandent ces nouveaux radicaux. 
^ Quaot à ^addition & à la foufiraftion , il Additions «: 
n'y a rien à ajouter à ce qu*on a dit pour les J>uftradions 
mêmes opérations fur les radicaux du fécond „dicai«"^ 
degré , car il fuffit de réduire chaque radical f°"te efpea 
à fa plus fîmple expreffion , & de les ajouter ou ^* 
4e les retrancher çonime l^s quantitéi cgm* 
pienfurables, 



iHJfi È l E M E N s 

j ■ 



Qu'on ait ; par exemple \/b^ -+-2 ab^ï, ôtet 
de \/8^'i&Hhi6^ > on change la première 
quantité en bs/b^ia ^ & la féconde tû 
sta\/b^2ai or la foufitaâion eft alors toute 
fimple , & donne 2a — B\^b^2a. 



s. De même fi on ajoute ^aV i6b^'-\^^ih^a^ 

wtc ^hV a^b^^ia^j on aura ioab\/b'^'^2a^^ 

X V I. 

2Ln'&i- .APégardde la multiplication &dela dî- 

fion des vîiîon y Çi les quantités radicales font de même 

Sk^dw qui*' ^^po^aï^t , c'eft encore la même méthode que 

ont mêmes dans les radicaux du fécond degré ^ il fufHt de 

«pofans. f^^^ Topération fur les quantités précédées 

dti figne radical , & de mettre le même figné 

devant le produit , ou devant le quotient > fui-*- 

vant qu'on aura fait une mukiplicatîonou une 

i^ivifion. 

exemples. CeftainG que Vsayyy.t^T^yz^ssV^s^'^^^^ 

î 

Que \/l X 1/17 aib* « / -^ — 

4 . 4 

^4 

<^uè•^*^*^-^î ifivîfépar5/'*~donw 



TfALGEBRE. ^qj 

M pour quotient >/ b=:2^i/__1 . 



5 



Que = Jl//,! ! ^ 

XVIL 

^ Maïs fi Ton veut faire ces mêmes opéra- pour foire 
tions fur des quantités radicales de diflFérens ^5* ^P5"' 
fignes, & qu'on ne veuille pas fe contenter q^tités ra- 
de I3 fimple marque de multiplication , il ^!"^«^« ^^^ 
faut changer] ces quantités radicales en d'autres ^i^^' 
d'un radical plus comppfé qui foit le mêrae^**'5^"'^^\ 
pour chacune des deux quantités à multiplier «?"cx^!°®" 
ou à divîfer. ' f^nt, 

Quon ait, par exemple > ah & l^^^ à Méthode 
réduire a un même figne ^ jelcve ah a la pour cette 

puiffance j; & j'écris V ^ au lieu de ^, & 

j'ai la quantité |/^<^? qui eft la même chofe 

que \/ ah^ f élevé de même^i* à latroifiéme 

puiflance, & je Kiets%/ au lieu de V^; ce 

qui change la quantité Vah'' eaVa^h^. Ainfi 

s'il avoit fallu multiplier V^^ Ç3,t Vahh , 

il fçroityenu pour produit >/ a*b'^ y Se fî j'avois 
eu à divifer la première par la féconde , j'au- 

rois trouve pour quotient i/— v- aca? •/ — . 

a b h 



Ko6 ttÈMÊNS ' 

De même le produit de ^a^b^ ^zxVd^b^ 

ÉUroît été v^^:'^^*' == a^bW^^hK 

En général pour réduire deux quantités fa- 

m ^ q n r s 

dicales Vab ScVab \ ixn mêmeGgne, on 

mn fn qn ^ 

changera la premiieire en \/^a b , & la feconr . 

tnn rm sm 

de en ^a b ; s'il eft queftion alçrs de les 

multiplier , leur produit fera \f a b ^ 
& fi on vouloit divifer la première par la fe- 

conde , le quotient feroit \/a b 

Lorfque les deux quantités radicales auront 
pour expofans des nombres qui auront un 
coiçmun divifeur , on voit qu41 ne fera pas 
néceflaire de changer chaque radical eo un 
autre , dont l'expofant foit le produit de deux 
premiers expolans J par exemple que Ion ait 



4. 



\/ab Sc\^ ah^ ^ on changera le pemier eil 



■4 



V^*^*; qu'on ait de même t^a^ Se t^a^by on 



I2« 



changera la première en \/a9!;i , & la fécondé 



11 



en 1/ a^'^h». 

XVIIL 

Amre ma- On peut trouver une autre méthode pour 

nîcrcdf feîrcfaîre les opérations précédentes , en employant 

tfons^précé-une réfléxion fur la nature dès quantités radi- 

dentes. , cales , qui fuit aifez naturellement de ce qu'on 

st dit art. y nu pour extraire toutes fortes de 



If A LGË S É £. io^ 

iadnes* Ceft que les quantités radicales peu- 
vent être regardées comme des puiilànces, dont 
lés expofans font fraâionnaires. 

Pour faire voir, non- feulement comment on 
cil arrivé à cette réflexion , mais la maniéré 
dont on en a fait ufage ; cherchons par le 
moyen de ce que nous avons vu précédem- 

ment ce que peuvent être les quantités |/ a h 

n r s 

& \/a b employés dans Texehiple précédent. 
Suivant ce qu'on a dit art. viii. (î on avoit 
les nombres qu'expriment les expofansp&^, 
on les diviferoit par le nombre exprimé par 
m 9 & onprendroit leur quotient pour fef- 
yir d'expofants kaôck hy & ce feroit la prc- 

miere quantité exprimée V ^ t . Mais fand 
fçavoir les valeurs particulières de p , ^ , ?» , il 
eft évident qu'on peut en cette occafion, com- 
me en toutes les autres ^ écrire généralement 

^ & —pour les*quotiens de la divifion de 
p & de ^ par 77Î, c'eft-à-dire pour les expor 

fans de 4 & de ^ dans la racine m àt a b ; 

^ l 
Donc a b eu cett& raane. De même 

r / 
n r s H n 

V ^ b fera a b Pour multiplier préfen* 



tement les deux quantités a^ b "" Se....,: 
# b » dans lefquelles font changées les 



ao8 E L S M E N S 

quantités qu'on avoit à multiplier art.xviî. il 
faut , comme dans toutes les multiplications 
de quantités incomplexes, ajouter les expo- 

fans des mêmes lettres , c'eft à-dire — & — 

m n 

tvec -^^ ce qui donnera a b 

m . 

fn+rm sm+qn 



mn mn 

OU a h , en mettant its frac» 

tîons ^ & "" att même dénominateur auffi- 



m 



bien que — & — ^ 

A- y^ ^» , rnn , ^ . ,. i 

Amfî ^ ^ , ceft-a-dire le 

produit de a élevé à la puîffance -i — — par 

nuft 

b élevé à la puiffance— -^ eft le produit 

mn 
des quantités propofées. 

Il eft aifé de voir préfentement l'identité 

mn mn 

de cette expreflîon a b , & de 

mn pn+rm sm+qn 
1. expreflîon |/^ b qu'on avoît 

trouvé dans cet article x VU J. Car par la 

mêmç 



toême raîfoft qu'où vient de voir que Va & 
a ^ ne défigûoient que là même quantité, ott 

oitvoifqucii &\/a font lamé* 

me choie , amfi que Vb 8c t 

Si on avôit voulu au contraire divilèr là 

première quantité Va b par la féconde. . . i 
^ f * r '- 

Vab , on ai;r<>it retranché i'expofant "^ de ^ 

X &l*expofant ^.dc ^ , Sç Ton auroit eu 

a o OQ, a o V^y^ 

\t quotient. ' ^ \ 

Afin qu'on fe familiarife avec cette trant 
formation de quantités radicales en puifTance* 
fraflionnaire^ , faifons-en eâcôr^ querqtfâp*^ 
plication^^Soit propofé> par exemple, de di* 

ip m in ^ ^\ f i.m n 

vifer V^ b. c par V a h c\ ■ Gnr changent 
d'abord la première quantité en -« ^^ b ^^c ^ g 

& la féconde en <i ^ b^ . «^/:> enfuîte ; btk 

retranchera les expofans -—,--, —, qu'ont les 

î t î 
lettres a,b, ç dans la féconde, des expofanta 



■- ' -z.' * q«W Jes mêmes lettres dan$Ia pfe? 

pi^re , ^ Ifs r#es —4^ » "TT * *** feront Içf 
expofans à doiioer aux œêmes lettres dans le 

quotient,c'Êft-àdireque4 ^^*^ tf eft 
ce quotient. , ., . 

En trouvaot une pareille quantité, il eft 
éaturel qu'on foit un peu emb'arrafle à fça- 
yoir ce qu'dlç %nific , car n'ayant point en- 
core rencontre d expofant qui foit ou zéro ou 
iiégatif , on i^;'fç3it ce que ' deviennent les 
quantués donj. elles font 1^ expofans- 
^^Pour retirer de cet cmbafrài',' foit reprife 
la queftiçndang.! endroit oit commence à pa- 
ronre k diffiçuï^, c'eft-à-djre,-lçîrfqu>n>ë- 

traiiêhe les expofants ^' de — fr -L de - 
' ..-., . • •? . ^î ^ t f 

éfîn- de diyifei?' ^ç '^ par a f 3c c^ p„ J, 
ÇleÔ donc à la. place de iL qu'on met ^«J 

«t^laplacede-^ qu'on met ^ zf.^gj. 



ïfAtÙËÈKË. *tt 



iu lieu de*—»-*—, on peut mettre — î — \ 






caufe que ir P eft le produit de d ^P par 



t^ 



« V > & au lieu de oa peut mettre i« 



r? 



î>oûc lès deu!ïc qùamît^s à examiner ^—"îf et 
t^ expriment l'une — ~- #& l'autre i. Et 



partant le quotieût cherché éty/a b # 

OU 



dîvîfé par V^ f^ t ç& • * V .., ^ ^ *? ^ j 



n 






XI X. 




rite qu*on en faffe une cotirte récapitulatioa 
en les réduifant en principes généraux:. 

O i j 



*M ELEMENS 

Ce que «rfi !<> Lorfqu'unc quantité quelconque a pouf 
fa^ncc^fralT-' ^^pofant UHC fraftion , on peut la cnanger eu 
ûoniuiic. la tacîne d'une quantité dont rexpofant fera 
entier , en prenant pour expofant de la racine 
le dénominateur de Texpofant propofé , & 
pour expofant de la quantité fous le figne ra- 
t]ical le fîuniératebr du même expofant frac- 
tionaire, c*eft-à-dire, en termes algébriques, 

qu'en général V^ =î^ • 
Ce que c>eft 2,''. Lorfqu'unc quantité a un expofant né- 
qu'une puif- ^atif , OU la peut changer en une fraâion 
'^r^^" dont le numérateur eft l'unité , & dont le dé- 
nominateur eft la même quantité avec un ex- 
pofant pareil au propofé , mais avec le fignè 

— w * 

-4-, c'eft-à-dire qu'en général a s=-j7* 

Ce que c'eft " • Toutc quantité dont l'expofant eft zéro 
raucc'ôr fe réduit à runite , c'eft-Mire ^ue ^° = i . 
' La démonftration de ces trois propositions 
prifes dans leur plus grande généralité ne de- 
mande point d'autres raifonnemens que ceux 
qu'on a employés dans l'article précédent. Ce- 
pendant pour fe refTouvenir plus aifément de 
ces proportions , & pour s'en fervir avec plus 
de confiance , il eft à propos de les confîde- 
rer à part , ce qui fe fera facilement de la ma- 
nière fuîvante. 

». 

i^. On démontrera que ^»», efl la racine 2/ï 

n 

'de a , fi on fait vpir qu'en élevant à^ à la 



D'ALGEBRE. 215 

puîffance w, U vient a"". Or pour élever a m 
à la puiflance m ,il eft évident qu'il faut muiti- 

n 

plier fon expofantpar m^ ce qui donnera 4»^"* 
ou a"*. 

^^. /J fera néceflàirçment égal à — ^ , fî 

i{ "* 
en multipliant ces deux quantités par une mê- 
me puiflance dç ^ , il vient le même produit. 
Or qu'on les multipKe l'un &; l'autre par une 
puiflance de a plus élj&vée que m par a.^^ , par 

exemple , on aura axa ou a ou 

a pour le produit de a par a ^ Se de 

même - J^-^ ou^f pour Iç produit de i^ 

a — *» 

par-^, donctf &^ font égaux. 
a a 

3 ^. Par la même raifon ^ ° & i font égaux, 
puifqu'en Iqs multipliant Tun & l'autre par ^> 

o+i 
il vient a a=^i a ou a^=a. 

Comme ces trois feules propofitions fuffi- 
fifent pour toutes les réduâions , & les trans- 
formations de même efpece que les précédent 
tes , & pour une infinité d'autres opérations , 
les Commençons ne fçauroient trop s'exercer 
à en faire des applications. Pour leur en don- 
ne» le moyen , j'ai joint plufîeurs, exemples, 
dansi la troiiiéme Café de la TabJle ci-jointe*. < 
XX. 
Après avoir réfolu toute^ les difiiqultét. 



3: 



ai4 ELEMENS 
qu'on pouvoit rencontrer dans les Equations 
à deux termes y il eft naturel qu'on aie cher- 
ché auiC à réfoudre génëralement toutes celles 
qui n'ont que trois termes , mais on eft bien 
loin encore d'avoir trouvé une méthode géné- 
rale pour toutes les Equations de cette nature; 
QVk s'eft contenté de les réfoudre dans quel- 
ques cas particuliers. Par exemple on a trouvé 
une Clauë d'Equations aflez étendue qui pou- 
voit fe réduire facilement aux deux cas 
|ue nous avons déjà vus , celui des Equations 
iu fécond degré , & celui des Equations à 
deux termes d'un degré quelconque. 
Des Eqaa- Ces Equatioos font toutes celles qu'on peut 
î«m«qaTfè «mettre fous ce^te forme générale 

Uméth^*', -f-i^AT =^. Pour les réfoudre on ajoutera 

4u fécond ' aînfî que dans les Equations du fécond dé- 

** * gré ce qui manque au premier membre pour 

en faire un quarré « ce qui donnera x ^ax 
m^^aavsszh ^\aa don t la racine eft x"^ 
mh'^a^xsg^y é' +'^aa y ic par conféquent 
AT** sr='-^ ^ ^ -f- v^T^+^iJTJ qui n'eft qu'une 
Equation à deux termes , 5f qui donne ppur 

la valeur de at, V — }^ -HV" t-^^aa ', par 
laquelle on refondra toutes les Equations à 
trois termes dont le premier fera afïefté d'une 

ÎwifTançe d'^ double de celle qui dffk&e le 
ceond terme , & dont le troifiéme fera une 
quantité connue , on voit par la nature de 
cette expreflion , & par ce qu'on fçait déjà fur 
les racines des Equations > que toutes Ijçs Equa- 
tions renfermées dans h formule générale 



Pâg. 2t4i 




f 2hx*^2 1 hxj,^i Shx^^h 
Café 2. 



-b-' 



ca 






Cafc3 



4TV*-» 


• 


, i.' 




y^"> 




c 








- 


* 





— I 



tm 



ITALGEBtE. ^i^ 



X ^ax x=zt ne peuvent pai avoir plus 
de quatre racines réelles » & qu'elles n'en au^ 
ront que deux , lorfque m iera un nombrf 
impair. 

XXI. 
Pourfaîrc quelqu'application de cette méthode, ^^^^^ ^^ 
fuppofonsd'abord qu*onait TEquationjr^-iir^A^jï^ia métbode 
9=:bbçc , en ajoutant des deux côtés Ji* quar-P'^^^^"**^* 
ré de la moitié du coefficient de xx} on aura 
x^sssiiàxx^^h^sss'^h^^^èèfc , ^nt la 
racine quarrée eft xx-^^hh sss ^b J \/ |TéH-» 
d'où Ton tire xxss^^hb'^y/^hf^cc y Sq 

partant ^rsTs^rV 7^*^:,^ Vj^T^T? fut 
ceptible de deux valeurs réelles & de deux 
imaginaires. Les deux premières font . . . • * 

4r = H-v'î:^^-HWX^^H-^^> les deux au-^ 
très x^sss -^y/^bb^^hy/ \bk^€c , néceflàî» 
rement imaginaires à caufe que bVjbb^cc ^ 
eft plus grand que {bb. 

• XXII. 

Soit cnfuite l'Equation x^^-mmia*bx^;=ssa^ • Aaw< 
ajoutant des deux côtes a'^bb il vient x^ «'-«?i«» 
-:^2aa!;x^>^a^bb=a'^bb^a* dont la ra- 
cine quarrée eft x^'^ ^aab= za%\^aa,^^::jf ^^ 
Jc^^:=za ab^a Waa^bb qui donne €nfia 

^fa \/a4b±a^\/a»^h^ fuf^ptible de' 
deux valcuhréellesil'unepQiîtivei l'autre né- r 



*if . ELEMENS 

gative. Les quatre autres racines de la même 
Equation qu'oii trouveroit facilement en opé- 
rant comme dans l'article m, fei-oient ima- 
ginaires* 

XXIII. 



Tioifi^mc S^^t à prcfent x^-^aa^b^ y.xx^=i 
excnn^ic, "^aabb en ajoutant des deuA: côtés ^a^ 

•+• { aabb -+- ^ ^^ , on aura at'^— wJuH-^X xx 
'^\a^-^{aab^^^a^^={a^ — {aabb 
-H i A*, dont le fécond membre eft aufG-biea 
Ha quarré que le premier. Prenant enfuite la 
racine quarrée de part & d'autre, on a xx 
m^j-aa—^j;hbv=s^{aa'^{bb qui donne 
xxs=:aa & xxsssbby c'eft-àdire x=^a 
Scx^=s'^b qui font les quatre racines de VE^ 
quatîon x^'-^aa^hb x xx =s — aa^^h j on 
auroit trouvé également ces racines par lesi 
méthode de la troifiéme Partie en cherchant;' 
les divifeurs commenfurablea. 

XXIV. 

exemple."** Soît encore TEquation at ^ -p 2gh'+^ff x xx 
5= — £g^l^» on aura en ajoutant le quarré 
de la moitié du coefficient du fécond terme, 
& en prenant enfuit e la racine q uarrée , Jr*--— ^fe 
.— g y anr -4- 2 fVgh-^Jfqin donm . ^ . . , 

4ir^^v^^i&-|-.2/dzijfV^*H-jf* Or enrç- 
fléchiiiciiit un peu fur cette quantité on dé- 
CQi^vre bien-tôt que ce qui eft fousle fi gncr a-» 
diwil çft m quarto ^^ çdui dç /-+; Vf^^b f 



If ALGEBRE. m^ 

car on voit dans le terme i-fV gh ^f le 

double produit de / & de V^h'+^f , & d^n$ 
la quantité /A -4-2 jf on voit le auarré de/ 
& le quarré f-^gh de la partie radicale. 

Ainfi la valeur précédente de x fe réduit » 
en fuppofant qu'on eut choiiî lefîgne -)- poftr 

le premier radical, à /-4- Vf-^gh, & en fap- 
pofant qu'on eut pris leTecond figne — du 
même premier radical ^ à -~/-h Vf^gh; ce 
font là les quatre racines de TEquation x * 
^-^ighxx — 4fxx=2 — ^hk 

Dans cet exemple l'habitude du calcul pouvoir 
facilement fair e fonp çonner que la quantité ^i 

H"^#"+" 2/V^M-/ ayoit une racine quarrée ; 
mais il pourroit y avoir beaucoup de cas où 
les quantités trouvées de la même manière fe- 
roient auflî des quarrés fans qu'on s'en dou- 
tât , il efl donc à propos de chercher une mé- 
thode générale pour reconnoître ces forces d^ 
quantités, 6ç pour trouver leurs racines. 

XXV. 

Pour y parvenir , jç commence par remar- Mfthode 

3uer que la racine d'une quantité <^ompoÇée^^l^^P^^^ 
e deux parties , dont l'une efl commenfura-qaarréerdes 
bje,& dont l'autre efl un radical du fécond dé- ^^*^^^^^^^^ 
gré , doit être elle-même compofée de deux mcnfarabics, 
parties , & qu'au moins l'unç des deux doit^i"^,f *" 
êtrÇ un radical. 

Cela pofé, je prends -/îf-f-S pour exprî- 
noer en général la quantité propolée ^ j4 déiî^ 



ai8 ELEMENT 

gnant la paître ratîonelle , & B un radical quel* 
conque du fécond degré , je prends enfuite 
f^^ pour exprimer la racine cherchée. 

Je remarque maintenant que foit que p foît; 
la quantité radicale, foit que Ce foit y , ou que 
ce (oit tous les deux , le quarré p*-l-2pf-+-î^ 
lie pourra avoir que le terme 2f q de radical î 
comparant donc ce quarté avec la quantité 
donnée ; ap^ repréfentera B & p* -t-^N ^> 
c^eft-à- dire , en termes algébriques , qu on au- 
ra pour déterminer p & ^ les deux Equations 

On tire de la féconde pars — qui étant 

fuWlituéc dans la première donne 

^ +^* = ^ou q^'^Aq^=^ — —ou., 
ja— .i^=-f-|V^^ — BBy & partant 

q s!= ;;+; y/^A:^{^ A"- — B*. Subftituant 
enfuite cette valeur de q dans TEquation 

P*-+-^*=^ oup = ipv'-^ — î* on a 



pt=ll::\^7-^H-iV ^* — B» , donc la racine 
cherchée de la quantité -rf*+. 5 eft . . .^^^ 

ou fimpkment • . . #....- 

Car il eft évident que cette expreflîon re- 
vient abfolument au même que rexpreiCon 



ly A LGEBRE. ^19 

qu^on auroît en preaafic «a -r* le iîgxie de 

Quant aux fîgncs qpje doiveat avoir les deux 
parties 

de k racine cherchée de -^-+-5 9 ik doivent 
être les mêmes , fi le radical B eft pofîtif Se 
contraire, fi fi eft négatif, car il eft aifé de 
voir qu'en général f-+-^ ou •^Jf>— f éjtant la 
racine de ^^ B =p^ -4-^f -+*2pf , f— -<f ou 
— p-4«^ eft celle de -^— fi-=:/p-+-fî— 2p^, 

XXVL 

Par la valeur qu'on vient de trouver pour 
la racine de la quantité A^B 9 on pourroit 
craindre de tomber dans une difficulté pareille 
à celle qu'oa avoit d'abord à réfc^idre. Car 

viyr^iv^:?crj* & V \A^\y/A^^^^ 

femblent au premier coup d'oeil défigner de' 
racines de quantité eo parties rationelles , & 
en parties irrationefles , à: fi cela étoit la diffi- 
culté feroxt reftée au même point. Il faut 
donc pour oue la méthode foit de quelque 
utilité , que la quantité -/i*--JS* qui fe trouve 
fous le iîgne radical , foie un quarré commen« 
furable. Or c'eft ce qui ne fçauroît manquer 
d^amver toutes les fois que A'+'B fera dans 
Je cas d'avgii: une racine. Pour s'en af^^rer , il 



x2o E LE M EN S 

fuflît de fe reflbuvenir ( article xxv) (fief^ 
e ft Vj4 — B en même -tems que p«4-î eft 
V yi'+'Bi car on en tirera tout de fuite que 

y/ j4 — BxVA-^B ou VjÎ^ — BB eft 

•p—^ xp+ 9 ou pp —* ^ ^ 9 c'eft-à -dire une 
quantité commenlurabie», 

XXVII. 

AppUcatîon p^^ montrer préfentement TappUcation de 
dcp*é^édcn" la méthode précédent e > foit pris pour exemple; 
pic, la quantité aa'-\^2cy aa^-^-^c en ia comparant 

avec A'^B, on a a^is^Aôc B=zic\/ aa^—cc^ 
& par conféquent V-^* — B^ssnaa — 2r^d'oà 
Ton tireVr^ -+- \ V^^ — B* =;V j:^ — <rc, 
& de même {\/ A — {y/'ji' .^ B* =r ; c'eft- 

à-dire que la racine cherchée eft c^^aa — ce. 
ou --^c^^^y/aa^^-^cc. 

XXVIIH 

Aodre Si on avoxt à prendre la racine quarrée dé 

«empie. 15^5^7 , en faifknt ^=i5 & B«6V7 

on auroit \^-Arf— BBc=!2, & partant 

VM-+-rV^^— m feroit 3 & , 

yl\A^\'^ AA-^BB feroitVy.d'où 

3-f-\^7 ou ... 5 V 7 feroiî la racine chéri 

chéc. 



WÂ LG E B R E; t%t 
XXIX. 

$02t maintenant la quantité ...••.•••••»» 

af-^za^af^^-^aa. Faifant A=iaj Se 
•ffsss-^— 2iarv'^f-^^— ^^ on a y/ AA-'^BB 
tx=za p — xa a & V^A'+ ^jV^ÀA — £B 

vszz.Vap'-^aa , & de même Vt ^ — W^^ — ^* 
casa, c'eô-à-dire que la radne cherchée fera 

XXX. 

Si la quantité propofée eft ii » — . ^^ 4-^ 4* Troifiéme 

"- ^ , - , -^ , •• exemple» 

i4-i2 y/ ah— .20^1' -h^ ^^^;.ori aura >^= :^' 

as =r^^ — 3^^^-^j:^^^ ce. qui donnera 

&V^r^— iV133B« — V^^ d*oùla racine 

cherchée eft v^^^HhV'^^ — 2^^-hi^^ ou 

— i/tf^^^—V ^^^ — 2if^-i-:J:/ï^, Cet ejcemple 
-eft plus propre que les précéacns à faire voir la 
néceffité de fçavoir prendre la racine des quan- 
tités en parties rationelles Se en parties irra- 
tionelles. Car" dans les cas précédens la raci- 
ne dierchéeiie contenant quun radical pou- 
voit être tirée .d*une Equ^tÎQn du feqond degré 



qui auroît été contenue dans TEquatioft pouf 
la réfolurion de laquefc on avoit cherché à 
prendre cette racine. Au lieu que dans et der* 
nier la valeur de la racine cherchée contenant 
deux radicaux , il étoit xmpolîrble qu'elle vint 
d'aucune Equation du fécond degré; En efiet* 
lorfque nous avons eu à j^reftdre ( art> Xxvii ) 
la racine àt aa^2c^at€, — rr, c'étoit la 
inême chofe que fi on avoit dû rétbudre l'E- 
quation AT^— 2«f*Mr4e— 4i«tfr^H*^4^**+-5^ de 
laquelle on pouvait tirer par la m ''" Partie art» 
XXXV I . les Equations xx — icx^2cc — an 

cs=o & AT v-|^irAH-<* aat=so , au lieu que 

la racine quarrée de.... h* — alf+^^ad 
»+'Va^^*-^ZFi'^-^-zà^k devoit fervirà la ré- 
folution de x^ ^2xah^^bb^^^aaxx^ 

3ui n'ieft point décompofable en deux Equations 
u fécond degré. 

XXXL 

Apres avoir appris à dîflînguer parmi les 
quantités qui font en partit rationelles^ Sç, en 
partieirratîonelles, celles qui font des quarrés » 
on a dû chercher à dîftînguer auffi celles qui 
font des cubes ou d'autres puiflances plus éle- 
vées , puifque cela étoit néceflaire pour avoir 
completenaent tout ce qui regarde les Hqviations 

comprifes fous la forme x -+- ^at ?=s= ^ ou 

AfsssV'— Y^-W"M-i^^. Voyons d'abord 
€e que ïon pouvoit faire pour lecas où wfsssj. 



. ^lyjt LGËÈÉÈ. iî» 

treflrâ-djre pour trouver la racine cube d'un^ 
quantité quelconque ^-+* 2? , dans laquelle 
^ eft rationel , & B un radical dti fécond 
àégri. 

Nous remarquerons d'abord que la racine „x,w. 
cube d'une quantité de cette nature, ne peut po" n™«r« 
pas renfermer plus d'un radical du fécond dé- î* ^''*"'™' 
^é ; car on voit bien tfue le cube d'une quan- th/s'én^'î: 
tité qui conticndroit deux de ces radicaux , r *'l,'™^^ 
telle que Vin-i^V» donneroit au moins deuxen"paiSe'it 

radicaux. • . eommeiifti» 

^ Nous remarquerons enfuite que la même ra- "'''**' 
ane cube cherchée ne pourra pas contenir d'au- 
tre cfpece de radicaux, à moins quecenefoit 
, un radical cube , Ôt qu'il ne foit commun aux 
deux parties de la racine . telle que feroit la 
<iuantité fym-+-Vj x Vm dont le cube mft 

"H *»f£-h-imffH-migV£ , ainfî que la quan- 
tité prop9^e^-t-5, a une partie commenfura- 
We, & une partie radicale du fécond degré* 

Cela pofé , foit priiî ;?-Hf pour exprimer la 
racirie cherchée , 9 jetant la partie affedée du 
radical du fécond degré , foit qu'il foit d'ail- 
leurs ainfi quep affcôé d'un radical cube, foit 
un ils ne le fbient ni iNm ni l'autre. 

U^cft évideijtque le cube p?-fi5;>'^-(-3^^» 
-H ne co.ntiendra pas d'autre radical que le 
radical du fécond degré qui eft dans ^, & 
qui', n y aura que les termes sppa & a* qui 
foient afifeftés de ce radical. 6n comparera " 
donc ces deux termes à la quantité donnée B , 
« les deux autres à Ai ce qui donnera les 



»û4 ELÇMENS 

Equations ^tsip'-f-^p^ » & Bssjp * t+f** 
Pour réfoudre cts deux Équations > il faut 
d'abord commencer par chafler lu ne des deuk 
inconnues p ou gf ,,ce qui le peut faire aiCé- 
ment par les principes établis dans la féconde 
Partie 9 art. xxxni. Mais on peut abréger le 
calcul par le fecours d'une remarque qui a du 
fe préfenter facilement à des Algébrifies uA 

Î)eu. exercés , ceft que -4^ — o^^fera toujours 
e cube depp -— ^j., lorfque A^^B fera le 
cube de f-+-f. Car p-+-^ étant la racine. cube 
dep'-4-3p^*H-^p*^-H^S dont la première 
partie p--+r3pf * eft ^4 , & la féconde 3p^-+-^' 
eft B , p— -f eft néceffairement la racine cube 
de^- — B qui eft.alor?p*-f-3p^*— 5p f — f^; 

& par conféquent pp— -ff qu p— -y x p-+-î 

eft VA'+^BxVa -— £? , c'eft-à-dire VaA—bè 

Cela pofé , on a donc TEquatîon V^ '" — ^ * 
«=p*^-9^ ou »±=:p- ..-^^^ , dans laquelle n 
eft donnée , & ne peut être qu'une quantité 
comroenfurable ou un fiinple radical cube. 

De l'Equation «îs=ip*-^gf^ ou q'^=p^ »r 

& de l'Equation ^Œp'lj-Sjp^* , on tire tout 
de fuite ^p? — }p»-i-z=o,Equâtion qu'il faut 
réfoudre pour avoir là première partie p de la 
racine cube cherchée, Auffi-t6t qu elle fera ré- 
/olue, on aura la féconde partie de cette même 
racine cube cherchée en employant l'Equation 
î= Vf- — n. ' . . ^ \ 

Quant au fîgne radical il fera pofîtif , û le 
radical de la propplée a le figne^^-, & de 

mêrac 



Ttittùt négatif fi le radical ée la pro^fëe a Id 
figne — . Car on voit ailément que la partie 
][ûdicale du cttbe dep -f- ^ ^ laquelle eft • • • • 

5pp<4-?f Xf fera toujours du itaéihe figné 
que ^. 

Si la racine de la quantité proposée dJi^É 
ne doit point avoir de radical cube qui afieâtf 

tous fes termes , w ou V" -4* — J8 » fera une 
quotité commenfurable > & par confëquent 
1 Equation ^p^ -^-^p»—- a ne contiendra pas 
de radicaux , & comme p fera alors commen^^ 
furable , on ne pourra pas manquer de le trou- 
ver en cherchant tous les divifeurs de cette 
Equation par^a méthode donnée dans la iii''"'^ 
Partie art. xxxi|« . ' ^ ^ . . 

Si la racine cherchée doit avoir Ces deuit 
parties afifeâéts d'un radical cube « ce qu'on' 
aura reconnu en ne trouvant point un cube 
parfait pour i4»-^B», on verra quelle eft la 
quantité par laquelle il feudroit multiplier la 
quantité propofée pour en fermer unenou-*- 
velle dont les deux parties étant prifes pour' 
A Se pour B donneroient pour aa — bb un 
cube parfait. Trouvant alors la racine cube de 
cette nouvelle quantité fubftituée à la propo- 
fée i il ne faudroit plus que la divifer par la 
racine cube du multiplicateur dont on fe fe^ 
roit fervi , 6c l'on aurolt . la racine cherchée^Z 
t Quant à la détermination de ce multiplica» 
teur y elle fera facile en remarquant que la 

auêfUon eft la même que ê on (k propoCôic 
e trouver la quantité quarrée^ par laquelle 



%té EL E M E N S 

il feudroit niultipU^r k quamité iqu'on a trcm- 
yé d'abord po*K ^^ ~ Bjg-afin d'en faire ua 
cube parfait j car il efl clair que la racine 
quarrée de ce multiplicateur de AA- — BB fe- 
rôit le multiplicateur qu'on devroit donner 
^ux quamités propofées ^ & ^. 

XXXII. 

defaSo"' Pour montrer rapplicâtion de cette méthode, 
dcçrécéden- fuppofons qu'on cherche la racine cube de la 

te à un c- . — .— ^ -^ 

xcmpic, quantité 7 a} -*— 3 ^^^i^H- J aa-^ah sjx aa'^^^b. 
, Par la comparaifqn de cette quantité avec 
A^B j'ai ja^, — 3 a' l?:g=MA} 

jiaa-^ab y/ lao'^^^d^^si^B , &î partant ^ 
.-^5*= — a^^^aH — 3^ /''-4-/a!*èS&» ou 

\/A^^ — J3»r=5 — aa^ak Subflituant cette va- 
leur de n 9 ainii que celle de A dans l'Ëqua*- 
tipn4pî — 3p»-~^ = o, j!ai 4jp'^-}p^/ï 
^^^ab^^j4i'> ^ :^a*b dont il eft queftion de 
trouver un divifçur d'une dimenfîon. On trou^ 
vera facilement par la méthode enfeignée dans 
la Iir™« Partie, article xxxl i. que ce divi- 
feur eft p — a , c'eft-à-dire que la valeur de fr 
efl a. Subflituant cette valeur de p dans TE* 

quatîon ^s=\/pp — ^;ï, il vient q;=^ 2aa^-'^ab. 
Dtonc la racine cherchée eft ^-+*y ii«4-p— tf^. 
. :; XXXIIL 

Autre exem* vSoit préfentcment propôfé de prendre la- 



îf JLGEÈHE. àij 

-ïàeîfte Cube de a,aac — abc^^bhc^aa — 6 

Vaacc ttfcc» je Commence par fa ire laae 

^ ^aic — bbç=tA Se 5== — la — i 

Vaacc ffcc ^ Ce qui me dotine ^4**— B* 

t:^2h^cc*'^2ai^cc qui rCeû point un cube» 
Pour fçavoir ce qui peut le rendre cube , je 
le décompole en fes produifan» , & il devient 
Sixccxt> — axh* ; d*où je découvre aife'ment 
qu'en le multipliant par 4Xà --a q^î cft une 

ce 

quantité quarrée , j'aurai un cube parfait , ce* 

lui de a X A -^jîx a ou de 2i>b — xabs Se 
par conféquent que fi on multiplie la quantité 
propofée par ^^ Zif racine du quarré » • • • • 

■^.?M i on aura une nouvelle quantité .... 

zaa — ab^-^bb xîFZHa a^ — b X at— a^t 

V^^^-— ^^, dont la première partie repréfen- 
^ tant ^ 9 & la féconde b donnera pour •••••• 



y/ AA — BB y c'eft-à'dîre pour n , abb 2ak 

Je fùppofe donc que Ton m'eut en effet don- 
né ces quantités pour A & pour B > & que j'en 
eufle tiré cette valeur de ». Dans ce cas PE* 
q uatioo 4f ^ — 3P^*^ ^ donneroit4£»- — 3p 
X2bb — tJF^ bb-^aflll2aax2b—2â «=0^ 
à laquelle on trouveroit par la méthode don- 
née dans la nr"*^ Partie , article ^xxii. le 

divîfeur p^a ^, c'cità-dire que la valeur 

de p feroit alors b,—^ai la fubftituant dans 



J 



ai8 E L E MENS 



^j_^pp — ;ion auroit f=V aa — bb , donc 

^ a ^aa — bb feroit la racine cube de la 

nouvelle quantité , ou ce qui revient au mê- 
me du produit de la quatitité propoféc par 

■ eu la racmc 

%^ib — ta 
cube cherchée de la quantité propofée. 

Dans cet exemple & dans tous ceux O" ** 
racine cherchée fe trouvera affeftée de radi- 
caux cubes, il eft clair qu'on ne fçauroit, pour 
fe difpenfer d'employer la méthode précéden- 
te f avoir recours à la méthode de la^m''"'* 
Partie ^ article xxxvi. c'eft-à-dire qu on ne 
pourra trouver aucun divifeur dans TEqua- 
tion dont la foïution auroit conduit à don- 
ner pour valeur d'^r la racine cube cherchée. 
En effet il eft aifé de voir que TEquation . • 
x^ — — 2xi xiaac^^ a te — bbc^2b^ce 
-^ 2a b^ ce qui auroit donné • « . • x 

s= V 2aac -^abc^bc — i. a — i& \/ aocc^-^bbcc 
nWroit point été décompofable. 

Mais dans tous les cas où la racinexherchéc 
doit être fimplement compofée d'un terme ra- 
tionel & d'un irrationel du fécond degré , on 
parviendroit toujours à trouver cette racine en 
décompofant l'Equation dont la foïution au- 
roit conduit à chercher la racine cube de la quan- 
tité pf opofée. Dans Tarticle xxxii. par exem- 
ple , où il étoit queftion de réduire Texpref- 



If ALGEBRE. ii? 



on auroit pu trouver dans rEquation 

^a} b^ asso d'où feroit venue cette valeur de 
4: 9 une Equation du fécond degré xx'^2ax 
-+-aB — aa — o qui auroit donné la même và« 
leur de x. 

XXXIV. 

Si les tonnes de la quantité dont on vou» 
dra prendre la racine cube ont des divifeurs , 
on commencera par les mettre tous au même 
dénominateur » & on divifera enfuite la racine 
cube du numérateur par celle du dénomina** 
teur. 

XXXV. 

Lorfque la quantité propofée en partie eom* i^éthode 
menfurable & en partie înoommenfurable fera [çj^'rad^f" 
feulement numérique , on' pourra trouver fa cubes des 
racine cube plus aifément que par la méthode ^lil^^^j^ 

précédente. ^ partie com- 

Car, fuppolant d'abord que la racine cher- ~^°^"*^^* 
chée ne doive point avoir de radical cube , 
mais qu'elle foit compofêe d'un nombre, en- 
tier & d'une partie radicale iîmple & entie;;e 

auffi, on tire de ce que p— ^ eft V Jt'^^B 

larfque p-+-^ eft y/A-^B ou ce qui revient 

au même de ce gu^j ^ ^^^^ + ^^^ 

Piij 



«30 E L E ME N S 

une manière fîmple d'avoir la partie commca. 
furable de la racine cherchée , il ne faut pour 
cela que calculer en Aombres entiers lès plus 

proches les quantités y/ A — b Se s/a-^-b. Se 
prendre enfuite la moitié de ces deux nombres 
pour avoir la valeur exafte de p. Car en pre- 
nant pour y/ À—^B Se pour V Z-Jh B les nona- 
bres entiers qui en approchent le plus. Ter- 
reur qu'on peut coinmettte fur chacune de ces 
Îiuantités ne fçauroit être de i j & par con- 
çquent il ne peut pa$ arriver que le nombre 

mtier qui en réfuhe pour Va-^ê ^va+b ^ 

x^eft-à-direpour f^ diffère d'une unité delà 
vraye valeur dep» & comme cette vraye va-^ 
leur de p doit être im nombre entier , elle fera 
donc exaftement déterminée par ce moyen. 
Ayant aînfi la valeur de p , & fçacbant déjà 

celle de n ou de\^^^ — bb^ onfubftîtuera:, 
comme dans là méthode précédente les valeurs 

de p & de » dans ^ 2= \/pp-^^» , & Ton aura 
la féconde partie de la racine cube cherchée. 
Si la racine cherchée doit avoir fes deux 
termes afièâés d'un même radical cube , ce 
qu'<Jn aura reconnu en remarquant que A^ — B* 
.Vétpit pas un cube parfait j ilfeudra en fui^ 
vaut la même méthode que celle qu'on aem- 

Ï)loyée dans les quantités Uttér^les^ chercher 
e nombre par lequel on devroît multiplier 
Am\^ aèn que -i^-^-fi^ fut un cube parfaif; 



D'jiLGEBRE ijt 

& i^anttroovéla radne de la nouvelle quaiw 
tité que devient A-^B par cette multipUca-* 
tton > on n^aura qu à la divUer par la racine 
cube du nombre dont on s'efi Xèrvi pour mui- 
tîplier A+^tàc le quotient fera la racine cher« 
chée. 

XXXVL 

Suppofons , pour montrer l'a|)pUcation dé Application 
cette méthode , quJon jcheccbe.laa-aoifie'Cub©^<^^^|j^; 
de y-hyv'a. Ayant fait ^^=7, b=jVi , jetcrun ^* 

s. ., I II I — 'exemple. 

trouve que n ou Va'' — B^sad— i. Je re- 
marque enfuite que la valeur d0 V A'+'JB (^ 

de v^y-l-yVa cft plus proche 4e a que die» 
3 9 ainfî je prends 2. pour l'expfifn^r; remar* 

quant de mèfhe que celle de y A^IZIg ou de 

j li j IIP 

Y 7 — 5V'2 eft entre o & i „ mm .'Plw5 pro» 
che de o> je prends o pour cette quantité » & 

f ai par ce moyen p ou ^"^-^^fj^^^^i 

Je fubftitue alprç cette valeur de p àe^ni 

^s=s v'pp— », & j'ai qsss^i, d'où je con- 
clus que fi la quantité propoféê 7-t-jVa a " .* 
une racine cube ,.clle eft i-HHVa , en efiet cu- 
bant i-t-V 2 il vient 7-+- j Vx. . , 

-XXXVII. 

Suppofons préfentement qu'on eut à prén- Autre 
dre la racine icufee tic î*f-3 V3 î' on trouve- ««npic. 



a^t E LEM ENS 

roit alors aa^^bb^^^"^^^ or pl rfëtine 
point cube il faut; chercher le nombre par le-* 
quel il auroit fallu muitiplicr 5-4-3^3 pour 
que yf^—r-SF eut été cube , ou ce qui revient 
au même il faut chercher le nombne le plus fîm-^ 
pie par le quarré duquel aa — BB , c'éft-à-di-< 
re 1, étant multiplié on aura un cube. Or on 
voit tout de fuite que i eft lui-même ce nom- 
bre. Suppofons donc que Ton fe fut propofé 
de trouver la racine cube de io'-+-(îv 3. On 

auroit eu alors »»=-.— 2 & -i 



ou Vi^éVi^'Vif.^Ws ^^^^jt ^jé , en 

nombre entier te plus proche. Je fubfti tue don c 
ces valeurs de p & de /? dans q=r=i'^ jV'-^n , 
& j'^i ^=V'> J'examine maintenant fi p-+nf 
ou IH--V5 éft la racine cube de iO-«h6V3 » 
^ je trouve qu'elle Teft en efiet. D'où je con- 

dus que -^^ fiH la raciae cube cherchéç 

de 74-3/3- 

XXX VI ri, 

$!mpUption , Oli Amplifiera le calcul d'approximation par 
SptfeW«'^«*ï ^^ dtitermin e f , e n remarquant qu'au 

lieu de i:5±l.±.^±=£ , on peut ^ire . , ; 



te. 



v^+a + 



-. .i"^ à caufe que » ou yAA —-M 



^M 

:i^ A^-^BXVA'+'B. Of cette cxprcflîon 
cft en efiet plus fimplc que vW 4^^^^. 

parce qu'il cft plus aifé de divîfer par y A -^-ô 
le noim>re»,qui eftfuppofé déjà trouvé, que 

de calculer féparemem va^b* 

XXXIX. 

Pour montrer Tufage de cette nouvelle for- Appikatîoa 
roule; appliquons- là à l'exemple de rarticle.*^«^*";?**y«^* 
XXXVI. ou ^ étoits=7, & Jîs=yv 2 ; après 
avoir trpuvé de même que dans cet article que 

n .jj^ ■ 1 &qne V^+B en nombres entiers 
les plus proches étoit 2 > au lieu de chercher 
comme dans le même anicle la racine cube 
approchée de 7-^jv'2, je divife n ou —I 

par la valeur 2 de V^+b ce qui me donne 
«— 7 que je fubâitue dan^ la formule pcécédemo 



VA+B+^^ 



2j!±L, &.jVii±i ou 1 (prc 



nant le nombre entier le plus proche) pour la 
Valeur de p, ainfi qu^on 1 avoit trouvé dans cet 

article pat la formule iî^L±J—, le refte 

f'acheveroit de même« 



aj4 XLEXtJfS 

XL. 

cette Boo. n éft à remarquer «Raclant ^ue cette nou- 
^l^âr-velle formule pourrait induire en erreur fi >< 
tçnt être fia- j( B n'étoieot pa* de niême figne> car dans 
«T*où7&«le» cas cil ces quantités feroie nt des fignes 

(ont de fi* « . ' ■■ 

gaesdi£S6 différcns , la vraye valeur 4e v.^^ « pour: 

roit être fi petite auprès de n , que le nombre 

ler le plus proche qulon prend à la place de 

î— — » 



teos. 



enuerJ 



— ■ » 



cette valeur donneroit pour 

• z 
unJicmAreqm dHfiffokéu vrai d'une ou de 
plulieurs .unités- Qu'on, eut , par txmçk^.k 
prendre la racine cube de^J-^-— tf>î/2 en fai- 
fant ^3«=4$ & S=55s— z^Va. on auroit i 
Bûur le nombre. entier le plus proche de .• • 

\^A^B on !/4y — r25^v'2 & comme. .. • 

^AA -'^ >B lerpit alors 7 > f <>u ,.*.•.; 



l'A+B 



'i/A+B \ ; 

■-' - - feroit en ce cas trouvé 



égal à 4, quoi qu'il ^e fôt réellement que j , 
ainfi qu'un peut voir |>ar f expreflSon ..... ^ 

^,j-H> ^VA^B de la méthode précédente: ' 

Ce qu'il feut j^^jg pourvù que cette nouvelle méthode 

feûceu ce ^,^^^.^ ^ ^ ^^.^ ^,^ ^ç ç^ ^^^^^5 1^5 fois 



que aScb font de même figne , il importe peu 

Qu'elle s'applique aux cas où ces quantités font 
e fîgnes difierens. Car où voit bien 4]ue dans 
ces cas ou u^a qu'à commencer par fuppofer 
A ScB tous deux pofîtifs , &, en prendre la i-a- 
cine p-hf. Enfuite faire p du même (igné que 
^ 9 & ^ du même figne que b. 

Il ne ^agit donc plus que de s'aiTurer fi tou- 
tes les fois que a8cb font de même figne ^ ou 
ce qui revient au même fi ^ & £ étant tous deux 
pomi&^ on peut> (kns craindre d'erreur^ fubfU- 




tuer dans m^^^-^.*.*— .. à la place de 



^A'+'B le nombre entier le plus proche. Pour 
nous en convaincre , commençons par fuppo^ 
fer ^ ce qui ne peut jamais aller fi loin» qu'on fç 



1; 



tromp&t de { en prenant pour v ^-+-5 le nom- 
bre entier le plus proche. Dans ce cas la quan- 
tité qu'on trouveroit au lieu de jp feroit . • 




Pour £ûce 

voir que cette expreflîon ne fçauroit donner 
un nombre qui diflère d'une unité de la vraye 
valeur de p, mettons dans cette quantitép-f-f 

^ulîeude \/.^^^,&|y^^aulieudc ir,élle 
deviendrap4^-tl-f. ILiZll de laquelle 



x^S SIEMENS 

retranchant p on tire en réduifant — ZT ^j-t^ 

pour l'erreur que peut apporter,dans la détermi- 
nation dep, le choix qu'on a Élit du nombre en- 
tier au lieu de y/A^B. Or il eft clair que 
cette quantité ne fçauroit jamais égaler ~ , 

car dans la première expreflîon 

qu'elle renferme , le numérateur ^-4-^ étant 
plus petit que la moitié de 2^-+- 1 , eft a pîus 
forte raifon plus petit que la moitié de ip-l-i^ 

H-i: & dans la féconde expreflîon 



ap-hig^ — ^ 
qu elle renferme encore , le numérateur — j[ 
-f-^ étant plus petit que la moitié de 2f eft 
par conféquent plus petit auili que la moitié de 
*^-t-2p — I. 

Ainff on ne fçauroit fe tromper d'une unité 
en déterminant p par la méthode précédente^ 
& par conféquent toutes les fois qu'une quan- 
tité comme y4 -+- B , dans laquelle il n'entrera , 
foit fous le figne radical , foit devant ce fîgne^ 
aucun nombre fraâionnaire devra avoir une 
racine cube p-+-f , dans laquelle il n'y ait au/K 
aucun nombre fraftionnaire , on trouvera cet- 
te racine par la méthode précédente. 
X L I. 
Cas où la Maïs fi la quantité -4-+-B , quoique ne con- 
mcthode tenant que des nombres entier^ , foit debcSrs » 
PJrrotrin' f^ît deilbus le figne radical , devoit avoir.une 
duiredans jacine cubc quî Contint des nombres fraâio- 
rcricur. ^aire'j, telle que la quantité aH-v^j dont la 



•tir. 



ly A LG È B RE. 357 

rapine cube eft {'^{^ S '* méthode précé- 
dente auïE-bien que celle de Tart. xxxv. ne 
donneroit rien alors , & jetteroit dans l'erreur 
en faifanc croire qu'il n'y auroit point déracine 
cube à éfpérer. 

Pour remédier à cet inconvénient , il faut , Moyen de 
commencer par chercher direâement quelles Îj^" ^"^* 
font toutes les efpeces de racines fraâionaires 
dovit les cubes pourroient être des nombres 
entiers. 

Four les trouver foient repréfentées toutes 

ces racines par — ^ — , p & ?» étant fup- 

Wf II 

pofés des nombres entiers qui n'ont aucun com- 
mun divifeur > q la racine d umnombreen entier 
qui ne permet aucune réduâion avec le nombre 
n. En élevant cette quantité au cube on aura 

— -+• -- — pour la partie rationelle : & 
fit» mnn ^ * 



'^^- -H— X a pour la partie incommenfurable. 
nmm * w* *'" * *^ 

De plus par les conditions du Problême que 

nous cherchons à «éfoudre , tant la première 

quantité —, H- — - , que le coefficient 
* m* mnn * 

J£L .4« ^ de la (econde doivent être des 
nombres entiers. 

Soit d'abord égalé ^ H- ^ khqat je 
fuppofe exprimer un iiombre entier. On aura 



yj» t L Ë MË KS 

donc fgfflssA^J— .JIS12 • maïs cette qualitît^ 
doit être un nombre entier par l'hypothefe ^ 

donc ?^— doit être im nombre entier* donc 
mm 

-^ doitTêtre, & partant n doit être un mul- 

tiple de m. 

Cela pofé, foit fait «aet:»/, on aura qq 
i=hmih*-^^fplli mettant ces valeurs de ;i & de 

ûq dans -^ -+- ^^ , cette Quantité devien* 

* * m* mnn 

dra après les réduâions — -i^ -+- jp^/ qui 

doit être un nombre entier. OrpÔcm n'ayant 
aucun commun divifeur^ cette quantit<$ ne fçau- 
roit être un nombre entier que m ne foit ou 
I ou 2. Voilà donc 772 fixé » quant ^ n on k ml 
on voit tien- tôt qu'il doir être égal à m , par- 
ce que TEquation qqzzshm^U^'^^iffll donne 

^ npzy/hm^ l-^iPP 6c partant -^^ ou — 

s= JL y/hmH — y^pp qui apprend que la fé- 
conde partie de la racin^e ne peut pas avoir 
d'autre dénominateur que la première , & que 
ce cîénominateur par conféquent ne peut ja- 
m^sêtre non plus que 2 ou i. 
/ Ainfi lorfqu*on n'aura pasréuflî à trouver , 
par la méthode précédente ,* la racine d'une 
quantité ^ -f-â , dont la partie rationeUe*ou 
commenfurable-^ , & l'irrationelie ^ feront des 
nombres entiers j on n'aura qu'à multiplier cette 



ly A LGE B RE. aj^ 

qtmtîté par 8 , & chercher par la même mé- 
thode la racine cube de la nouvelle qtiancité 
qu'on aura par cette multiplication » & fi on ne 
réuffit pas , on fera fur que la quamité propo-« 
fée n'étoh pas un cube , & on réuflit la moitié 
de la racine cube qu on aura alors ^ feca celle 
qu'on cherchoic. 

XLII. 

Lorfque le nombre il & le radical B feront 
fraâionnaires> il eft clair qu'il faudra ainfî (fie 
dans Tarûcle xxxi v. mettre il & b au même 
dénominateur , puis divifer la racine cube du 
numérateur par celle du dénominateur. 

XLIII. 

Si on propofoit de prendre la racine cube Ce qif il £mc 
d'une quantité compofée de deux radicaux du rtchi?"!!Sbe* 
fécond degré, foit que cette quantité fut im- doit être u 
mérique ou Qu'elle tut littérale , il n'y auroit SjSc°î:t^ 
qu'à la multiplier par le cube de l'un des radi^ eaux, 
eaux que contiendroit cette quantité. Le pro- 
duit étant alors dansje cas des quantités qu'on 
vient de traiter » on en prendroit la racine cube 
de la même manière , & on là diviferoit par 
le radical dont le cube auroit fervi de multipli-^ 
cateur i la propofée. 

XLIV. ' 

Lorfqu'on voudra prendre la racine quatrié- Comment 

j> • • . * 9 on prend la 

me a une quantité comnae a -+- b , onn aura racine qua- 
d'abord qu'à en chercher la racij:xe quarrée • car ^'^^^ /e« 

* * * quantités de 



à^ù È LE M ËNS 

S*"uc^^' fi on n*cn trouve pas , à plus forte mtotk o*cii 
pxé^xiu». trouvera-t'on pas de racine quatrième ou quar- 
rée quarrée. Si on en trouve une ^ il ne fera 
plus quefiion que de trouver la racine quarrée 
de la quantité que la première extradion aura 
donnée. 

XLV- 

fJrc^toutcr II en fera dé même toutes les fois qu'on aura 
Ici fois que une racine à prendre dont l'expofant fera pair, 
«leTrracine ^1 faudra Commencer par la racine quarrée ^ & 
«ftp^- le Problème fera réduit à prendre une racine 
d'un expofant fous-double du premier* 

XLVI. 

cS^'dS "* Sî on vouloît la racine cinquième d'une 

qntànes. quantité a^^ telle que les précédentes ^ il 

fâudroit fuivre une méthode femblable à celle 

3u'on a fuivie pour la racine cube. Au lieu des 
eux théorèmes, par lefquels on apprenoit <|ue 



VA^B 4- VA-^B 



f sas , y OC que v^»««£» 

r=P*'— î* 9 on auroit ceux-ci •. . * . ♦ ^^ 
VM^B + Va—b j. '-i — 7 . 

J oc y A^'^B^ t^:Sp m^mm^i^ 

dont on feroît le «même ufageque des précé* 
dens« 

XLVII. 

Il en feroît de même pour les racines plm 
élevées. Qut m foit Texpofant de la racine 

qu'on 



13^ A LGE B K £. î^i 

qu^on fe propofe de prendre de ^-H^; on 

aura ces deux théorèmes j> ==^ va^u^VA^b 



te i/^»-^B* Ê=p* — ^* , qu'on employcra 
encore de la même manière que dans les ra^ 
dnes cubes* 

Pour démontrer ces théorèmes en général . 

-îl ne fera queftion que de faire voir que fi 

^-4-Befl la^puiffance m depH-^ , A^^^B 

fera celle de p — - ^ , car il fuîvra de - là 

fiécelTairement que V^-+-fi x Va-'^b fera 

PH"S' ^ P"~î ^^ FF — î^ * & q^^ 

VA^ ^VA^B t+i+P—1 

- fera - ou p. 

Quant à la démonftration de ce que A — b s 
cfl la puifîknce m de p— *-î » lorfque ^-+-B eft 
celle de p-4-^ > elle leroit aifée à trouver fî 
on vouloit y arriver par Finduâion. Car en 
donnant fucceilivement différentes valeurs par^ 
ticulferes à m» &*reconnoi(rant la vérité de ce 
théorème dans chaque cas particulier , on en 
concluroit la vérité en général. Mais on fent 
bien qu'on ne fçauroit fe contenter d'une pa- 
reille manière de démontrer^ qu'au cas que l'on 
ne pût pas trouver une expreflion générale pour 
la^puiflance m dep-+^ , & pour celle dep-— ^ , 
il faut donc chercher cette expreffion générale, 
qui d'ailleurs doit exciter la curiofité de tous les 
Analyftes^ 



2^2 E L E M EN S 

XLVIIL 

De'iama- Pour parvenir à trouver la valeur générale 

nieie d*éle- jjj 

rcx an bino- jg ^^j^ ^^ j^ ^^ Hiultiplié par lui-même 
puiiTance autant de fois moins une que l'unité eft con« 
^aclcpnqoc. ^^^^q j^ns m , Commençons par chercher dans 
ce que nous avons vu précédemment ce qui 
peut avoir du rapport avec cette opératîon.Re- 
prenons dans cette vue ce que nous avons dit 
dans la iii''"'^ Partie article IL où nous avons 
formé une Equation par le produit de fes ra- 
cines A--4-/Ï, x^b^ ATH-r, &c. & où nous avons 
trouvé la loi fuivant laquelle dévoient être 
compofés tous les termes de ce produit y il eft 
aifé de voir que tout ce que nous avons dit 
alprs pourra s'appliquer au cas préfent » en fup- 
pofant que toutes les racines font égales. Or ce 
oue nous avons dit iii'''"^ Partie article IIL 
lur l'Equation dont les racines font x -f-^» 
x^h y x-{^ , &c. cpnfiftoit en ceci. 

1 ^. Que le premier terme de cette Equation 
étoit compofé de x élevé à une puiilànce égale 
au nombre des racines. 

2^. Que le fécond terme étoitcompofé'de x 
élevé à une puifTance moindre d'une unité ^ Se 
ayant pour coefficient la fomme des racines. 

3*,Que letroîfiéme terme étoit compofé de 
X élevé à une puiflànce moindre de deux uni« 
tés , & ayant pour coefficient la fomme de tous 
les produits des racines ptifes deux à deux. 

4^. Que le quatrième terme étoit compofé 
de x élevé à une puiflànce moindre de trois uni- 
tés y Se ayant pour coefficient la foipme de tous 
les produits des racines prifes trois à trois^ Se 



I^ALGEBRE. afj 

ainfî des autres termes. 

Si on applique donc ces jreraarques dans le 
cas préfent où toutes les racines font égales > 
& où leur nombre eft exprimé généralement 
par wr, on verra 

m 

Que le premier terme fera x j 

Que le £ècond fera a: multiplié par m a^ 
puifque toutes les racines font égales ka^ôc que 
leur nombre eft w ; 

Que le troifiéme terme fera x avec un 
coefficient égal k a^ , pris autant de fois qu il 
y aura de reâangles ab^ac ^bc^ &c. dans le 
coefficient du troifiéme terme de l'Equation 
donnée par le produit des racines x ^a^ 
X ^b ^ &c. dont le nombre eft fuppofé m ; 
puifque tous les produits ab , ac > bc ^ Ôcc. 
doivent tous être égaux chacun à a^ > lorfque 
b ^c^ &c. font égaux à ^ ; 

Que le quatrième terme fera x avec un 
coefficient égal à ^^ pris autant de fois qu'il y 
aura de produits dhc^ abd^ acà ^ bcd , &c. dans 
le coefficient du quatrième terme de TEquatioâ 
dont le nombre des racines a--4-^, x-i^b.» 
X'+'C , Sec. eft 7» , & ainfî des autres termes, 

La queftion eft donc réduite maintenant à 
fçavoir ce qu'un nombre m de lettres peut don- 
nes de produits ab, ac, bcj Sec. prifes deux 
à deux ; de produits abc , abd , bcd, acd , &c. 
prifes trois à trois ; de produits abcd , abde , 
abcc ^ acde^ bcd€ , Sec. prifes quatre à quatre, 



J 



S44 E L E M E N S 

&c. Car en fuppofant que ces nombres foîent 

trouvés , & qu'on les exprime par ^ » B ^C, 

■m 

i&c. fera la valeur cherchée de X'^ a . 

Pour trouver premièrement ce qu'un nom- 
bre m de lettres a, ^b^Cy &c. peut donner de 
produits de deux lettres ah y ac ^ hc ^ &c. en les 
combinant de toutes les manières pofCbles; 
commençons par remarquer que lorfqu'on aura 
formé tous ces produits 5 on aura écrit deux 
fois plus de lettres que de termes. 

Remarquons enfuite que chacune des let* 
très a^b y c y &c.-doit être répétée le même 
nombre de fois y & que chacune ne pouvant 
être multipliée que par toutes les autres 9 & 
non par elle-même , ne fçauroit être répétée 
que W2— I de fois , donc le nombre de lettres 
à écrire en formant tous ces produits doit être 

m x^n^^i , donc le nombre de tous ces pro* 

duits doit être ~ , ôc c'efl-là la valeur 

z 
de j4 ou du coefficient du troîfîémc terme de 
la formule cherchée. 

Quant au coefficient du quatrième terme » 
c'eft-à-dire au nombre de produits à trois let-. 
très abcahdy acd y hcdy &c, que peuVent 
donner un nombre m de lettres a^hyCydy &c. 
prifes de toutes les manières poffibles trois à 
trois , pour le trouver , nous remarquerons d'à- 



ly ji L G E s R E/ a^f 

bord que ce nombre doit être le tiers de celui 
des lettres qu'on écrit en formant tous ces 
jj^roduits. ^ 

Nous remarquerons enfuite que chacune ^e 
ces lettres doit être répétée le même nombre 
de fois y &que ce nombre doit être ^celui qui 
exprime combien de produits de deux lettres 
doivent donner toutes les autres lettres. Car il 
cil évident que chaque lettre ^ a par excniple,^^. 
doit être jointe à tous les.prpduits bc ^ hd^^ 
cd, Sec. des autres lettres prHes deux à deux»: 

Le nombre dé fois que chacune des lettres 
a >B 3 Cy d^&c.Aoit être répétée eft donc ce-^ 
lui qu*un:nombre m-^i de lettries b y ç^d% &c* 
donne de produits de deux lettres.Mais on vient 
de voir que lorfque le nombre des lettres étoit 
»i,le nombre deleurs produits deux à deux etoit 
la moitié du nombre m multipliée par le nomi; 
bre 29^-^1 qui efl moindre d'une unité ;i dond 
lorfque le nombre des lettres eft m-^i > il faut 

m — - i . , 

encore prendre la moitié '— - de ce nom-^ 

bre 5 & la multiplier par m— — i qui eft moin- 
dre d ' une u nité que m — i. Ceft-à-dire qup 

«1—1 X m — 1 r . , 
r— eft le nombre de fois que chacu- 

ne des lettres a^b^Cy Sec. fera répétée dans 
tous les produits en queftion , & comme le 

lïombre de ces lettre* eft m , — > — i 

fera par confcquent le .nombre de toutes les 
lettres écrites ^ donc le nombre cherché des 



I4(f E L E M E N S 

produits à trois lettres abc , ahâ , Bec. fera 

ou du coefficient du quatrième terme. 

A regard du coefficient C du cinquième , 
c'eft-à-dîre du nombre de produits de quatre 
lettres que doit donner le nombre m de let- 
tres , on trouvera de même qu'il doit être 

1 X J X 4 

nombre doit être le quarj^de toutes les lettres 
écrites dans ces produits , que chacune de cts 
lettres doit être répétée le même nombre de 
fois, & combinée avec tous les produits de trois 
lettres que donne le nombre tw— ^r de lettres , 
& que cts produits de trois lettres donnés par 
le nombre m — I de lettres doit être,.. . 



*X3 

m X m — I X m — % ^ . . , . 

fonque ; :- efrcelm despro- 

1X3 
duits de trois lettres que îourmï le nombre m 
de lettres. . 

Formant de, même tous les autres coeffi- 
ciens & fubftituant enfuite dans 'la formi^e 
précédente à la place de ^ , B , C> i> , £ > &C4 

m . «I— I 

aînfî trouvées , on aura enfin x ^màx H^^ 



D'ALGEBRE -^47 

•»X a^ X j ^ X 

» ixj 

m X m — I X iw— i X m — j 4 ni^j^ 
^ 1 ^ ^^^^ 4 .f^ 

iX|X4 

mXwï— ix"»' — iXm — 3 X m— 4 < m-^ç .4^ 
— — — a X ' ^^ 

^ 1X|X4XÎ 

occ. pour la paiiTance m de Ar-f-^. 

Par la même raifon la valeur de p-+-^ Formule gf. 
dont on avoif befoîn article xlvii, fera "f*^*^*^ ?°"' 

rélevation 

m wi— I i»Xm— I 2 m-* »^&»* 

? 4-wîp -i- 1 q f 

mXm— iXm— X 3 m— -j 

H — nrr — ^^ ^^*^- 

XLIX. 

Quant à celle de p — ^ , il eft évident que 
pour la trouver , il ne faudra que faire q néga- 
tif dans cette formule, ce qui la changera eo 

^ »>— I mXm— 'I z fR— -2 
p — ?«îp H p-j p 



lîiX wi*-i X m— 1 3 m— •$ 
1^, -ÎP H-&C. 

• ■ !-• 

■Si ooTeutpréfentement ^émontrâr iè théo- Oémoaftn» 



^48 E L K M ENS, 

lien (îatii^- renie <Je Tarticle xLvii. on commencera paf 
SS^ttvîi^ remarquer que -4 eft lafommedetousles terr 

m mXm i % m — % 

mesp ,H -^^ — q p $ 

m X m — I X m — z X m— j 4 »»— 4 

i X j X 4 ^ , 

dans lefquels il n'entre aucune dimenfion im- 
paire de ^ j & que B eft la fomme de tous les 

mxm — I X ,11—2, X m — 3 X m— 4 î m— f 



termes m qf , ^^-^ q p 



î F 



» X J X 4 X f 

&c,oà ^ ne fe trouve jamais qu'à une dimen- 
fion impaire. . 

On verra enfuite que ^-4-B eft la première 
formule , & -4— b la féconde, ce qui étoit b 
point où h difficulté étoit réduite , art. xLvii# 

XI. 

Application Lorfqu'on voudra employer la formule précé». 

^^tià"^^^^ dente à çlever un binôme quelconque à une 

îincxcœ^/puiffance donnée, rien ne fera plus facile^ on 

n'aura qu'à fubftituer dans la valeur précédente 

de f'+^q à la place dep le premier terme du 
binôme donn4, à la place def le fecond,&à la 
place de m Texpofant de la puiffance à laquelle 
on veut élever le binonie propofé. Qu'on fe 
propofe f par exemple d'élever 3^ — • aW à 



la cinquième puiflàoce , je fais 

m — — f r r 

& f ai d'abord p sas ^ac ^si^ja c • 

m— I ■ '4 

B=-*-8iOif bc d. 

mX m— I » »»— * ■ n 

— q f sa 20 X 4i&Wi/ X 34f 

t=iioZoa^bbc^dd. 



mx^i-^i Xm-^i î *»— I 




f f =5IQH— iW 



1 j * j 
104 b ç d. 



wXwJ— I X m—» X iw— .3 4 I»— 4 4 

-— • '" a V sCX— *2M 

»XÎX4 / /^ -^ — 

,4 4 

X 3<â:r5:;=540iïi fi< . 

fftX »> — I X m—-» X «1-^3 X »»— 4 î' ""^f 

— î P 



»><3X_4xjr 



^ A regard des autres termes , leurs côeffi- 
cî<sns ayant tous pour un de leurs produifana 
m—^S m^ ^^ ^^^^ P^^ ^^ fappoiîcion de itkss: J, 

ils doivent tous être nuls ; ainfi 3^_^^^ aur^. 



J 



xjfo E L E M E N S 

pour valeur 24 j a^ e^ — 810 a^ b^d -4^ 

1 080 if' b^ c* d* — J 1 o a^Ve^d^ •+- 24j0^r</4 

LU. 

Lorfqu'on voudra élever , à une puiflàncc 

Comment donnée, une quantité contpofée de plus de 

fa^foîSJir ^^^ termes , on le pourra encore facilement 

précédente par la même méthode. Qu'il s'agiflë , par exem- 

aux quanti- pjg ^^^ trinome , cft nomihant v le premier 

tes de plus de '^ , • i /• ^\ f 

deux termes, terme de ce trinome ^ q la fomme des deux au« 
très y la difficulté de l'élévation du trinome fe- 
ra réduite à celle du binôme , puifque chacun 

m— I my^m — i m — x z 
des termes mj ç, — -^ j q &c, 

ne renfermera pas de quantité à élever plus 
compofée que des binômes. 

Et lorfqu'on aura "un polynôme plus com- 
pofé on réduira toujours la difficulté à l'éle* 
vation d'un polynôme plus fîmple. 

LUI. 

Pour donner un exemple de la manière dont 
Exemple. OH employé la formule précédente à l'éléva- 
tion d'une (Quantité qui a plus de deux termes , 
foit propofé d'élever ^-H2* — ^c à la quatriè- 
me puiffance; on fera »te=4.,pt=tf , f=i2^ — r, 
& fubilituant ces valeur^ dans la formule on aura 



]f algèbre: ûst 



m X w— I X ''^ — ^ > ••''*""' 






if 



»Xl 

inx^— 1 X m-^-xXm— 3 ^ ''**^ 
1X3X4 ^^^ 

===:2*.^-C =t\6b 4X 1^ Xtf 

4X5 T* a 4X3X* , , 

^lillx 2^ Xtf — ■ xaixc» 

4xîX«^Xî 

*XjX4 

1 4 



^4= 16^4—324* fH-24iM 



& partant ^«-1-2^ — r ==1^4^.8^'^.^ 
4^ r-f-24^ b — r24<* w-+iM r -4-jiii6 

— 48iiiW€r-Ha4^*<?^ 4ijrr-i-l6«' 

i,,_3^^ f .-+-,24^^rr — 8i&^. -+- ^ • 

. Après avoir trouvé la formule précédente 
on ne pouvoit gueres larder à foupçonner 
qtt*ellc devoit s'étendre à d'autres puiflànces 
^pxe celles qui font des Aomkeç entiers fie p<>rr 



à I 



S^ft E LEMENS ' 

fitifs. 11 fuffifoit d'avoir reconnu qu'ily avoît 
(f autres puiflànces aue celles là pour vouloir 
y appliquer cette tormule. Ayant reconnu , 

par exemple j qu'au lieu d'écrire \/ a^on pou- 

»■ 
voit mettre a , on aura imaginé auffi- tôt 
que lorfqu'on vouloif prendre la racine n d'une 
quantité complexe quelconque reprcfentée par 

p-+-^ 9 on n avoit qu'à faire w= L dans la 
formule précédente , ou ce qui revient au mê- 



-— 1. 



me, on aura penfé que p ^ —p q 

H- ; p f *4- &c, devroit 



exprimer f^q"" ou la racîrie n dé f-|-f. 

be même on aura foupçonné qu'au lieu de 

— — » 

'oùdep-+-f , on n'avoît qu'à faire 



t^ 



m= — n dans la même valeur de p -f- ^ , 
ce qui donnoil . . .' . • • ....••• . . '• . 



^fi, —9—1 fix — n — r — II— 1 % 

T — »p f-^ — T — :p'_ Η 

Sec. En un mot Tordre & la généralité quon 
avoît toujours trouvé dansies opérations ana» 
ly tiques devoit'feii»e penfer que quoique la» 
torumle précédente n'eût été d'abord ttouvéç 



& A LG EBRE. z^j 

qu'en fuppofant m entier & pofîtif > die pou- 
voit auilî s'appliquer à toutes les autres va- 
leurs de m. Mais fi on trouvoit de la vrai^ 
f emblance à ce que cela fut ainfî y il s'en faut 
beaucoup qu'un Géomètre put fe contenter de 
cette vraifemblance , tout Pefièt qu elle pou- 
voit faire fur fon efprit étoit de l'engager à 
faire des efforts pour parvenir à une démonf-* 
traiion. Voici une manière de trouver cette 
démonilration qu'il n'étoit pas bien difficile 
d'imaginer. 

Soit propofé premièrement de faire voir où i-on fait 
que la formule en queftion peut s'appliquer voir que u 
toutes les fois que m eft une fraftion quel- c^^n^ S^" 
conque pofitive ou ce qui revient au même , «"corc boa- 
foit propofé de prouver TËquation A ( voyez "'«'Jîfânt 
la Table i ci-jointe ) laquelle devient TEqua- cft/raaio- 



nauc. 



tlon B en divifant les deux membres par p »^ 

& en faifant X t=z.. 
t 
Mais pour prouver rEquation B , il fuffit 
de faire voir qu'en élevant fes deux membres 
à la même puiflance », il viendra des quan- 
tités égales , c'ei!-à-dire (en feifant 

r r 

n ' % 



r r r 

— X— ~ I X — 2-t- 

H- 1 — !^ ""- X z.' &c.) qu'a s'agît 



de prouver l'Equation i>« 



MS4 E L E M E N S 

Or comme r Se n font deux nombres ea- 
tiers on peut faire les élévations indiquées dans 
cette Equation par le moyen de la valeur gé- 

m 

nérale de p-+-f , ce qui donnera PEquation £. 
Le Problème étant réduit à prouver l'Equa- 
tion £3 il faut trouver par le moyen de la va- 
leur de / , celles de /*,/',/* , &c, multiplier 
enfuite la valeur de s par » , celle de /* par 

, celle de x' par ^ , 

» » X ^ 

celle de x* par ^ 2— — ,&c. 

»XI X4 

afin d'avoir les valeurs de tous les termes du 
fécond membre de l'Equation £. Ces valeurs 
trouvées Se écrites les unes fous les autres , 
on formera l'Equation F qui , en faifant les ré- 
duâions que demande le fécond membre, de- 
vient l'Equation G qui eu la même que l'Equa- 
tion £• Donc l'Equation A qui avoit donné 
cette Equation efl prouvée. Donc il efi vrai en 
général que la formule de l'art, xlviii. s'appli- 
que auffi-bie;n^ aux puiifa&ces fraâionnaires 
quelcQnques pofîtives qu'aux puiilances entiè- 
res pofitives. 

LV. 

La même Pour faire voir préfentement 'que la même 

cîi^reaux foï^™ule s'applique également aux puiflans«s 

puiffancM négatives , foit entières 5 foit fraftîonnaires , il 

négauvM. g>^g-^ ^g prouver ( voyez la Table 2 ci-jointe ) 

l'Equation A dont le fécond noembre eil celui 



If A L G E B K E. 2 j j 

que donne la formule de rarticlexLviii en fai- 

fant iws== • 

fi 

Il eft évident qu'au lieu de prouver TEqua- 
tion A on peut fe contenter de prouver l'Equa- 
tion B qui revient au même que la première 

enfairantz.sss i., & multipliant les deux 
î 



r 
n 



membres par p ^ • 

Il eft évident déplus qu'au lieu de la quantité 



i^x. " 9 011 V^^^ mettre 

I 

que par conféquent TEquation B devient TE', 
quation C. Mais comme dans le premier mem- 
bre de cette Equation , on peut mettre au lieu 

de I -f-;c " fa valeur tirée de la formule de 
l'article iiv, il eft clair qu'il fuffit de prouver 
l'Equation D. Or pour prouver cette Equa- 
tion , il fuffit de multiplier le fécond membre 
par le dénominateur du premier , & de s'aflîirer 
que le produit qui en vient eft Tunîté nunaé- 
rateur du premier membre , c'eft ce qui arrive 
en effet , car faifant la multiplication , il vient 
pour produit la quantité £, dont le premier 
terme qui eft l'unité eft le feul qui refte 
apDès la réduôion. Ainfi on eft affuré préfen- 
tement > par une démonftration , que la formule 
de l'article xLViii. a toute la généralité qu'on 
ne faifpit d'abord que lui foupçonnen - 



A I 



ajtf ELEMEtrS 

LVI. 

Maïs quclqu'aflùré qu'on foît d'une vérité 
par une démonilration générale , on ne fçau-* 
roit gueres fe défendre de chercher à la voir 
confirmée dans quelqu'application particulière. 
Sçachant , par exemple , que la formule pré- 
cédente eft bonne pour l'élévation des quanti* 
tés Quelconques à des puiflances fraâionnairest 
il eft naturel qu'on veuille l'appliquer à quel;^ 
que quantité qu'on fçache avoir exaâement 
une racine ou puifTance firaâionaire* 
Exemple Sqj^ p^r exemple la quantité ï-f-2^-+-^* 

i»anc racine - '^ , , '^ • 1^ 7 ^ ' . 

qnarréc prife dont out cherchc la puiiiance ~ ou ce qui 
Td^i'éî'vr ^^^^^'^^ *" même la racine quarrée. Ayant fait 
rion de$ pwf-p s= I j ^ =2 ^-+-^*5 & ^ ==î dans la formule 
^^******* précédente , on trouvera • 

m 

Le premier terme • • « • . • .p s=i 

Le fécond »ip ^ =s ^ -+- 1^ ^* 

_ mXm— I I»— 1 

Le 3-% — p ^*=s=^f t*— 1^» 

Le 4'-% P î' « i t ' 

^ * 1X3X4 

x • U 



-:- r r. 



'-}-£ :i 



A ~ : , 



■h f 



/ 



» î 



tî^-ax^-f-j 



i'ag. 256. iab. 



^♦Ht*C' 




^A Lu EBk '£. ÈSJ 

Le(î*""*> &Ck & c'eft la fomme de tous cet 
termes qui doit être la racine cherchée. 

A rinfpeâioû dé cette quantité 5 on a de la 
peine à croire qu'elle puine fè réduire à i-4-i 
qu'on fçait être la raciûe cherchée. Mais la 
généralité de la démonftratioh précédente , & 
une certaine expérience dé calcul aiTurent 
bien-tôt de cette réduftiob. 
. £n ajoutant tous ces termes ^ où remarque 
que le premier i refte tout entier; que le fé- 
cond ^-+-7^* fe réduit à b, parce que la . 
partie 7 ^* de ce fécond terme eft détruite par la 
même quantité en négatif contenue dans le * 
troificme terme — . |-^* — 1 ^» — ^ è^j que ce 
qui refte dû troifiéme terme— ^-i^'—l A4, 
après la deftruâion de {h eft entièrement dé^ 
truit auffi par le quatrième ^A'-j-i^*-+-|if 
^-^^* dont il ne jrefte plus alors que f A^-h| i^^ 
^- Yj è"^ & ce refte du quatrième terme fe 
trouve détruit de même par le cinquième terme^ 
& en pouffant les réductions plus loin ^ on voit ^ 
que rien ne refte de toute la quantité que 1 -^-by 
ainfî qu'il devoit arriver, 

• LVIL 

Outre que cet exemple & tousceu^ de mè* 
lÉe nature> qu'il eft aifé de faire , eonfirmenc , 
pour ainfi dire par expérience > la propofîtioni 
démontrée , article Li. ils montrent en mê** 
me-téhds une utilité réelle qu'a cette propoiî*: i^ff^"«i«* 
Vîon , en donnant un moyen d'extraire les ra» n^^nt" oint 
cines des quantités qui font des pui(fanj0es <i« ^^<=i»<:' 



aj-S E L EME NS 

ttouYc i'ap- complcttes. Mais il y a bien d'autres avant*? 
uméthXges à retirer de cette propofîtion. Lorfque k 
ptic&ieme. quantité dont on voudra prendre une racine 
n'en aura point d'exaâe>oa en aura une ap' 
prochée par la formule précédente, 
exemple. Qu'on cherche, par exemple, la racine j"""* de 
la quantité rf-H;. En fubftituant la plus grande 
des deux parties de cette quantité qu'on fuppo- 
fe être tf à la place dep , & fubffituant la 
plus petite ^ à la place de f & i à la place de 
m, on aura pour la racine cherchée 

~^~ Jf^i-I- 1X4X9 "*'-^ 

<iu>anefttie' " ' »*^*^ tXjXi»» 

oufu' 
ftnic. 



' . t ^ I-* « X 4 f / 1 . » X 4 X 9 ^ ^ f, 

iuWféric *^*^ »XjXi,f 

ou faite in- iv^voVi^ "^-^ •* -x a r 

»X,X4X6»r ^ iXîX4XïXîi*f 



t 



Or quoique Ce ne foît qu'en formant de la 
même manière une infinité de termes , qu'on 
puiflfe être afluré que la quantité précédente 
<jui eft de celles qu'on appelk fuites ou feries 
infinies,exprîmeexaftement la racine cherchée; 
en fe contentant néanmoins de prendre un grand 
nombre de ces termes , on approche extrcm^ 
ipent de la vraie racine cherchée. S'il arriw 
même que a foit confîdérablement plus gr^nd 
que i , on n'a pas befoin de beaucoup dg ter- 
mes pour approcher fenfiblemcnt de la vraye 
racme. * 

.Qu'on fuppofe , par exemple, Imss^a, on 



ittrà t>our les lîx premiers termes de la fuite 
précédente 

Or il on fait attention à la confidérable dimi^ 
nutîon fucceffive de ces fix termes, oh -voit 
que les termes qu'on pourroît écrire de plus fe* 
roient fî petits qu'ils ne valent pas la peine 
d'être cherchés* 

L V 1 1 1. 
L'utilité de la formule des puiflànces ne fe 
borne pas encore à trouver par approximation 
toutes fortes de puîflances fraftionnaires ou 
négatives , elle eft infiniment plus étendue en 
fervant à réduire en ferics toutes fortes de xootei for* 

Quantités où il entre tatit de fignes radicaux , wdetîuan* 
ivifeurs , &c. qu on voudra. Qu'on ait , par Xltl rIduSi 

4 ■ ' ■ -111 i l en fériés pas 

exemple la quantité ■ . . — * 

Va-^b — Va — b 

en réduifant d'abord les deux quantités 

y/ a^bic ^ og'^b en feries, & les ajou- 
tant, puis en élevant la iérie qui en eft la fom« 
me à la puiflànce ~ i on formera une nouvelle ' 

férié , qui étant multipliée enfuite par celle 
qu'on trouveroic de même pour ••••••••• 



V ^«+-A •— V^ — h ou \/ a-^b — V^-— ^ 
donneroit enfin une feule férié pour exprimer 
la quantité propofée. Or outre qu'on a ainû 



sl6o EL E mens ' 

par approximation, toutes ces quantités com^ 
pofées de radicaux & de divifeurs complexes ^ 
il y a une infinité de cas où il efl très-utile ^^ 
pour des démonflrations , que ces quantités 
forent délivrées de tous ces radicaux & divi- 
feurs complexes , ainfi qu'elles le font par leurs 
transformations en fériés , mais il eft tems de 
retourner à la réfolutionties £quations. 





■ ELEME/NS 

' . ' ' 

©ALiSEBRE- 

Réfolution des Equations du troijiéfnc 
ér ^« quatrième degré. 

OrsQù*ôh aura voulu paflèr de la 
réroiption des Equariorîy exprimées 

m 

généralement par ax =^ & 

4^^ ,.;_*+- ir!r;^ï===^i^.^ celles qui 
contenoient QÙtrç^ ces termes, les intermé- 
diaires , on a oien-tôt fenti des diflScultés qui 
9Çt lifait abjandopner , Felpér^nce de réfoudre 
'\ cës^ÊquaftSoHs' (^' gértéraJ;; On il*a pu encore 
j^airvenir cpSdl% fôltttion de celles du iroifieine 
et du qnàtriémfe • 'àé^té , encore la métho^ 

Riij 




téi SIEMENS 

éu'on a trouvé pour les réfoudre > foufirc^t elle 
une exception confîdctable ; voici le chemin 
^u'qh a pà fuiVrc fta découvrit cette méthodç» 

t 

Sifc*' Sdfetttrepfi^«téesparrÉqu«tionj.'^H-rfy 
aégréUpius-^^^j^^y—=.o toutes celles du troifiéme dé* 
çoinpofec. ^^^ gj ^^ pouvoit réduire cçtte Equation à 
une autre qui n'eut que U premier ^ & que le 
dernier terme , il eft évident que ce feroit 
ravoir réfolue, Qr qud eft le moyçn le phw 
naturel de transformer. une Equation en une 
autf e , dans laquelle on foit libre de faire quel- 

Ïue changement id'eft de fuWlituer dans cette 
iquation à la place de l'inconnue quelque 
Suantité , dans laquelle ori lai/Te une lettr(5in- 
éterminéç , ^fin de pouvoir s'en fervir à vo- 
lont^i . . ,. 

... Il,- •••■; - ■:'•' 

ti^'^pî u!.*' Soit donc fubftîtué dans cette Equatio n au 
l^^l^^â^^^^^^y^^^^ qousi î^uroi^/y»=+7jr-f-^X^^^ 

cette Eqoa- quç l'on écrit auflî de cetçç manière 
«*•'-+• 3^^* -H 3rrA: -4^^? =^ 

^ e J(^ et ''■■•■ 

Comme on éfl le maître de n dans çetîe\Er» 
quation , ^1 eft aifé de yoijr qu'on peut par fou 
moyen faire ^yfOûiJiir ççlui cjes'termes qu'où 



ITALGEBirjS. ad^ 

^vo»âra , mais auflî on n'en fçaur oit faire dif- 
paroître qu'un à la fois. 

Qu'on lailèi par exemple, ^1*4^1^ -ss o eti 
rt= — jd , le fécond terme :Vévanouira , & 
l'Equation deviendra . 

• - ^ -t-f ,■ 

5 on fait au contraire grr-J-i^r j f o où 

ra=5— 1^2± V^ -^i-4-|^4< , le troifiértè 
terme s'évanouira ^ mais lès deux autres 
refteront. ' 

Si on vouloit faire évanouir, fê dernier ter? 
me , il faudroit faire r»-+-ti^*-^tfr-+•/=i=«o^^ 

6 alors pour avoir r , il faudroit réfoudre une 
Equation pareille à la propofée. 

Avec un peu -de connoiATanee du calfvl % 
on devoit bien s'attendre que là fubftitution dç 
x-{^ à la place de y ne pouvojt p^is faire évar 
nouir plufieurs termes à la foisi^parce que l'in- 
troduftion d^une inconnue ne pçiit fervir qu^ 
réfoudre une ftule Equation , lou ce qi^ i;e'* 
vient au mèniéj à remplir une condition; or 
l'évânoûilTement de chaque terlme f^t unç; çohr 
ditîon. Mais îi par cette, transformation ôri 
n*eft pas parvenu entièrement au but ijuePon 
avoit eu de réduire FEquàtipri prbpdféô à deux 
^terçié^, on a du moins changé* la queftion en 
une nouvelle qui paroît plus fîmple , puifqu'il 
ne s'agit pliits que d'une Equation à trois 
lertocs, . ..; : 'V: .- : \ ; ' ; ' ••■ '■ "- ••' ■- 



Des deux Equations transformées <}u'o& p^ot 
avoir en faiiant évanouir # ou le premier /ou 
•le fecood tarme» la première ^c'eft-à-dire^ 

eft la plus fimple ^ aufS eft.ce Celle que nous 
: allons chercher à réfoudre en tâchant de di- 

minuer encore fes termeç.^ ma^s ,npus fufpeit- 
'drons un moment cette recherche , parce que 
la iriéthodc qu'on vient d'employer pour tranf*- 
former les Equations du troinéme degré offre 
il naturellement de nouvelles vérités fur les 
pquationsrde* tou^ \qs autres degrés > qu'il eft 
à propos, de j'y arrêter on peu. 

'\ lïL . _ 

* /'On volt/ (f abord quà Taîde de la meme- 

tfansformatrôA . *de y en x^r ^ on peut f^irc 

àuflî évanditiîr; le terme qu*^ôn voudra d*ùne 

ïlqùation d'un degré quelconque. 

Transforma. Qu'on ait par exemple l'Equation du qua- 

tion précé- Irîémê dégi'é la plus générale y^'-\^ay^ r\^ky^ 

tlltCu^t^ ^^h'^ ^=rT^ * ^^ y mettarjt AT-f-r au Heu d<j 

Equation du V'^ on aura ^' r . , -- 

4égré, , ;^*^-^rJfV-H(îr*Ar*-f-4r|;r-Hr*aB3:0 

!••.. ■ <•,-.:■ ■•■ -*-.* •• ■..••+^. ■■ 

dans laquelle falfant 4^4-;irs==o ou r i. j^^ 



lyALGEBliS. )ï6f 

on aura une Equation du quatrième degré qui 
n'aura point de fécond terme. 

De même en déterminant r par i'£quàtibn du 
fécond degré 6r*-|-3^«r-f.^=o , on aura une 
Equation du quatrième degré qui n'aura point 
de troifïéme terme. Et en faifant r tel qu'il con- 
viendroit pour réfoudre TEquation du 3' degré 
degré 4rî-4-3ijr*-f. i*r-f.rs==o, onauroit 
une Equation du 4*™* degré qui n'auroit point 
de quatrième termeXe cinquième s'en iroit de 
même par le moyen d'une Equation du 4^"^^ Jé- cc n'cft or* 
gré. Mais bn ne s'arrête pas ordinairement à *^^"*^^"^^"* 
faire évanouir d'autres termes que le fécond ,?«mc^q?o2 
parce que l'évanouiflement, des autres termes ^^^^*'^°^^* 
amené prefque toujours des calculs compliqués 
' de radicaux & fort pénibles. 
IV. 
Dans une Equation générale du cinquième Evanouiffc- 
degré jy»H-^y-+.^^'-H^y+^7-f-^=o hœTiV^ 
transformée j ==• a: -+- r donne l'Equation ^*"^. ""^ ^' 
x^^^rx^^ Sec. dont le fécond terme s'é-dnqÙléw 

-4-^ degré. 

vanouira par l'Equation du premier degré 
j;r'^a=o ou rs=9 — ja. ' 
V. 
Et en général dans une Equation d'un degré Dans une 

m m — 1 Equation du 

quelconque m repréfentée par *• ^^ax degré quei- 

» 3J, . conque». 

■^X^+. bx H- &c. =0 il fera aifé de trouver 
par^*i la fowDule des puiflànces donnée dans la 
jyen c Paf^iç^ article xlviii. que le fécond ter- 
me s'évanouira en faifant Tinconnue ^==^ 



^[6S E LE M E N S 

VI. 

Jj^f^f Après cette petite digreffioa, remettons» 
tioDgéDénieBous à chercher la folutioa de l'Équation da 
*'+?«» troifiéme degré 

1 laquelle PEquation générale jy' -4- 4^* H-^ 
'+^f=ss o s'étoit réduite par la fuppofîtion de 
J^^x ■ \ df Se pour abréger les calculs , écri- 
vons-là ainfi, x^~^fx -f- ^ == o. 

En fuivant l'idée que nous avons déjà em- 
ployée , faifons encolre une transformée , fub- 
ffitaons , par exemple u^z à la place de at ;^ 
non dans la vue de faire évanouir un terme de 
cette Equation , ainfi qu'on avoit fait la pre- 
mière fois , car on verroit bien-tôt que le terme 
qui avoit difparu reviendroit , mais pour cher- 
cher à décompofer cette Equation en de plus 
iimples. Sans voir difiindement qu'un tel 
moyen doit réuiCr , on fent bien que la tranf- 
formacion d'une Equation en une autre où 
l'on a une lettre à déterminer à volonté ne 
peut gueres manquer d'être utile* 

La fubftitution de ;^=^-f-^ ^tant faîte , 
on a «ï -h3«««*H-5i«:;M-«''H--p*^-+-p,^H--î==o^ 
Suppofons maintenant que l'une des inconnues 
« ou «, foit telle que K*-f.x.î^gf = o, oir- 
aura en ce cas l'Equation 3w*;c-+^M^*-{-pj* 
-f-p«.s=s=so, de laquelle on tire aifément en 
la diviiànc par f<-h<> }i^j^v+-pzs«a ou 



nsss •^^- -^ * Voilà donc de quoi chaflèr faci* 

lement une des inconnues introduites , il ne 

s'agit plus que de fçavoir quelle fera TEqua- 

tion qui déterminera Tautre inconnue. Pour 

cela , il faut remettre cette valeur de u dans 

la première Equation K^^^+^'-H^fsEsso, ce qui 

^' 
donnera ^— -~- '•Jhz^-^qtssOyOyxzf+qz} 

s==: — , or cette Equation quoique plus éle- 
vée que la propofée ^ eft cependant bien plus 
aifée à réfoudre ^ car elle eft -de la dailè de 
celles que nous avons réfolues dans la quatrié^ 
me Partie^ article xx# & la valeur qu'elle 



donne pour «.eftv^ — îîiv^ iî* -f-r/f *• 
Donc I* ou -^ -i-L fera j ' ■ " ^^ ^ t ^ 

qui fe réduit facilement à— ;y^^^ db V^îf M-T?f '3 
car on peut Voir afl ez faci lement que le pro-. 
dûît de — T f,±Vi t-^p par H-I^Hh 
Vif*-Hr7/* cft i^pS.& partant que f p 
eft le produit des racines cubes de ces quanta 
tés. Ajoutons préfentement ces valeurs de u 
•s^^èc de z,^ & nous auron^«-h^ ou. . . 



#— V'^-T9rt:>^iî*-+-r7P* ou fîmplément 



^^==v^— rî-HVi?*-+-TVp* 



l^f E LE MEN s 

•*- V -^ îfH-^ ^g^» , car en presam le 
radical y i 9.^,^ y î « —, on n'a pas une 
valeur de x différente de ceUe qu'on a en le 
prenant en -f.. 

VIL 

pré(^tt' -P^' ""e valeur de *, on voit au'il n'en 
fluw d^, Pf* ^" Equations du'troifîéme degré com- 
troif racine.. J?® «6 çcJIes du fçcond , où la même expref- 
lion dune racine marquoit à l'aide du figne 
It les deux racines a la fois j id on trouve 
nneexpreflîon qui ne fçauroit défîgner qu'une 
Manière %f°«. Valeurs de .r. 
d'avoiries ^ou"" trouver les deux autres, il faut divi^ 
deuxaaue,.fer l'Equation Ar',H-p*-hf=o parla raci- 
ne que donne la- valeur précédente de*, «Se 
la refolutron-de l'Equation du fécond degré 
qui enTera le quotient donnera les deux au- 
tres racines chercBéeS. 

. Si on veut trouver la valeur générale de 
ées deux ra dnes ^ jl faut faire poir abréger^ 

res ^ujs vxy^^,^^^;::T^_ ^ ^ ^ 

V'— f îH*-VliH^ «=ir, & te atten- 
tion qiien^ ce cas-TOir^=ip & ni^ -^»? -s=^ 
Cela pofé , la divifibn de l'Èquanon >? \j^Ze 
•Hr-^=o.parv^w'— >,, gui eft alors là racine^ /»' 
qu on Vient de trquver,_donne.ra .pour quotient' #"*" 
xx^hx ^mic T^nim^jm ^mn'&i ddht 
l^s deux,raan^^ c'eU-à-dire, les déujf racines 
cherchées de l'Equati<m-j;rî-^p;,.^_^s=o font 



--t7X»»-4-»v— 3 ou.;. ..*• 



3 



«=7Vif-H^ i?î-HiVP'— r V— ^fH-V^?f-+-iVP' 



qui font néceflaireinent imaginaires toutes les 

fois que V j ^*-HîVP^ ^^ ^"^ quantité réelle. 
On auroît pu rcconnoître dès l'article v, de 
la quatrième Partie, où il n*ctoit queftion que 
des Equations à deux termes, l'efpece d'imper- 
feâion que donne à la folution des Equations 
du troifiéme degré , la différence de forme des 
trois racines , mais cette efpece d'imperfedion 
cft ici plus frappante en fc trouvant dans la fo- 
lution générale. 

VIIL 

Ce défavantage de la folution précédente 
des Equations du troiiiéme degré n'en peut 
paroitre un qu'à ceux qui confiderent » pour 
ainfi dire , métaphylîquement l'Algèbre , mais 
il y en a un autre bkn plus frappant pour tout 
le monde > Se qui a extrêmement exercé tous 
les Calculateurs. C'efl que cette folution n'ap- 
prend rien du tout pour la valeur de x toutes ^^^^ ^^ 
le^ fois que ~f^ cft plus grand que ^f^, & formule pié- 
\^^uil cft en même-tems négatif. Danscecas5;?ff"^^"?^ 

- — ^^ • /i . N y 1 1-1 11 • / içauroit taire 

i»quA^i^it,J{^s - étendu » la valeur de la quanute connoitre x, 

^ '- • a caufc dcf 

Vr7p'*+-i?' «ft imaginaire , .& par con- >«\»çj«"r" 
féquent Us deux quantités ^^^r"'^' 



ayo EL E MENS 

„.^y^i.fli^V^i^»^^p» qui compofent la 
valeur de x font imaginaires auf& , mais on 
n'en fçauroît conclure pour cela que la valeur 
de X foît imaginaire, ce qui bien loin d'être 
regardé comme un vice de la folution , la ren- 
droit une folution complette ; & on ne Tçau*' 
roit non plus 9 du moins par les méthodes 
connues jufqu'à préfeni , déterminer quelle 
eft la quantité réelle qu'exprime cette valeur 
dcx. 

IX. 

Non-feulement on ne fçauroît conclure de 
TexpreiEon que x a dans ce cas que la racine 
cherchée eft imaginaire , mais on s'eft alîuré 
par divers moyens que cette valeur et oit tou* 
jours réelle alors 9 voici de tous ces moyens 
celui * qui m'a paru le plus direft* 

On démon. Soit repris la valeur V^— ^ff-HV^^^H-^p* 

tre cepcn* i. ■■ - - 

d:n;rcas — ^/lî+V^î^-hiVrlde^; n^wons à 
X eft réel, la place de 7^ , 4J & à la place de 

^Lqq^Jjf^ fuppofé imaginaire, ^\/—-r, oa 

aura jr=V — a^b\/ — i — \/4:-h*\^— i* 
Cherchons maintenant les valeurs de -' ^ ^ 

* Je l'ai tiré d'un Mémoire de M, Nicole. Mem. de 
TAcad, année 1758. p. ^^.& ix>o. ^ 



If A LG E B R E. sqi 

formule donnée dans la quatrième Partie ^ ar- 
ticle XLViii. pour l'élévation du binôme. 
Nous aurons pour la première de ces deux 

L — i — 5 

quantités— if 'H-j^ ^ i\^-— i— ^ a *» ^ * 

^^r^hW'-'i^i^.a'^^b^^ Sec. 

Et pour la féconde , 

par conféquent la valeur de x fera la Aiite 
iafiûic — 2irî-^f^""^^*-t-^, J" » ^ 

■^^flr-^"^'^^*-f-&c. ou 

— lii^XXH -H — LIl! &a 

oui ne contient aucune racine imaginaire >• ainfî 
4ans le cas où ^f eft négatif & plus grand 

que iff la v aleur V^—jf -hV^lÇFÏ^ 

' ' ' ' " . . . ■» 

r-V^ f î-+-^ ^,p ,+.^^. de * qui eÛ alors 
fous une forme imaginaire, eft cependant une 
quantité toujours réelle. Malheureufement on 
na pu encore hjfqu'à préfent lui trouver une 
formç réelle qu en admettant , ainfi qu'on vient 
^iTteire ,une infinité de termes dans fon ex- 
>»T>o*R^ qui ne peut fervir qu'à prouver 
que cette valeur eft réeUe^ mais non à la faire 
conooitré exaâement. 



x^2 JELEM EN s 

X. 

Ut la même Si on vcut fc Contenter d'une approxîmatîofli 
méthode on on uourra faire ufa^e de la férié précédente , car 
valeur ap. ^n luppolant a plus grand que ^ , les termes 
prochée de de cette férié iront en diminuant , & par con- 
féquent on pourra négliger les derniers quand 
ils feront parvenus à n'être que de très - peti- 
tes quantités. S'il arrive au contraire que a 
foitplus petit que h , il faudra en employant 
la formule du binôme pour trouver 

î i 

y/^a^b^ — I Se y/a-^by/ — i , avoir lat- 

tention de prendre byj — i pour le premier 
terme du binôme , & ^ pour le fécond; & 
Ton aura alors pour la valeur de x ou de 

V — a^hyj — :i — y/a^b^J — i la quan- 

thé -4- rW^-i?rl«'+^*~T'''' 



7x9 



i76^3? * 3 ^^-^ &C. OU 




^11^ Ju J^^^* , Sir 

27^* ^ ^^\h^^ é^6ib''~^^' 

qui eil auflî réelle que l'autre expreflîon , & 
dont tous les termes décroiffent quand a eft 
plus petit que b. 

Les deux au- AJ« Z^^^"*"*^ 

très valeurs Nous avons vû article VII. que des trois ra^ 
Seue"dânf cines de rFquation x'^fx^^^,^S^mc9^i 
le même cas. font exprimées par 



îV^H-*-Vi^?-HVf 'r-iVr-iî-t- V iîî4-,VP ' 



ïy À L GÊBRÈ. - 3 7^ 



lont toutes deux imaginaires toutes les fois que 

^i^^"+*r7p' ^^^it une quantité réelle. Nous 
allons voir préfentement que ces deux racines 
font toujours réelles toutes les fois que 

'^T^^H-tVP' ^ft imaginaire, ceft- à -dire ^ 
toutes les rois que p eft négatif, & tel qu« 
~p^ eft plus grand que -qtj. 

Car û on chatige à Taide des dénomiha* 
tîons qu'on vient d'employer Texpreflion de 

ces deux valeur^ de a: en 4 * * . é 

j I j ■ 



& qu'on réduife ainfi qu'on vient de faire les 

• quantités V — a-^bV — i & y'' J+ZJyCIi ea 
léries > on aura pour ce^ deux valeurs de x 

cxprpflîon entièrement réelle. 

^ . X I I. ^ ^ 

r^s^'^^'^Comme TEquation la plus générale du 11*01-» 

^■>7\fieme,dégré repréfentée par y^ ^dy^ey 

\ îÇ./^o s'eft réduite à x '-Kat H-iV^'=o 

^/ 

s ■ 



274 EL E MENS 

dc?ST °" " abrégeant x'-^jx-^q^o par la 
ç^ci'jsqua- lupponiion de );=a:— -~//f il s'enfuit que 
^x'^ij^px^q^^^ valeurs de j^.dans l'EquatiDn générale 
=0, on titc^ '"+■ ^y^-^ O -+■ /"=ô font celles qu'on a en 
celles de rE- refolvanr cette dernière Equation x^ n-p a>4-î 
qranon =o , & en retranchant de fes trois racines 

4-0+/ T^- 



=:o. 



XJII. 



De-là , il fuît qu'une Equation quelconque 
du troifiéme degré fera entièrement dans le 
même cas par rapport aux racines réelles ou 
x^ul^ti^î- imaginaires , que l'Equation qu'elle produit 
fiémc degré par l'évanouillement du fécond terme. 
radncVréci- Ainfi on voit en fe rappellant les articles 
les -,00 une VI I, XI. que tôutc Ëquation du troifiéme 
dctix^imagi- degré doit au moins avoir une racine réelle , 
naiics. & que les deux autres font toujours ou tou- 
tes deux réelles j ou toutes deux imaginaires. 

XIV. 

Pour dîftînguer lequel de ces deux cas ar- 

^TTiftinnuc ^^^^^ ^^"^ ^^^ Equation du troifiéme degré 
CCS cas, ** donnée , on commencera par en faire ^éva- 
nouir le fécond terme afin de la pouvoir cô.n- 
parer à l'Equation Ar^-4-p^-+-^=o j & cetc^ 
opération étant faite, fi p eft pofitif ou nu'étanf^^ ""^ 
négatif il foit tel que ~p^ ne foit pas plus " 
gf and que ^ ^ > il n'y aura qu'une racine réelle. 



D'jiLGEBKE. ùTff 

laquelle fera déterminée exaâement par la - 
formule de ^article vi. 

Si au contraire p eft négatif & tel que ^p ' foît • 
plus grand que ~qq , les trois racines feront 
réelles , mais aucune d'elles ne pourra être dé* 
terminée par la formule de Farticle vi; à 
nloins qu'on ne fe contente d'une approxima- 
tion comme celle qu'on a en transformant cette 
formule en une fuite infinie. 

XV. 

^ SA arrîvoit que -^jf ^t négatif & égal ^^^^^^ ^^^^ 
a \qq i on pourrait être embarralle a fçavoir les radnei 
auquel des deux cas précédens FEquation fe ^<>^^^^^^ 
rapporteroit , c'eft-à-dire qu on ne fçauroit s'il JJ P.^ ^ 
devroit y avoit feulement une racine réelle ou fi ^^iqq. 

touteslestroisle feroîent,àcaufeque>/ ^p ^'^\qq 
étant alors zero^ on ne fçait fi on le doit comp- 
ter parmi les quantités pofitives ou parmi les 
négatives; mais l'infpeâion des trois racines 
ou valeurs d'^ trouvées précédemment décide 
bien-tôt là cmeftion. Car la première valeur 



exprimée par V — t^-hV iq^'-h ij2^ 

î — — 

•-^T?-+-V i?*-+-rfP • fe réduit alors à. • 

. r"^^-^^ :2 v^ ^ ^ , & les deux autres valeurs exprî- 
^ m é e ^ généralement par 

Sij 



â7<5 E L EM E NS 



fe réduifent alors à -HV'Tg^^o, ç/eft-à-dîre 

qu'elles font toutes, deux égales à ^y/\q. 

Aiflfî les Equations où ^Z ^qq-i- TjV^ ^^ zéro 
font comptées parmi celles dans lefquelles les 
trois racines font réelles. 

XVL 

Application 'Poyxt faîtc préfentemcnt quelques applîca- 

ëes méthodes . , i / r i r * r j> l j 

précédentes tions des règles précédentes ,4uppolons a abord 
* "" ^^^c*"- qu'on ait l'Equation jr' -+-3^ — j^-|.25'=o 
à réfoudre; on commencera par faire évanouir 
le fécond terme de cette Equation , ce qui fe 
iera fuivaït l'article 11. en fuppofanc y=:x — i 
^ & l'Equation délivrée de fécond terme que 
l'on aura par cette fubftitution fera x^^-^ôx 
'-f-3oc=o qui étant comparée à x^'^fx-+-q 
s=o donné jp= — 6 & <î=3o. 

Ces valeurs étant fubilituées dans. • • . . • • 

Vi^^-f-rfpS cette quantité devient y/21'j 
qui eft une quantité réelle , ainfi la formule 
de l'article vi doit donner en ce cas la valeur 
cherchée de x. N.-» 
Faifant donc dans cette formule V^ 



3 -^ 



les fubftitutions de ij pour^^ & de >/2i7 
pour V^iî^'+Typ' cette valeur générale de x 



ly' A LG E B R E. * 277 



^^ 



'.'devient v^—ijr-Hv/217 — \/i^^y/2\j qui 
eft la feule racine réelle que contienne l'Equa- 
tion a:'-— (ÎAr-+.3o=0 , & qui ne fçauroit 
être réduite à une plus fimple expreflîon ; • 

fubftituant enfuite cette valeur de x dans 
1 Equation y = x — - i , on aura •....-, 

y— y/ l^^y/2l^ ~Vlj'-H\^2l7 i , 

pour la feule racine réelle de l'Equation pro-* 
po£ée y^-^^yy — ^5j;H-2j'=o. 

XVII. 

Si on avoît une Equation du fîxiéme dé- Autre exem. 
gré , où rinconnue ne fe trouvât à aucune ^^itit^e z- 
dimenfîon impaire , il eft évident qu'on laquationdu 
réfoudroit par la même mét)>ode que la pré-- ^féS-^ rt 
cédente , puifque cette Equatton le réduitoit duit au «oi* 
toijt de fuite au troifiéme degré par une trans- ^'^°*^' 
formation ; qu'on eut, par exemple z.^-^^z.^ 
•4-3P^<-+-yj'=»o^.en regardant «. comme 
1 inconnue de cette Equation ,& fuppofant , 
fuivant les principes {précédens zx, égal à une 
nouvelle inconnue x moins le tiers du coeffi- 
cient dtt fécond terme , c'eft- à- dire z,z;=zx . j , • ^ 

on changera cette Equation tvix^-^\2x .g 

rg^qui n'cft que du troifiéme degré & qui 
,J^ point même de fécond terme. 
\. C gjPparant alors cette Equation avec xt 
\ 4-^}pI%i;^ =o , on a p =x=i 1 , ^3= — 8^ Se, 

partant V^f^L^^ ^y/^o tfoù ^ ou . . • 

o ■* • 

s ii|. 



^78 E L E M E N S 



i' 



V^4.-|«v^8o — v/ \/8o— -4, & comme, par la 

, fuppoiîtîon ;w: ==a:— -3 ou ;?:==\/:»;— — 3 on 
aura a^ors l'inconnue cherchée • • 

^=« 3^1^^/4-^.1/80—- >/ v^ 80 — ^4 — ^3 & 
les deux valeurs que cette expreflîon donne 
en prenant le radical en -+• & en — font les 
feules réelles des fîx que doit avoir l'Equa- 
tion propofée. 
Bqaatîons En général qu'on ait une Equation telle 

plus élevées ^„ ^y^ „ 

riro^cnt q^f ^ -ï^^^. r^^^ H-r=oonlaré. 
«uâi. duira tout de fuite à une du troi/iéme degré Se 

m 

fans fécond terme en faifant X sc=:;c— 'j^r. 

XVIII. 

Suppofons préfentement qu'on ait l'Equa- 
tion ^r'-f-jAT— -4=0 à réfoudre, cette Equa- 
tion n'ayant point de fécond terme , on peut 
tout de fuite la comparer à ;c*-;-pArH-ç^=o , 
& l'on a par cette comparaifonp=3 & ^5= — 4 
& comme p eft pofitif , on voit par Tarâcle 
XIV. que la formule générale de l'article xî* 
doit encore réuffir dans ce cas ; fubflituant felT^ 
effet ces valeurs de p & de ^ dans cettefor- / ^' 
mule générale .*r^=3K 

on a pour la feule • valeur réelle de x , 



lyALGEBRE. 279 

V 2 -H v^ J — - v^' — i-^y/^.Sï l'on applique 
préfentement à cette expreffion Ja méthode de 
la quatrième Partie , art. xxx v, xxxvriu & xli. 
on verra qu'elle /e peut aifément réduire, parce 
que2H-\/y cft le cube de {-Jh{V s^Sc que — 2 
-Hl/J eft celui de — r-t-i/y. D'dù cette 
valeur de ^ fe réduit à l. 

On auroît pu parvenir à cette même va- 
leur de X fans la formule précédente en em- 
ployant la règle de la troifiémc Partie, article 
XII & xiii. car on auroit trouvé que x — i 
étoit un divifeur exaft de la quantité x^-^^x 

XIX. 

Soit maintenant propofé de réfoudre 1'"^- .^^^^"^^ 
quation ^'^— po A- — 5^8 =;o. En comparant dans lequel 
cette Equation âTEquation générale ^'-hp-Vdci?rrvl 
' 1 7 o on a p=— po & ^= — ^p8; or peftinCuia-' 
étant négatif & tel que ^jV^ eft plus grand que ^^''^^ 
4^^ l'Equation propofée eft de celtes, qui ne 
peuvent pas fe réfoudre par la formule précé- 
dente. Je chççg^e alors par la méthode de la 
troifiéme Partie, art.xii &xiii fi elle n'aura pas 
quelque divifeur , & ayant jeconnu qu'elle 
n'eg^ a point , je me fers de la méthode cn- 
, fe^née article x. pour trouver une valeur ag, 

^^rochée. / . , 

' . - la ^{^ cela, je commence par fubftituer pour p. AppUcatic» 

^ a flf leurs valeurs — qo & — ^98 dans la formuler ^^^.^^j'^^* 

, * / I ^ ^ ' de de 1 arti* 

. générale cie x peur 

j . — S i - " ' approcher 

& j'ai , , ^* 



XÎ6 E LE M E N S 

i • 



qui étant comparé a l'expreflion , 

y/^a^h}/ —1 — V^-+-^ V —I , laquelle 
ctoit devenue ( article x. ) la fuite infinie 

donne <^5=— 4p,^/ s^H-^^y^p, qu'il nç 
«'agit plus que de fubftituer dans cette luite 
infinie. 

Pour faire cette fubftîtution , je commence 
par prendre la racine cube de i^S^Ç afin d'a- 
voir bl , l'opération faite , j'ai environ 2p, 08 
pour cetle racine cube, & partant •,. ».,. 
%»- ^a 3>« ibooo 

•—77- pu î ed environ "*— ^ — • 

Quarafit enfuite i^^& le èivifant par bh^ 

j';u pour ^ environ o , op7(J , dont le quarré 

o, oo^yi eft U valeur de ^ , quant à U 

valeur de |^ ^ «Je des pui/îances plus élevées , 

çlle eft inutile dans cette fuit^ dont la mai;^he 
left afTez prompte, ^^ . 

F^ifant glors les fubftitutions des valeurs de"^ 

£j f T^ à la place de ces quantités , j*a\ envîîf 

l'on T^i ,104 pour la valeur ^e x donnée 
par fe formule ^e T^rtiçle vx ^ fi pn veut avoir 



n'A L G E B R E. iSi 

les deux autres valeurs de x qui doivent auffi 
être réelles , fuivant Tarticle xiv. il n^y ^ qu'à 
divifer TEquation a:^— pOA; — p8 = o par 
AT-f-i , 104 qui eft à très peu de chôfe près , 
fuivant ce que Ton vient de voir, une de fes 
racines. La divifion faite ,on a pour quotient 
XX ''^i , 104^ — 88 , 781 , & pour refle 
O ,oii}.2 q;iantité affez petite pour être négli- 
géc , de forte qu'on peut regarder l'Equation 
XX 1,1 o4Jf— 88,78 i=o,comme le quotient 
cxad de la divifion de a;'— -po^ — ^p8==o par 
X'-t^ 1 , 1 04 , & comme le produit des deux 
racines cherchées, Réfolvant donc cette Equa- 
tion *on a pour les deux valeurs de x qu elle 
donne a:=o, SS^'^y^9 » 0857, c'eft-a-di- 
re -+-p,99o & — 8 ,.886. 
^ Ainfi les trois valeurs de x dans PEquatîon 
propofée x^ — pOA:— -p8=ô' font à peu près 
•—I, 104; -4-9, 990; — 8,886. Quant aux 
valeurs exaftéis aucunes des méthodes connues 
jufqu'à préfent ne fçauroient les faire trouver, 
& toute Equation qui ayant , comme la précé- 
dente , fes coefficiens rationels n'aura aucun 
divifeur rationefTTera de même irréloluble par 
ces méthodes lorfque —p' fera négatif & plus 
grand aue:j^^. 

/ XX. 






^ La méthode que nous vendhs d'employer .inconre- 
' pc^" fSTcîudrc par approximation les Equa- proximttioa 
tions du troifiéme degré dont les trois racines '^"C^sn^c, 
font réelles , a cet inconvénient que lorfque""^ ^' 
a diâTere peu de b^ les termes de la férié qui 



aSt ELEMENS 

exprime la valeur de x décroiflent fi lente- 
ment , qu'il en faut un très- grand nombre pour 
approcher un peu exaftemfent de la vraye va- 
leur de' X , & que par conféquent les calculs 
deviennent extrêmement pénibles. 11 eft donc 
a propos de chercher quelque méthode plus 
généralement commode dans la pratique. 

XXI. 

fh^c'^d'T^^ Dans cette vue, je reprends TEquatibn ^* 

proximation -+-pA:-l-^sr=0 OU plutôt X^ p;i:-4-^=JO ( leS 

fadfcdansk ^^^ ^"^ échappent à la méthode de larticle vi. 

pratique. ne fe trouvant jamais que parmi ccuxoirp eft 

négatif ) Se je me propofe de lui donner cette 

forme V — zj=r qui eft plus fîmple à caufe 

qu'elle ne renferme qu^un terme d'indéterminé. 

Afin de faire cette transformation , je fais x 

t=mZi ce qui change l'Equation ^'— p.v-t-^ 

t f 

e=o en j^' ^= — — qui m'ap- 

mm i»J * 

prend qu'en faifant m=i -— %/p > fî ^ eft po- 
îîtif, & m=i%/p fi ^ eft négatif, je donnerai 
toujours à TEquatioa a:^— ^a'-+-^=30 la for- 
me ;c' — si=z^r. 

Je remarque préfentement que fi cette Equa- 
tion eft de celles que la formule de fétide 
VI. nr fçauroit réfoudi'e , il faudra nécfcnii^- 
' rement que r foit plus petit que -^V^onV—f 
Se qu'en même-cemy il y ait une des fSCtttSIf^ûi 
foit pofitive & plus grande que l'unité , mais 
moindre que |/j,* car fi i. furpaftbît V'f on 
auroit pour r , c'eft-à-dire*pour z^r—z. plus- de 



D'ALGEBRE. 183 

V^5 & par conféquent TEquation ;^3-i-.z^=r 
feroit du nombre de celles où la foringle de 
Tarticle vi. réuflît. 

Cela pofé , je fais ^=i-^./, & fubftituant 
cette valeur dans TEquation <* -~ y, — r , elle 
donne 2cr-+-3«r/-+-/'=r, dans laquelle je 
remarque que «T étant une quantité toujours 
plui petite que y/^ — i , c'eft-à-dire plus pe- 
tite q.ue^o, xjx^fon cube eftplus petit que 
o, 0037. Or ce cube étantdonc fî petit , je vois 
qu'on ne peut pas commettre une grande ef- • 
reur en négligeant le terme /» dans TEqua- 
tion i/-+-3/<r-+- i^'=r , c'eft-à-dire en fe con- 
tentant de refoudre TEquation i(r-4-j//=i=r. 
Je réfous donc cette Equation , & elle me 




donne J'ïŒ -f-V^-+.|r — 1==-^ 

& par conféquent < OUI -4-J!iF= ^^^^"+"3^ 

ou fimplement :<xssi i+i/i+^r ^ puifque des va- 
leurs dé K.y on Érc*cherche que celle qui fur- 
paffe l'unité & qui eft pofîtive. 

Pour fçavoir à quoi peut monter Terreur 
qu*oD>/^ommet dans cette méthode , en négli- 
Ç^'^Ii le terme J^ ^ prenons le cas où ce ter- 
^ lie eft le plus grand , fuppofons que -c ou 
^i^*} ^ "- ^^ Vfi ce qui ne^ peut jamais arriver 
tant que TEquation propofée eft de celles qui 
échappent à la méthode de l'article vi , nous 
auroiis alors rs=:j\/|, & notre méthode 



a84 E LE MENS 

BOUS donnera pour valeur de ^, — 

au lieu de la vraye valeur v' j . Or il ell clair 
que ces deux quantités ne différent entr'elles 

que d'environ cmc ^ donc la plus grande 

erreur qu^on peut commettre , en prenant 

*- — — pour la racine pofîtive de TEqua- 

Xa méthoik • , i ^ 

qu'on vient tion -^î— -;u=r , ne va pas a — — «ne , fî cet- 

d'enfcigncr looo 

bord^/'*" te Equation eft de celles que la formule de 

erac J'^fticle VI . ne fçauroit réfoudre. | 

pre^au ' Ayant calculé la valeur de ^ par rexpreflîon ! 



moins. 



2<4-y^ I "4" ? r , 

il faudra la n^ultiplier par m pour 

avoir la valeur approchée de x. 

•XXIL 

Si on ne trouve pas que cette réfolution de 
TEquation propofée apprcjche aflfez de la vé- 
ritable, c'eft- à-dire qu'on r<ftgarde les erreurs 
qui pourroient aller aux environs d'un millième 
comme trop confidérables , rien ne feça plus 
aifé que de trouver une autre valeur de\" ra- 
cine beaucoup plus exaâe , par une opéraftïy^^^ 
fondée fur les mêmes principes. Ayant calcul e 
cette première valeur de x , & l'ayant nommée 
pour abréger i^, on imaginera que la correc- 
tion qu'il faut lui faire foit e , c'eft- à-dire, 
q^'on fùppofera que le véritable xioitkc^^i 



ly A L G E B R Ë. agj* 

fubffituant alors cette quantité pour x dan» 
r Equation x^ —^p x-^<!it=o, l'on aura . . • 

^'•+-3^* ^-+-3^ e*-+-«'-^p*— PêH-^=o ou 
fîmplement it^-Hj k* « -H3 k g* — p ^ — p g --t-<j 
st=o en négligeant le terme e^ qui eft bien 
plus ;iégligeable que ne l'étoit le terme /^ à 
la première opération , puifqu il eft infiniment 
plus petit > réfolvant alors cette Equation 
la valeur de g qu'elle donnera fera la cor- 
reftion qui étant faite à la premiers valeur de 
X en donnera une féconde infiniment plus 
exafte. 

Si on n'étoit pas encore content de cette 
féconde , on en trouveroit une troifiéme en 
nommant la féconde valeur /,. & fubftituant 
/-HP à la place de ^ dans l'Equation propofée 
Xi — p ^-t-^=o , & ainfî de fuite. 

Mais bien loin qu'on ait communément 
befoin d'aller à des correftions fi rigoureufes, 
on pourra très-fouvent fe contenter de la va- 
leur de X trouvée en premier lieu , où tout au 
plus il fuffira , après la fubftitution de it -f- « 
pour^r dans l'Equation x^ — pAr-+-^=:b, de 

réfoudre l'Equation ]f' -f- 5 it»g — pk pg-f-^ 

s=o , c'eft-à-dire de négliger outre le terme 
é ^ le terme j k 1», parce que ce terme eft déjà 
très-peti^^ 
.,.'< XXIIL 



"Faîfotilj^^éfentement quelqu'appUcatîon de At»pii 

cette méthode , foit par exemple l'Equation ^^"^^^ 

\cJ~<s=;|. En fubftituant -j pour r dansèxcmi^î. 



icatiofi 



a8^ E L E M EN S 



Texprdlîon — — . , elle deviendra .J-I — 

c'eft-à-dire environ i, 138 qui eft un peu plus 
grande que la vraye valeur de ;c; mais qui 
Teft de bien peu , puîfque i , 137 , comme on * 
le peut voir aifément par le calcul , feroit 
trop petit. 

Pour approcher plus exaftement de la vrayc 
valeur de k, on fubftitura l, i jSH- f à la place 
de 7L dans l'Equation ^»— <==:y , & Ton au- 
ra o, 00x4.1673^-+-^» 88^132 fc=o en né- 
gligeant les termes afièftés de «* & de «^ Cette 
Equation étant réfolue elle donne t s= 
-— 0,000841, &partant pour la valeur de^ 
corrigée 1,1 571 5 9. Si on avoit voulu faire 
cette corieftion plus exafte en np négligeant 
que le terme afFedé de «? , on auroit réiolu 
rEquation o , 0024^6739 -+-2,885131* 
H-3 , 414 «* ==0 , ce qui auroit donné la cor- 
rcôion é= — 0,000841836 , ceft-à-dire 
pour^c corrigé i, I37ij8i64. 

XXLV. 

Autre . Suppofons préfentement qu il s'agîfle de 

exemple. j.éfoudfe de TEquation x^ — ^^x-J^^^—o^ je 

fais ;c=— xVlj> & elle fe chang^^Kîn .• 

f S ^ 
;c'— -^;= • — : — , égalant donc r a — ^ dani» 

la première valeur approchée .L—LjI de ^ 



— ^ 



ly A LGEB KE. ^87 

cette valeur devient ^J^JL ^ ^ ^u^ 

donne par conféquent pour x 

. V^i3 ^ . 

3 j c'efî-à-dîre environ . .. 

—-3,784; fi on veut avoir une valeur de x 
plus exafte , on fuppofera x=z — 5 ,784-+- e , 
& on fubftituera cette valeur dans l'Equation 
^ — i3-^-+-j=o, & Ton aura en négligeant 
les termes affeâés de 6* 5ç de e' l'Equation 
o,oioio5(îp6-H2p,p;;97£=o qui don- 
nera fs=: — 0,000341 , & par conféquent 
•^^='; — 3*784}4i vialeur plus exaéte que la 
première. 

XXV. 

Après avoir montré la manière dont on par- R^folutio» 
vient à la folution des Equations du troifiémedonlénL- 
degré, voyons maintenant les moyens Gu'ili<^^^'5"^"i^* 
faut employer pou? réfoudre celles du gua^ *^' '^''^''^' 
triéme degré. 

Prenant d'ab3rd une Equation générale j>^ 
•^ay:^by^cy^d=iO pour repréfente^ 
toutes les Equations du quatrième degré , on 
réduit bien-tôt la difficulté à ne réfoudre qu'une 
Equaxrôn*^repréfentée par ^^-4-p^*-4-^:^-+-r 
8=0 en faifant y=z — j a, Enfuite pour ré- 
foudre cette Equation , ce qui paroît de plus 
fîmple , c'eft de la regarder comme le produit 



a88 ÉLEMElSrS 

de deu)c Equations du fécond degré , ic àê 
faire en forte que la détermination des coefR- 
cîens que doivent avoir les termes de ces 
Équations du fécond degré ne dépende que 
d'Equations plus ailées à réfoudre que la pro- 
pofée. 

Soit pris d'abord <^-4-.v^-f-f=o pour l'une 
de ces Equations, il eft évident que l'autre de- 
vra avoir pour lecond terme — -^<. 5 puifque le 
produit de ces deux Equations doit donner 
une Equation dénuée de fécond terme ; foit 
donc pris pour cette féconde Equation k.z 
— ;c;c-4-/=o en multipliant ces deux Equa- 
tions Tune par l'autre > on aura. .4 « 

qui étant comparée avec la propofée dontte 
pour déterminer s^ t y x^ les trois Equations 

Pour faire ufage de ces trois Equations , 
je multiplie la première par ^ , & je l'ajoute 
enfuite avec la féconde Equation , j'ai alors 
2SX — xi=zfx^q y d'où je tire J=i 
q+px + xi 

-*— que je iubftitue dans l'Eguation 

tsss=r y ce qui me donne f= — — • ♦ 

Or ces deux valeurs de / & de ^ étanrmifes^ 
dans l'Equation sx^-^-txscséj , j'ai enfin • . . . 

— — rr- ==î ou ..• 



— -fcij.y' tion d*une 

Equation du fîxiéme degré , quî par la mé- fStc'' 
thodede 1 article x Vin fe change en une àn^^^'H^' 
troifiéme , d^où la difficulté L Equations S^^^^^^^ 
«lu guatnérae degré eft réduite à celle du *'^^^"'^* 
troifiéme. Car cette dcrni^ere Equation ( qu'on ^ ^ 
.appelle la réduite) étant réfolie, on n\u^^Er:^fprI: 
qua fubflituer la valeur de x qu'elle donne ^^*'^*^**^'«* 
dans les Equations 'C'C-*-^-;»:^-4-/si±to, ^^ 

^XK^ttSszO ou plutôt J<.Z^^XJZ^l.xX 



latîons, ou 
!a valeur d e 

jc dans les racines -csasf^ -♦-V— :^JtfAr-.if — . JlJ 



■fc=o, & réfoudre enruitc ces Equations, ou 
ce qui revient au même fubflituer la valeur de 



«Cisa:— i^H^V -il-. -Hi** de ces 

X * 

deux Equations, & Ton aura les quatre raci- 
nes cherchéeïde'^rEquatiott ^^^-f-p^a-f.^^ 
■ I ^ i - Oi &f>artant celles de l'Equation pro- 
pofée jr*H-^j^'-+-^)^*-hry-f-.jrf===o qui Tavoit 
produite* ' 

XX VL- ^. ,^ . ^^^ 

" • . \. , • 

11 paroît d'abord par Texprefliott de ce« 

valeurs que dans, le quatrième dé^é ainfi que 

dans le troifiéme , on ne Içauroit arriver à une 

Teule exprèïEôn 'pour toutes "les racines de 

T 



apo E L EM E N S 

l'Equation. Cependant fi on remarque que là 
quantité x que renferment les deux exprefHoas 
-précédentes ç& ncceflàirement un radical quar- 
Dans ic(jaa* ré , puifqu'elle eft venue de la réfolution d'une 
«rl^i^^r^^ Equation où *• a toujours une dimcnfiôn paire , 
primer Ici on Verra faiîs peine que chacune des exprel- 
S«ïr/Ûnc fi<^n« précédentes peut défigner quatre racines, 
féale foimu- la première s'écrivant alors ainfi •••••»» • 
ifi. ^ ■■■ ■ 



féconde <=4Z^;r+;^V ^•^•*' — 

Ces deux Equations paroîflant d'abord diflë- 
rentes , on peut craindre de s'être trompé dan^ 
le raîfonnement précédent , puifqu*il femble 
mener à. une abfurdité qui feroit d'avoir huit 
racines pour une Equation du quatrième dé- 
^ré ; mais il eft aifé de voir qu'elle n eil qu'apr 
parente , car l'identité de ces deux expreffions 

fc réduit à celle de V \xx^^ » * 

■ ^^ X 

de V — \xx — 7p::+:-i , ceil-à-dire de 

zx 
i— |-;f;ir— ^pl+^i- &de 




Fidentîté de ces deux dernières quantités ne 
fçaûroit manquer d'avoir lieu auffi-tôt que x 



1.- j 



t étté déterminé par VE^nmon x^'é^n^^ 
•+-p* x^^'^f^s^O , fuifque cette Equation fc 

tire tout de fuite de Tcgalité de r- 'r r- 'f 

^ « & de îl— • 

^x+f + X 

XXVIL 
!Des deux expreffions précédentes , la pretnîé* 

re «a=s-<-iA?;4-V*— ^4r;r — îf Hh — étant h 

plus aifée à employer fera celle qu'il faudra 
iCHoîfîf , & les quatre valeurs générales de « 
qu'elle exprime à la fois font ^ 



4^-f-V~^^^--|p-^l- 



f*— y— i^-*"— îp— ^ 



!::=— f*-HV-^^^-4pH- -f; 



.4 

XXVIII* 

Comme TEquavon d^où Poti tire la. valeur 
de X donne nécellàiremeat trois valeurs de x 
précédées du figue i^ , & qu'on n*a aucuiié 

Tij 



spa E L E M E NS 

raifon pour préférer Tune de ces valeurs lut 

autres 9 que d'ailleurs on içaît qu'une £qua« 

tion du quatrième degré ne Tçauroit avoif 

On |rriTe p}^g Je quatre racines , il vient aiTez naturel- 

Mcinc$d*unc lement dans Tefprit qu'on peut indifféremment 

Equation da employer celle qu'on voudra de ces trois va* 

dégré^^cUc leurs de x précédées de ^t * ^ ^'^ ^^^^ cepen- 

qucfoitceUc jgijj toujours la même expreffion pour les 

des racines i i j ^ 

de la réduite quatre Valeurs de ;c. ^ 
qu'on ait u^^^ quoiqu'après avoir un peu réfléchi fur 

^' ^' la théorie des Equations ^ on ne puiflè gueres 

douter que cela ne foit ainfl ^ on doit fou- 
haiter de s'en alTurer par le détail du calcul. 
Pour y parvenir , ce qui fe préfente le plus 
naturellement , c'eft de trouver les trois va- 
leurs de X précédées de -t- que donne l'Equa- 
tion ;t^+ipi*H-pp:t*— -^»=0 , & les fubftî- 

— 4r 
tuer enfuite l'une après l'autre dans l'expreflion 



«.= -f-i;f-f-v^ — ';^;^_^|p::pl-afinde 

reconnoître l'identité des trois différentes ex- 
preiCons qu'on auroit par ces fubftitutions ; 
mais le calcul que cette méthode demande- 
roit eft fi long , qu on ne fçauroit fe réfoudre 
à le fulyre jufqu'au boutr Voici une autre 
manière de parvenir au même refultat. 

Je remarque d'abord que quelle que foit la 
valeur de x que je fubuitue dans l'expref&oa 

générale ^^*=i'±:{x^^m^]^xx — ^pip-^. 



lyALGEBRSr. ipf 
Its quatre valeurs de t exprimées à la fois 
par cette quantité pourront être rcpréfentées 
par i-i^k,i — ki—i-^l.,. _ii./:ouce- 
OUI revient au même que les quatre racines 
de 1 Equation <*-hpz<-i~qz^^=o pour- 
ront être repréfentées par i p-^k, ;c^_z-+-*, 

^H-' — ^/,*4- »■-+-/; i défîgnant alors la 
partie 1^* de la valeur de <, & A & / les deux 

quantités V — ixx — 'r. ^ & . . 



V — ^^;v— lp-i-1- , multîplîant dojic ces 

Guatre «jracines les unes par les autres , j'aî 
1 Equation 

kk '+^iilt iikk 

— // — au 

3 m étant comparée à ;L4-+-p«.-+-^^'+rs=a 
onne les Equations 

r = i^ — iikk — iill^kkll 

par lefquelles TEquation Ar<-+-ipx*Hrpf-«^ 

.-^ 

— gf»s=o fe change en 

— !«// — 4«/^ 

dont les racines font ;r==:Hhi i ; Artsa -4-1^-4-/^ 
^=Ht.^H^/j or fi qn fubjftitue préfenté- 
ment celle qu'on voudra de ces valeurs de x 

Tiij 



a94 E LE M^E N S 

^ans les quatre cxpreffipns contenues daos . ji 

<=»±T^±V^-^*''^^~^;7 ou plûtôt^ 
dans . . . ^ . * >»*«»'»«■ « ■ * ^ ^ ^^ 

on verra qu'il en viendra également les quatre 
valeurs de ;cî i-+-^ » i-^*> — t-^-/, — i— /. 

• • XXIX. 

: Outre que par le moyen qu'on vient 
^'employer , on s'afliirc qu'U eft indiffèrent de 
prendre celle qu'on veut des trois racines de 
ta rédyitç x^^2^x^-^ff xx — ^^ =0j pour 
^^ 

la fubftituer dans FEquatîon -t^S-p^* •+•?«. 

^rsssoion a en mêmie-tems Tocçafion de faire 

une remarque importante fur les Equations du 

quatrième degré ; c'eft que Içurs racines font 

J^nfEquâ- toujours OU toutes quatre réelles , ou toutes 

riouduqua- quatrç imaginaires , ou bien, que deux des qua- 

gr'|5^f/tou, tre racines font réelles & les deux autres imagi- 

fcs récuçt naires. Car il n eft pas poflible de faire d autrei. 

fmagSrcs fuppgfitîons pour les quatre racines deTEqua- 

oa deux tion donpée > auffi-tôt qu'on efl afliiré, comme 

Sx îmf^ on vient de Têtre , que ces quatre racines font 

gi^aûcf. toutes exprimées à la fois par la formule , « « 



ît ji L G E B R E. apj 

XXX. 

En voyant cette valeur des racines des Equa- 
tions du quatrième degré, on croîroit d*abord, 
a caufc que x eft un radical quarré , que lorf- 
que que quelques-unes de ces racines font ima- 
ginaires , ce pourroit être des imaginaires d'une 
autre nature que ceux du fécond degré , c*eft- 
à-dire qu'au lieu d être iîmplement la fomme 
d'une quantité réelle & delà racine d'une quan* 
tité réelle, mais négative , telle par exemple 
qu'efl rf-hV — i» ce pourroit être des quan-?'^»'.*"?^* 

*. , ri 1 • • • • y imaginaiics 

tités compoiees de racmes imaginaires lim- du quatrième 
pies & de la racine d'autres quantités en par- ^^sré/ont 

■*,,„-, . . . * . *^ - de même na- 

tie réelle oc en partie imaginaires comme le- ture que cei^ 

' '/ jf . lcfdu(ccQn«* 

roit V — i-+-\/^^-|-v — * , mais on peut 
s'aflurer aifément que toutes les racines ima« 
ginaires du quatrième degré peuvent fe ré- 
duire, ainfi que celles du fécond > à la fomrne^ 
de quantités réelles & de la racine de quan- 
tités réelles & négatives. Car ayant vu tout 
à l'heure que lorfqu'on veut trouver la va- 
leur de z. on peut choifir à volonté* entre les 
valeurs de xx que donne la réduite , & re- 
marquant d'ailleurs par la théorie des Equa- 
tions que cette réduite qui a toujours pour 
dernier terme pu produit des racines, u6e 
quantité qq négative ,, doit par conféquent 
avoir ncceflairement une valeur de xx pofiti- 
ve, on verra que ^pourra toujours être une 
quaatité réelle > & qu^ dans ce cas lorfc|ufi 



^$6 ' E L E M EN r. 



V'— *^4r^— tp-H— fera îmagîriaîrc , ce ne 

iera autre chbfe que la racine cf une quantité 
réelle & négative, 

XXXI, 

j.orfque des ^^^ ^^^^^ remarque que peut fournir encore 
quatre raci- l'art. XXVIII. c'eft que toutes les fois que des 
fom^rée^cs ^^^^^^ racines deux feront imaginaires & deux 
acdcuxlma- rédles , la réduite ^r^H-apAr^-f-pp^p* — qq=sio 

^inaires ) on tA jr 

iréfoutcxac-^ t t^ . ^ /^ 

tcmcnt i'£- Icra ûu nombre des lî-quations exaftement ré» 
^q^tion, foij^çj p^p i^ formule de l'article vi,c*eft-à- 
dire qu'on arrivera alors à la folution com- 
plète de l'Equation j^^^^^^tl^^^z. 



faUc lÔrfquc ^" contraire lorfque les quatre racines feront 
les quittera. OU toutcs récUcs OU toutcs imaginaires TËqua- 
loutcs^réVucs ^^^^ réduite ne pourra pas le réfoudre par la 
pu toutes formule de l'article vi , & par confequent 
impiPêiws. l'^jj ^g parviendra pas par ce moyen à la folu-» 
tion de l'Equation -t^-+-p-c'-Hf ;?:■«+■ ra=:o. 
Ces deux vérités fe tirent de ce que la réduite 

ill -^iull -4- SiikkU 

0ft le produit des trois racines a-^;— 4if% 

Funedés deux quantités k oui feulement e(t 
imaginaire les deux racines xx-'-^kk.^^^kt 
mmll ^ ^^'^khr^zH ^U font imaginaires , Ôç 



VALG ËBR E. 297 

par conféquent la réduite eft alors réfoluble 
par la formule de Tarticle vi* 

Si au contraire k 8cl font toutes deux réelles^ 
eu toutes deux imaginaires , les trois racines 
xx-^^ii, xx^kk'^2kl'^ll 9 XX— kk -t-2 *^ — '/ 
de la réduite feront toutes trois réelles , & par 
conféquent la formule de l'article vi ne pourra 
par les donner , ainfi dans le quatrième degré 
comme dans le troifîéme > les formules de la 
réfolution ne fçauroient s'appliquer qu'aur 
Equations qui ont deux racines imaginaires. 

XXXII. 

Lorfqu'on aura une Eauation du quatrié- ji^niere de 
me déffré à réfoudre & quon aura formé par ^^"8"^'^^ 
ton moyen la réduite x^ — 2px^^/)p;if*—(jf racines réci- 

- 4, ^ les de celui 

«bO , fi on trouve qu'elle échappe à la for- ij^guaix^s, 
mule de l 'article vi , & qu'on fe propofc de 
fçavoic fi alors les quatre racines font réelles 
ou fi elles font toutes quatre imaginaires 9 
on y parviendra aifément en partant des deux; 
réflexions fuivantes ^ui fe préfentent a0èz na- 
turellement en examinant la réduite de î'arti* 
çle xxviii. 

1 ^. Lorfque les quatre racines font réellef 
la réduite 

if*î 4iix^'^%iikk X* 4^1** =o ou 

ikk -+-^11 ^liikkll 

— *// • H- A4 4/,74 

•^xkkll 



ip8 E LE MENS 



Conditions »*^— * X xii-^kk -^W X *^+8«XitH-// +k^—U X *• 

minM^réd- —4» *'x * A— // r= o » néceflàiremebt un fécond 
*«• terme négatif & un troifiéme terme pofitif , 

puifque -. z x lii ^kk^U ne fçauroit être 
nî zéro nî pofitif tant que i, it, /, font des 

quantités réelles , & que Siixkk^n -^ kk—U 
ne fçauroit non plus être ni zéro ni négatif 
dans les mêmes conditions. 

a^. Si au contraire les quatre racines (ont 
imaginaires , ou ce qui revient au même ûkkSc 
Il font négatife, la réduite qui doit alors s'é- 
crire aînfi 



,« 4«*4 iiikhc» 4/ii* r= o 


on 


-f-ii* iiill -t-iiikkll 




-+-»// -H** 4«i/* 




tkUl 




■+-1* 





fr'i!^\^*'-:^«^**-« ne fçauroit jamais avoir 
à la fois , &.le fécond terme négatif & le troi- 
rne pofitif. Car fi kh-+-U eft plus petit que 2ii s 
ce qui rcndroit le fécond terme négatif, le 

troifiéme terme kk j^U x itit-H//— 8 ii^^kkU 
fera néceflàiremcnt négatif. 

XXXIIL 

Toute Eqoa- L'infpeftîou de TEquation • • ; . 4 . . • . 
tion du qua- zj^ — 2 î î ;c* — 2 î it * -^ _ &c. dounéc dana 

trieme degré j, t, . . / / 

fexme^ de qui ...^ // 



If ALGEBRE. app 

le même article xxviii. fournit une remar-aictrwfitoc 
que , pai" laquelle on peut reconnoître en quel- jaclws 1n»î' 

Îjues rencontres fi une Equation qui doit avoir gUuUti. 
es quatre racines ou toutes réelles ou toutes 
imaginaires , efl dans le premier de ces deux 
cas ou dans le fécond. C'efl que toute Equa* 
tiondu quatrième degré dont le fécond terme 
eft évanoui , & dont le troifiéme t& pofitif » doit 
avoir néceilairement des racines imaginaires ^ 
puifque le troifiéme terme de toutes ces Equa- 
tions repréfenté par — 2«-H**-f-// x ;;,^ , ne 
fçauroit jamais être pofitif tant que », kk » 
Il , feront pofitifs : c*eft-à-dire tant que les ra- 
cines feront réelles. Or , dès qu'on fçaura 
qu'une Equation du quatrième degré a des 
racines imaginaires , & qu'on aura reconnu 
d'ailleurs qu'elle doit avoir (es quatre racines 
ou toutes réelles ou toutes imaginaires » on 
ne fera plus embarrafle à fçavoir lequel de 
ces deux cas a lieu. 

XXXIV, 

Lorfqu'on aura reconnu que les quatre ra* 
çines d'une Equation du quatrième degré font 
réelles , avant d'entreprendre de réfoudre par 
approximation fa réduite pour avoir la va- 
leur dç :r à fubflituer dans celle de ^t; il fera 
à propos d'examiner par les méthodes de la 
troifiéme Partie fi quelques-uties de fes ra- 
cines ne feroièht pas commenfurables* S'il n'y 
en avoit qu'une , on n'en feroit gueres plus 
avancé pour avoir les trois autres » puifque 



joo ^ E LE ME N S 

alors il rcfteroit à réfoudre une Equation da 
troifiéme degré , dont les trois racines fe- 
roient réelles. Mais fi l'Equation du quatrié- 
nue degré avoit deux racines commenfurablesy 
elle feroit réfolue audî-tôt que ces deux ra- 
cines feroient trouvées , parce qu'alors il ne 
refteroit plus qu'une Equation du fécond dé- 
gré à réfoudre. 

XXXV. 

Avantage Lorfqu'une Equation du quatrième degré 
J^chcrchcT* a deux racines commenfurables , on peut les 
les divifcurs reconnoître plus aifément par fa réduite que 
SnwdaLTia par elle-même , car il eft clair alors que dan», 
réduite plu- les quatrc valeurs de z. repréfentées gêné- 
Up?oM'c"'-«l^™«''t par i H- i ; i — iL ,• — » -f- / ; 
m^i—^I;i ne pourra jamais être quune 
quantité commenfurable , Se partant dans la ra« 
cine xx^^ii de la réduite , ^ii repréfentera 
une quantité quarrée & commenfurable ; or 
par cette réflexion on peut diminuer beau- 
coup les tentatives néceflàires dans la méthode 
de la troifiéme Partie ^ article xii & xiii puif* 

3u'il ne faudra chercher dans les divifeurs du 
ernier terme qu'une quantité quarrée ^& prife 
avec le figne -r— . 

11 en feroit de même fi l'Equation XM^pz^ 
-h^^ I r o devoit fe décompofer en deux 
Equations du fecodd degré dont les coefR- 
ciens fufiènt commenfurables , au lieu d'en!*' 
ployer alors la méthode de la troifiéme Par- 
tie > article xix t il faudra employer celle 
de l'article xii & xix i pour chercher les divi« 



^ iy A L G E BR E. 501 

leurs de la réduite » &: ne choiiîr parmi les 
divifeurs du dernier terme que les quantités 
quarrées & afièdées du figne '*— . 

XXXVI. 

Lorfqu'une Equation où ^r eft au quatrié* 
me degré à deux racines commenfurables ou 
qu'elle cft Amplement compofée de deux di- 
vifeurs de deux dimenfions ^ on peut dire 
qu'elle n'eft pas véritablement du quatrième 
degré , & il eft bien iimple alors qu'elle Te 
réiolve par la méthode du fécond degré ; mais 
il y a des Equations abfolument du quatrié* 
me degré qui fe réduifent cependant à la 
méthode du fécond degré. Telles font les 
Equations traitées dans la quatrième Partie 9 
anicle xx & les Equations femblables à 
;c4-4- 2 aaJOi — iaabK. -f- r* s= o , qui eft 

le produit des deux Equations ^ < -^— clz.^ ai 
^ aa'-^^a^ abs=zo ôc jzk,^ 2<V ab ^ aa 
^2aV ati==sf^ , & qui a pour les quatre ra- 
cines :4:iV' ^^^-V^ — a*±iaVah, dans 
lefquelles il n'entre point d'autres radicaux 
que ceux du fécond ^gré. 

On peut diftînguer aifément toutes Us ^fanîefcae 

f7 • • r ^ 1 T connoitrcle» 

jLquations -qui font dans ce cas; car puifque EquatioMda 
dans ces Equations la partie -+-f;r de Tex- <îu«rjémc, 

* * " """ degré , dont 

"" les radnet 

tTc&on±ix^V-ixx^{p^ j- de hva^ZA 



^0È ELÊMENS 

ttwt âoe leur it z. , o\icc qui revient au mâmé ta paf* 

^^"* J*" ^|- tîe f commune^ aux quatre racines f-*-*> 

^ ^' ' i — *,' — !-+•/, — i — /,doit être un fimpic 

radical du fécond degré, à caufe que x ne monte 

qu'à des dimenfîons paires dans la réduite ; il 

faut néceflairement que dans toutes les Equa^» 

tions de cette nature la réduite foit divifibld 

par x):-¥- une quantité commenfurable , or les 

divifeurs de cette efpece font aifés à trouver 

parla méthode de l'article xu & xiii de la troi» 

iiéme Partie» 

XXXVII. 

Lorfqu on aura reconnu que les quatre ra- 
cines d'une Equation du quatrième degré font 
Cittui'H feut^^^^^^ réelles ^ & que cette Equation n a au- 
fai^epour cun divîfeur commenlurable ni aiFeâé de 
J^^^J^"j^3 radicaux du fécond degré; on cherchera une 
chéesdetqua- des racines de Ta réduire par ia méthode d'ap* 
k>rrqîl*îîcf' pr^ximation enfeignée article xxi, & après 
font t^Ues. l'avoir fubftituée à la place de x dans la formu'* 

le générale <^=:+:t^^V-^^xx — -J-p-H -i^ 

on aura les valeurs approchées des quatre ra- , 
cines cherchées* 

X X X V 1 1 r. 

,. . Dans la vue d'applîquer les règles précédett- 
des roétho- teSjioU pris pour exemple 1 hquation -C4-Hî^* 
det précé- ^^2Z — ^x=o. En Comparant cette Equatictt 

dentés a on , ' ^ -f ' / i . , . . ^ 

exemple a "Equation générale v4-+-pc*^^^-+-rs=:^0, 

on aura^'aacj^^iits^, rzi=^^^. Et ces vakurs 



JfJLGEBRE. 505 

étatit ful^ituées dans la réduite générale • * 
^••+-2pAr^-+-pp^^-—ff=o, la changeront ea 



x^^6x4^2ix^ — 4*3=0. ^ 
Pour réfoudrè cette Equation foit d abord fait 
x*::=zu — 2 9 afin de faire évanouir le fécond 
terme & la réduite fe changera en u^^+'^u 
i— jOs=i=o, laquelle fuivant l'article xiv. eff 
de celles qui n'ont qu'une racine de réelle , & 
t& par conféquent dans le cas d'être réfolue 
far la formule générale de rarticle Vf. d'où 
l'on voit que l'Equation propofée aura deux 
racines réelles & deux imaginaires , & qu'ba 
parvieiKlra .par conféquent à les exprimer tou« 
tes les quatre par les formules précédentes. 

On auroit pu reconnoître ( article xxxiii,) 
t|ue cette Equation devoit avoir des racines 
imaginaires par cela feui que fon troiâéme 
terme.jz.* avoit un coefficient pofitif. 

{léfolvant maintenant l'Equation u^^^u 
.^3 os=so par la formule de l'article v i . on 

a pour fa racine réelle «=V 1 5 -t-ô V7 

-+-V^ij»— 6V7, donc •^Vu-^2 ou . ..... 

A:=^7h;'^y ïJ"+-<^/7 -H Viy— 6V7 — 2. 
Si on fqbfiitué enfuite cette Jvaleur de x dans 
la valeur générale *..... 

Z=:;;;^{X±^ -IxX^f =f:L qui eft 

dans U cas £!réi#pt*=^:î«^V — i**--l- :f. 4- 



)o4 Ë L È M h tl S 

on awii t^our les deux racines réelles dé l'£U 

quatioa propofée 



'téamÈmmÊàk 



<e=— 1 A^Vi JH- « Vj-hV I J— <îV7— a 



+f^— 1^1 î+<K r-iv'i j-6 V7-1+ 



& pour les deux imaginaires 



t!=3-t-iK ^ I X-t-ôv'y -t-\/ 1 5— 6 V7 — a 



+.^-i.v'i j+«»^7-4Vis— <»^7-i~ 



XXXIX. 

Abot Soit préfcnteinent l'Equatioil ^4.^6^* 

exemple* ^* « ' xi>i7. 

«4* 8^ •— I «= o , en la comparant a 1 £<quatioa 
générale on en tirera p= — 6,gf^8,rfi=— i. 
Et partant, la réduite fera x^—^XTx"^ ^/^x^ 
. ..^648=0 , dans laquelle faifant x^Œssu^^^t 
afin que le fécond terme difparoiffe , on aura 

u^ 8«-^}2 = o qui étant, comparée à la 

formule générale de l'article vi xlonnera une 

'feule vakur réelle laquelle fera, 

• . ■ ■■ * ] . ♦ 

5 80 'v • '80 

Vi(^H- -7- ^H- Slt^ -7- ou 



^^_^^veV^^^o^^V6V^^^o ^^, _ fefer- 

"^vartt de la méthode de la quatrième Partie, 
art^ck xxxViT £b rédait à «« # • •••••••.*<« 



Î^ALGEBRE* Jo^ 



ni^t^Ll:±n^=zll2z2:i ^ ji, , fubill. 



i X i H-V? iX T— l/^ 

tuant préfentement cette valeur de u dans 

^ :±=V « -4- 4 . on aura x=i:V S , par laquelle 
oh changera TEquatich générale » 



fcacaH"\/2-H \/i-f-Va qui donne pour lei 
deux racines réelles de TEquation propofée 

*— ^ V'g "H-y 1H-V2 > & pourries deux ima*» 

gînaîres -+-V^2H;;v^l— v^2ii Ainfi TEqua* 

tion propofée xA (î^»-+-8;?:— I=o eft de 

celles qui peuvent le décompofer en deux 
Equations du fécond degré , dont les coeffi- 
ciens font incommehfurables , car chacune des 
doubles racihes précédentes font les racines 
des Equations ;?:^-+-i<v^2Hhi v^23=:o Sç 

ZZ, 2ZV 2H-I -i-V^ 1=0. 

On auroit pu fans appliquer la formule de 
rarticlevi, & par conféqucnt fans avoir be- 
foip de la méthode de la quatrième Partie 

article xxxv. réfoudre l'Equation ;^^ I2xi 

•+-4.0^;» — ^4=0 , en «mployànt la méthode 
de la troifiéme Partie, articles xii&xni. car 
on auroit trouvé, par cette méthode, que cettô 
Equation avoit pour divifeur xx..^Ss==zo. 
XL. 

Soît l'Equation y-Hi^jr»-H99jy*-+-228jf rto\Ciéi 
•4-«i4^^s=so ea fubftituant dans cette Equatioû^xcn^picj 



rntf 



3o5 E L E M EJ^ S 

jc — 4 pour y afin de faire évanouir le fé- 
cond terme $ on la changera en ;t,* -4- 3 <;* 
•— y2<-4-48s=o qtfi étant comparée à TE- 
quation générale -t^-f-f^^-^? ^ I r - o don- 
nera p==3 î ^=—5' 2. ; r = 48 , & partant 
la réduite x^^6x^ — 183^* — 2704.2=3:05 
de laquelle faifant évanouir le fécond terme 
par la fubftitution de u — 2 à la place de x* 

on tirera «' IPT^ 2322=0 qui eft ré- 

foluble par la formule de l'article vi, & fait 
Voir par conféquent que TEquation propo- 
fée eil de celles qu'on peut réfoudre cxaûe- 
ment » c'eil-àdire de celles qui ont deux ra- 
cines réelles & deux racines imaginaires. Pour 
les trouver , foit donc employée la formule 
de Tarticle vi. à réfoudre PEquation«»— ipy^/ 
t=2322=:o, on aura pour la feule valeur 

réelle qu'elle donne 

} ■■ j . - ' 

qui fe réduit à 

Vii({i -+-1030— -\/ — ii5i-Hio3<ï ou 

s 3 

à v^2ip7-+-Vi2y, ou enfin à i8;fubftituant 

préfentement cette valeur de u dansx:=:Vu 2 

on a xs=:V 1 6==4 qu'il ne s*agit plus que de 
fubilituer dans la valeur générale de z;='-^j- x 

■4- \/ — Ï..V X — — -+- — . On aura par cet- 

te fubftitution pour les deux racines réelles de 
l'E quation ^'^-4-3^ *--^52<'+*48=oj^;^=aa 1 
i;V — 4 — i-H^ ou z.^%-¥^i, c'eft-à- 



to' ALGËÈkÊ, ^ ^ ^67 
dire Dtijoui^&pourles deux racines ithâgihaireâ 

iti= — 2i:\/_4 — T— ^V ou»==_Jt 
H--\/ II. Subflîtuant cnfuite ces quatre va- 
leurs dans j)^=t — 4, on aura pour les quatre 
racines de TEquation propofée jr*-f-i6>* 
H-ppy4-^i8j^-i44=oîj== — i; ji=^ 

*--3; TtE=5 dHh V^ — 1 ^» On auroit pu trou- 
ver ces racines tant par la méthode de la trot- 
iîénie Part. art. x 1 1 <Sc x 1 1 1 • que par celle de 
l'art, xxiv.de la même Partie en les cherchant 
dans TEquation j'^^- i(Jjy'-+-ppj'^-f-ii8 y 
^4-i44csso.Car par la première de ces méthodes 
on auroit trouvé les divifeurs fîmples y^ii 
^-f-j , & pour quotient jr}-+-i^>+48 , & la 
féconde auroit donné les deux divifeurs dç 
deux dimenfionsjQh+^jH-î >&;0'-4*i^J'-+-48i 
on auroit encore pu trouver ces raciœs bien fai- 
dlementen cherchant les divifeurs delà réduite 
par le moyen de la méthode des art. xii «Se xiil 
delatroinéme Partie;, àc en ajoutant à cette 
méthode l'attention de ne choifir parmi les divi- 
feurs du nombre 2704 que des nombres quar- 
rés, & de ne les employer qu'avec le ugne 
«*T^. On auroit trouvé alors que cette réduite 
a pour divifeur de cette efpece xx — i6:?s=o 
qui donne as=4, 

XLI. 

Soit l'Equation ^*-|-ii2.«-^2;c-4-*y6=:0 
en la comparant à ^*-+-p;^*-h^^-Hr=o il 
vient ps=ii,^===_2, nsrsj'ô* D'où la ré* 



3oS E t E M EHS 

duite cft Af*H-22A:* 103 a:» — 45=0 qui de- 
vient «' — ^ «-f-^f- e=o , après avoir 
fait évanouir le fécond terme. Cette Equa- 
tion étant de celles qui échappent à la For- 
mule de l'article vi. FÈquation propofée doit 
être ou de celles qui ont leurs quatre racines 
réelles , ou de celles qui les ont toutes qua- 
tre imaginaires ; mais à caufe du terme po- 
fitif 11^*, il faut ( article xxxni. j qu'il y 
ait des racines imaginaires , donc toutes les 
tjuatre racines le font. Je parviens enfuite à ré- 
duire ces quatre racines imaginaires à de fîmples 
racines imaginaires du fécond degré en cher- 
chant par la méthode des articles xii & xiii. de 
la troifiéme Partie, les divifeurs de la réduite , 
car trouvant xx — 4 pour divifeur de cette ré- 
duite , je vois auffi-tôt que les quatre raci nes de 
VEquatiop propofée font <==•+-! «ii^V — d 
&x= — i±V — 7* 

X L 1 1. 

Soit maintenant l'Equation x^—^K.^-^^z, 
i^-ipasEso qui donne par fa comparaifon avec 
^^H-f ^*-J-^^H*rs==o;j»— j;g2==4.; ^^=29, 
& par conféquent la réduite x^ — 10^* — 91^ 
.^^16=05 laquelle enfaifant ^»s=«H— i^ fe 
changera en u^ — ^'j^u — '-^^=0. Or 
comme cette Equation eft de celles que la 
formule de Tart* vi ne fçauroit réfoudre 3 c'eft- 
à dire de celles qui ont leurs trois racines réelles, 
îl s'enfuit que les racines cherchées de l'Equa- 
tion ^*, j^*4^4;c-+^2P===o font ou toutes 



D' ALGEBRE. 30^ 

quatre rëêlks ou toutes quatre imaginaires. Et 
fi on fe rappelle qu'on a vu article xxxii.que 
lorfque les racines font toutes réelles, la ré- 
duite a le fecond terme négatif » le troifiéme 
•pofitif , &c. on en conclura que la propofée eft 
dans le cas d'avoir toutes fes racines imagi- 
naires à caufe que le troifiéme terme — pi^r* 
de fa réduite eu négatif. 

Mais par aucune méthode connue , on ne 
fçauroit parvenir ainfi que dans Texegiple 
précédent à donner à ces quatre racines ima- 
ginaires ,' la forme ordinaire des racines ima-- • 
ginaires du fécond degré , parce que la réduite 
n'ayant aucun divifeur commenfurable,la pro- 
pofée ne fçauroit avoir ni des .divîfeurs 
Gommenfurables , ni des divifeurs affeftés de 
fimples radicaux du fécond degré. 

XLIII. 

Soit TEquation ^*— 3i<^— i(îz.-^2=a. ^xiémc 
qui donne p=s — ^ 2 , q=n — 1 6 , n= — 2 , & «cmpic. 
par conféquent la réduite Af^-^^ijAr* 
►+-1 03 2x^ — 2 5 6=0. 

Cette réduite ayant y comme on peut aifé- 
ment s'en aflurer , ks trois racines réelles fait 
voir que la propofée doit avoir toutes fes 
racines réelles ou toutes imaginaires ; on s'af- 
furera facilement que c'eft le premier de ce$ 
deux cas qui a lieu en ayant recours à l'article 
,xxxii. Je cherche maintenant par fe- mé- 
thode desart* xii &xu i. de la troifiémePar- 
lîe les divifeurs de cette réduite, de je trouve 

Viij 



^10 EL E M EN s 

fc^m^^i ) qui au moyen de l'expreilion g^o^- 

raie «;c=db i^^V — i^X'^^ip hP -^ d 



onne 



pour les quatre racines cherchées . , • • « 

XLIV, 

^«iptiémc Soît préfentement TEquation ;ç.*— »i8;^» 

çxwfic, ^^^^p-,^ qui donne la réduite x^-^^ôx^ 

^^44.;^*— ^i=?o ou i^'-i ■•388«-^2p2p=o; 

en faifant évanouir le fécond terme par le 

mo^en *de la transformée ;c*x=i/-f-i2. 

Or comme cette Equation a fes trois raci- 
nes réelles, & que le fécond terme ^6x^ eft 
liégâtif, tandis que le troifîéme 44^:^ eftpo- 
fitif , il s^enfuit par l'article xxxl l. que la pro- 
pofée a fes quatre racines réelles ; de plus la 
rédqite n'ayant aucun divifeur conimenfura- 
ble , ainfl qu'on peut s'en affurer par la mé- 
thode dçs art. xii & xiil«dç la troifiéme Partie^ 
il faut fe contenter de trouver par approxi- 
piation les racines/ cherchées. 

Pour cela , on commencera par employer 
la méthode de l'article xxi. à la réfolution 
de l'Equation u^',m^,^8Su' — 2pip=o,& 
liyant ^ouvé :;2 , 74 pour la valeur de ^ , oa 

lUbftîtuera cette valeur dans xtss^Vu^i^z^ 
ce qui donnera / , 894 pour ;r » & en fubfii-^ 
t«aW ççttç valçw dç :fç dons . • . ♦ . ^ ^ 



If ALGEBRE. jn 

^sai'4- f;y\/ I i^xx — ip-i-— , on aura 

pour les quatre racines cherchées; -H3 , 426; 
H-2,467,-— -2, 3iy; — S » S19 9"^ feront 
fort proches des vrayes ; on en auroit eu de 
plus exaâes (i on avoit poufle plus loin la 
méthode de l'article xxi, pour réfoudre l'E- 
quation «» — 3 88«=2pap. ^ 

XLV. 

Après avoir vu dans les réfolutions des 
Equations , tant du fécond que du troifiéme 
& du quatrième degré ^ comment à l'aide des 
fignes radicaux , on parvient à exprimer la va- ^ 

leur de l'inconnue dans ces Equations , il 
peut venir dans refbrit de chercher comment 
on retrouveroit les Équations dont on connoît 
les racines par une expreffion radicale , on peut 
fe propofer , par exemple , de fçavoir quelle 

eft TEquation dont la racine feroît xérsVai* 

^Va*è^\^a^c; celle dans laquelle x feroit 

V^iï'-+-^î V^^î-.^^î &c. 

Pour réfoudre tous les Problêmes de ce 
genre ou ce qui revient au même pour faire 
évanouir les radicaux d'une Equation quel* 
conque, on s'y prendra de la manière fuivante 
qui étoit bien aifée à imaginer après ce 
qui a été enfeigné dans la deuxième Partie » 
article xxxv. 
. On mettra à la place de chaque radical^Manicxe u 



jxa E L E MENS 

frire éTa- Hne ificoonuCj & l'on aura par ce moyen » 
dkÏJxdC' ^^' ^^ ^^?" ^^ TEquation donpée une nou-^ 
Equation vellc Equatloii qui ne contiendra plus de radi-> 
quelconque, ^„^. ^o^ Autant d'Equations à deux termes 
qu'il y avoic de radicaux dans l'Equation pro- 
pofée. Qr chacune de ces Equations à deux 
termes fera délivrée tout de fuite de fes radi- 
^ dicaux en élevant fes deux membres à la puif- 
fance indiquée par l'expofant du figne radical 
ouc l'un de fes deux termes contiendra. Donc 
il n'y aura plus qu'à chafler de toutes ces 
Equations délivrées de radicaux les inconnues 
introduites ^ opération que l'on a enfeigné à 
l'article xxxv. de la féconde Partie. 
Ixetnplc. Pour éclaircir ce qu'on vient de dirç par un 
exemple, ibit propofé de faire évanouir les ra- 
dicaux de l'Equation x=^/ ah^-^-y/ addy ayant 
fait y/ ahz=y & yj add=:x.y on aura les trois 
JEquations X'=y^z.\y^:=ab*' , z}^=iad^ , ti- 
rant de la première js=r;r — tl , & la fubffituant 
dans la féconde, on aura x'^m^^x^Kr\^^xK?' 
-T-K}:ssz(ib^ ^ de laquelle , avec le fçcours de 
l'Equation zJ^sx^J^ ^ il ne 8*agit plus que de 
chaffer jc. 

Pour cela, je commence par mettre dans la 
première de ces deux Equations x^'^^x^k 
m^7^xz^^^^K}rssszab^ à la place de z} , ab^ que 
donne la féconde; & elle devient;»:* — ^x^k, 
^jAT-t* — ad^rs=z ab"- , de laquelle je tirç z^ sasa 

: multipliant çnfuîtç les 

3 * 
deux membres de cette Equatiofi par 2^ ^ & 



D'ALGEBRE. jij 

mettant a la place de z.» fa valeur ad"^ fat 
une nouvelle Equation ad^ = 

••«— ......,J._i- qui donne 9 • * jc ;^ s=s 

^ad^x^ad^z-^ah^+x ^z 

~ ^ * 

J'égale alors ces deux valeurs de slz., 8c 
f en tire une Equation où z n*eft plus qu'au 
premier degré , je la réfous & j*ai . . . ^ == 

— — qui étant fubftitue dans l une 

des précédentes , par exemple dans Jk*'— j^k'*;^. 
-4-^ A-jç.*— .^^* = ab^ , donne enfin l'Equation 

x^-^a^d^x^ — ^ahx^ ^ia*y^x^^^a^d^x% 

mJ^a^ d^ t qui ne contient d'autre inconnnue 
que celle qui étoit dans la propofée , & qui 
eft délivrée de toute quantité radicale ; on fe 
tireroit de la même manière de quelque £« 
quation qu'on eût. 

Quelquefois les Equations propofées font 
fi aifées à délivrer des radicaux qu'il eft inu- 
tile d'avoir recours à la méthode précédente, 
& qu'il fuffit de tranfpofer les termes & d'éle- 
ver les deux membres à la puiffance indiquée 
par le radical qui eft feul alors dans un des 
membres j par exemple fi on avoit l'Equation 

xxs=y'^\fa^'^^a^x , en paflantjy de l'autre 
côté, & élevant les deux membres à la troi- 



|i4 ELEMENS 

fiéme puîflàoce , on aura une Equation qui 
ne contiendra plus d'autre radical que ^ a^x 
mettant alors ce terme feul d'un côté & éle- 
vant les deux membres au quatre ^ on aura 
une Equation qui ne contiendra plus de radi- 
eaux : & il en feroit de même dans beali^ 
coup de rencontres. 



FIN. 



EXTRAIT DES REGISTRES 

de t Académie Royale des Sciences. 

Du ao, Juillet i74(î* 

ME0îeurs NicoLB & BoUGUER qui 
avoient été nommés pour examiner des 
Elemens Jl Algèbre compofés par Mr. Claîraut» 
en ayant fait leur rapport , la Compagnie a 
juge cet Ouvrage digne de ilmprcAîon , en 
foi de quoi j ai iîgné le prëfent Certificat j à 
Paris ce jt Août 1746, 

GRAND JE AN DE FOUCHT. 
Secrétaire jerfétuel de f Académie Royale 
des Sciences. 



PRIVILEGE DU ROY. 

LOUIS, par la grâce de Dieu , Roi de France k 
de Navarre : A nos amés & féaux Conleillers , les 
Gens tenans nos Cours de Parlement , Maîtres des 
Requêtes ordinaires de notre Hôtel , grand Confeil , 
Prévôts de Paris , Baillife , Sénéchaux , leurs Lieute- 
nans Civils, & autres nos Jufticîers , qu'il appartiendra. 
Salut. Notre Académie Royale des Sciences 
Nous a très-humblement &it expofer , que depuis 
qu*il Nous a plû lui donner par un Règlement nou- 
veau de nouvelles marques de notre aftèâion , Elle 
s*eft appliquée avec plus de foin à cultiver les Sciences, 
qui font l'objet de fes exercices ; enforte qu*butre les 
Ouvrages qu'elle a déjà donnés au Public , elle (è- 
roit en état d'en produire encore d'autres, s'il Nous 
plaifoit lui accorder de nouvelles Lettres de Privilège, 
attendu que celles que Nous lui avons accordées en 
fdatte du fix Avril 1 69 3 . n'ayant point eu de tems limi- 
té , ont été déclarées nulles par un Arrêt de notre 
Confeil d'Etat , du 13. Août 1704. celles de 171 !• & 
celles de 17 17. étant auffi expirées; & délirant donner à 
notredite Académie en corps & en particulier , & à cha* 
cun de ceux qui la composent , toutes les facilités & les 
moyens qui peuvent contribuer à rendre leur travaux 
uriles au Public , Nous avons permis & permettons 
par ces Préfentes à notredite Académie , de &ire vendre 
ou débiter dans tous les lieux de notre obéiûTance , par 
tel Imprimeur ou Libraire qu'elle voudra choiiir , 
Toutes les Recherches ou Obfirvations journalières , 
ou Relations annuelles de tous ce qui aura été fait dans 
les affemblées de notredite Académie Royale des Scien^ 
ces ; comme auffi les Ouvrages , Mémoires , ou Traités^ 
de chacun des Particuliers qui la compofent ,, & géné- 
ralement tout ce que ladite Académie voudra faire 
farottre , après avoir fait examiner lefdits Ouvrages , 
trJHgé qu'ils font dignes de l'imfrejpon ; & ce pcndairt 



h ttfns & efpace de quinze années confeeudves, à 
compter du jour de la date defdïtes Préfentes. Faifons 
défenfes à toutes perfonnes de quelque qualité & con-^ 
dition qu'elles foient , d*en introduire d'impreffioU 
étrangère dans aucun lieu de notre obéiffance : coni'^ 
me auffi à tous Imprimeurs-Libraires , & autres, d*im- 
primer , faire imprimer, vendre , faire vendre , débiter 
ni contreÊtire aucun defdits Ouvrages ci-deffus Q>écifiés» 
en tout ni en partie , ni d'en faire aucuns extraits , fous 
quelque prétexte que ce foit , d'augmentation , correc- 
tion 3 cliangement de titre , feuilles même réparées , ou 
autrement, fans la permiffien cxprefiê & par écrit de 
notredite Académie , ou de ceux qui auront droit 
d'EUe , & fès ayans caufè , à peine de confifcation des 
Exemplaires contrefaits , de dix mille livres d'amende 
contre chacun des Contrevenans , dont un tiers à 
Nous , un tiers à l'Hôtel -Dieu de Paris , l'autre 
liers au Dénonciateur , & de tons dépens , donunages 
Se intérêts : i la charge que ces Préfèntes feront enre- 
giflrées tout au long fur le Regiftre de la Commu- 
nauté des Imprimeurs & Libraires de Paris ; dans trois 
mois de la date d'icelles 'y que l'impreiSon defdits Ou- 
vrages fera faite dans notre Royaume & non ailleurs » 
& que notredite Académie Ce conformera en tout aux 
Réglemens de la Librairie , & notamment à celui du 
lo. Avril 171Ç. & qu'avant que de les expofèr en ven- 
te , les Manufcrits ou Imprimés qui auront fervi de 
copie à l'imprelTion defdits Ouvrages, feront remis 
dans le même état , avec les Approbations & Certi- 
ficats qui en auront été donnés , es mains de notre 
très-cher & féal Chevalier Garde des Sceaux de Fran- 
ce , le fleur Chauvelin : & qu'il en fera enfuite remis 
deux Exemplaires de chacun dans notre Bibliothèque 
publique , un dans celle de notre Château du Louvre , 
& un dans celle de notre très-cher & féal Chevalier Gar- 
de des Sceaux de France le fieur Chauvelin : le tout â 
peine de nullité des Préfèntes ; du contenu defquelles 
vous mandons & enjoignons de faire Jouir notredite 
Académie 9 ou ceux qui auront droit d'Elle 8c Ces ayans 
«ittfè , pleinement & paifiblement > fans fôufirir qu'il 



leur toit fiût àtiCiih trouble Ott eH^pécdèiftent : Vou^ 
Ions que la Copie defUtet Préfentes qui fera imprimée 
tout au lon^ au commencement ou à la fin defditâ 
Ouvrages, (bit tenue pour dûement fignifiée « & qu'aux 
Copies coUationnées par Tun de nos amés & féaux 
Confeillers & Secrétaires foi foit ajoutée comme i 
l'Original : Commandons au premier notre HuiflieroU 
Sergent de (aire pour l'exécution d'icelles tous aâes re*- 
quis & néceflaires , (ans demander autre permifTion , 8c 
jionobftant clameur de Haro , Charte Normande & 
Lettres à ce contraires : Car tel €& notre plaifir. Donné 
à Fontainebleau le douzième jour du mois de Novem-^ 
bre mil fept cent trente-quatre , & de notre Règne le 
vingtième. Par le Roi en (on Conièil. 

Signé, SAINS ON. 

Regiflréfur te Regiftre Vllf. de la Chamhn Royale & 
Syndicale des Lii^raires & Imprimeurs de Farts , nunià 
791, fol. 77^. conformément aux Reglemens de ly^î* 
qui font défenfes , Art» IV, à toutes ferf^nnes de quelque 
qualité & condition quelles foient , autres les Libraires 
ir Imprimeurs , de vendre , débiter & afficher aucuns 
Livres four les vendre en leur nom , joit qu'ils s'en 
difent les Auteurs ou autrement ,& àla charge de four* 
nir les Exemplaires frefcrits par l'Art. CFIII. du me* 
me Règlement» A Paris /e i ^ . Novembre 1734. 

G. MARTIN, Syndic, 



TABLE . 

DES MATIERES. 

PREMIERE PARTIE. 

De la Méthode Algébrique d'exprimer les 
Problêmes par des Equations ^ & de la ré- 
folution des Equations du premier degré. 

I. '^T^XemfU d*sm Vrobltme femblabU à ceux que les 
Ijj fremiers Algéhrtfiesontfufefrofofer.^zg.% 

S^tuttôtt de ce Problème telle qu*on la fourroh trouver 
fans Algèbre» ibid 

II. Méthode Algébrique d'exf rimer le problème frécé-- 
dent. ^ } 
Lejigne + indique l'addition. îbid 
Lejigne = marque l'égalité. ^ 4 
Une Equation ejl V égalité de deux quantités, îbid 
On réfout une Equation l'orfqu'on trouve la valeur 
de l^ inconnue qu'elle renferme. ibid 

III. Réfolution de F Equation qui exprime le problême 
précédent. ibid 
Le cara^ere — indique la SoufhraÙion. ibid 

ÏV. Autre folution du problême précédent. 5 

V. Autre exemple du problème précédent. 6 

Vf. Troifiéme exemple du problème précédent 7 

Lejigne X indique, la Multiplication. ibid 

VII. Nouveau problême de même nature que le précé- 
dent. 8 

VIII, La folution analytique d'un problême a deux 
parties. %• ' p 
Dans la première on exprime ce problème far une 
Equation. ibib 



T AÈ L Ê 

toânt h féconde on réfoUt cette Equation. îbid 

IXv Les Equations du premier degré font celles ou Nti^ 
connue n'ejl multipliée ou divtfée que far des quan^ 
tités connues. lo 

X. Les termes d'une Equation font fes parties fépa- 
rées par les + ou fc— . 1 1 

XL Tout terme peut être pajfé d'un coté de l'Equation 
à l'autre en changeant de Jigne. ibid 

XII . On appelle membres d'une Equation les deux par- 
ties féparées par le Jigne ;=:. » 12 

XIV. Manière défaire évanouir te multiplicateur qui 
affeâle l'inconnue. i| 

X V. Manière de faire difparottre le divifeur qui af- 
feâle l'inconnue. ibid 

XVI. Exemple d'Equation du premier degré réfolue par 
les principes précédens, i* 

XVI I. Manière de faire évanouir les frayions d'une 
Equation. ibid 

"^V m. Autre méthode par laquelle on les fait tour- 
tes évanouir. if 

XIX. Troijiéme problème ij 

On employé une barre en Algèbre comme en Arith- 
métique pour indiquer la divijion. ibid 

XXI. Autre folution du même problème. 19 

XXII, Quatrième problème. lO 
Manière dont on exprime les proportions en Algèbre. ii 

XXIV. Solution du problême précédent pris générale- 
ment. 24 
On employé les premières lettres de l'alphabet four 
exprimer ce que l'on connoît&les dernières pour ce 
qu'on ne connoitpas. ibid 
Les lettres qui Je fuivent fans aucun figne entr'ellet 
font cenfées fe multiplier. 2f 

XXV. Application de la folution précédente à des nom* 
bres. Z9 

Autre application. ibid 

XXVI. Cinquième problême. ibid 
XXVÏI. Exemple en nombres^ 3 « 

Autre exemple» ^i 

XXIX» 



DES MATIEËE5. 

XXIX* Les régies des art. X, & fuivans fuffifen^fàU^ 
les Equations littérales. ^j 

Vafflication de ces telles a donné fiaifance à pltt^ 
fteurs opérations de l'Algèbre. ibi4 

Fremier exemple de réfolution d'Equations littérale/. 

5CXX. Dewtiéme exemple de réfolutton d'Equations lit-- 
téralesh ^ -^ 

XXXI. RéduŒon des quantités à leur plus Jîmpleex- 
r^ffion. ^ ibid 

On appelle termes pofitifs ceux qui font précédés dt 
^, négatifs ceux qui font précédés de • 3 c 

XXXII. L'Addition Jlgehrique ejl l'opération précé^ 
dente. ibiJ 

XXXIII. Comment on peut dire que fan ajoute unt 
quantité négative. i^ 

XXXIV.. On tire encore de l'opération précédente la 
Soujhradion Algébrique. ibid 

Procédé de la Soujlraâiion. 38 

XXXV. On augmente une quantité torfqu'on en fouf* 
trait une quantité négative. 3P 

XXXVI. Iroiftéme exemple de réfolution d'Equationt 
littérales. ibiî 

XXXVU. Un chiffire placé au-deffus & à droite d'une 
lettre dé/igne ce qu'elle auroit été répétée de fois pat 
la Multiplication^ ^^ 

Et dans ce cas la lettre ejidite élevée à lapuijfancc 
exprimée par ce chiffre qu'on appelle expofant. 4t 
Les chiffres qui font à gauche & fur la même ligne 
font nommés coefficiens. ibid 

XXXVIII. j2.«4mVOTf exemple de réfolution d'Equa- 
tions littérale^. ibid 

XXXIX. Les quantités incomplexes font celles qui 
n'ont qu'un terme. 41. 
Multiplication dei quantités incomplètes , tirés des 
deux exemples précédens. ibid 

XL. Cinquième exemple de réfolution ^'Equations lit-^ 

ter aies. ^j 

XLL Divijion des quantités incomplexes. 44 

X 



TABLE 

Xtn. Sixième exemple de réfolution d'Equations lit" 
térales» 4f 

Vfage des harres au-defus des quantités» ibid 

Le même que celui des farenthefes. ibid 

XLIII. Multiflication des quantités complexes oûfo^ 
lynomes tirée de l'article précédent 47 

Exemple de multiplication de polynômes. ihïd 

XLIV. Principe fondamental des Multiplications. 48 

XLV. Méthode qu'il fatà fuivre dans la Multiplica" 
tion. ji^t^ 

XLVI. Application de la méthode précédente à un 
exemple, 5 • 

XLVil, Sixième exemple de réfolution d'Equations lit- 
térales ^ % 
Manière de faire la divijion indiquée dans cet 
exemple. , ibid 

XLVilI. Méthode générale pour les divijions des quan- 
tités complexes. ibid 
Manière d'éviter tout tatonement dans la divijion. 

Ce que c'ejt qu'ordonner une quantité par rapport 
à une lettre* . ^% 

XLIX, Application de la méthode précédente à un 
exemple. ibid 

L. Autre exemple. 5 8 

LI. Attention qu'il faut avoir en ordonnant lùrfqu'il y 
aplufieurs lettres. f9 

LU. Prohlému dans lequel on employé deux inconnues, 

60 

LIV. Application de la folution précédente à un exem- 
ple. 64 

IVI. Autre Problème ou l'on employé deux inconnues. 

6i 

LVII. Exemple du problème précédent en nombres. 

67 

jyWl. Autre exemple. ibid 

Singularité des èxprefjions où l'on arrive dans, cet. 
exemple. 6% 

Manière de reconnoitre ce qu'elles peuvent Jignifiçr.^ ibid 



DES MATIERES; 

ttX, Ithéorémes généraux concernant Us figntt dit 
quotiens ou des produits. ibid 

LX. On démontre que -* b far — d efl -4-bd , quoi" 
que ces quantités ne foient précédées de rien. 69 

LXï. Les autres casfe démontrent de même. 70 

Lxn. Comment la valeur négative quon a trouvé ré*^ 
yout le Problème. ibid 

LXIII. Les inconnues devenant négatives , doivent être 
prifes dans unfens différent de celui de l* énoncé du 
problème, 7 c 

Il en efl de même des^ connues. 7% 

LIV. Exemple de l'ufage des quantités connues faites 
négatives. ibid 

LXV. Autre exemple du mime ufage des quantités con^ 
nues faites négatives. 71 

LXVI. Deux Equations du premier degré à deux in-- 
connues , peuvent toujours être rapportées aux précé* 
dentés. 74 

Exemple. • ibid 

LXVIL Aittre exemple. 7^ 

LXVI II. Autre manière de réfoudre le même exemple. 

78 
LXIX. Comparaifon des deux folutions précédentes. 

79 

LXXI. Méthode générale de trouver le pltu grand 

commun divîfeur des deux nombres. 8 x 

LXXI II. Méthode générale pour trouver le plus grand 

commun divîfeur des quantités Algébriques. Sf 

LXXIV. Premier exemple. %é 

LXXV. Second exemple. ^9 

LXXVI. Troijiéme exemple. ^9 

LXXVII. Autre manière de réfoudre le même exem» 

pie. 90 

LXXVIII. Autres quantités dont on trouve le plus 

grand commun divijeur fans la méthode précédente^ 

ibid 

LXXIX. Lorfquil y a trois inconnues dans unpro» 

blême, il faut trois Equations pour le réfoudre. 91 

Comment on dégage les inconnues de ces Equations. 

ibid 
Xii 



T AELE 

ITCXX. Problème dans lequel on employé trois incim^ 

LXXXI. Manière d'abréger les calculs far des déno- 
minations faniculieres. 94 

LXXXll. E^emfU du froblime précèdent en nombres. 

9f 

LXXXIII. Tous les problèmes du premier dégri i 
trois inconnues peuvent , étant mts en Estions , 
être compris dans le précédent. 9^ 

SECONDE PAKTIE» 
De la réfolution d€s Equations du fécond degré. 

l. Problème qui contient dans fa généralité desprobli- 
mes de tous les genres. ]^. 

IL Equation du problême précédent pour l^ fi'^J^ 
degré. •! ; j 

III. Pour le troifiéme degré. |^^ 

IV. Pour le degré n. », » 

V. Manière d'arriver ù lafolution généraU d^s Equ^^ 
tions du fécond degré. ^ ^ J^ 
Le ftzne V indique la ractne quarree. ip* 

yi. La racine quarrée d'une quanttte ejt auffi-bten 
néstativt que pojitive. . ^ ^ 

Une Equ^^ion du feeand degré 4 dewcractnts, c eft- 

à-dire deux valeurs d'-x.. _ * ** 

VII. Formtde contenant cts deux ractnet. 

VIII. Apflication de la formule frecedente a l E^^ 

li'^'dum,^ de h valeur £x en formant, la raci- 
ne du produit far celles des frodutfans. ibi4. 
X. Exemple de ce froblême. ^^ 

quamité négative ejl tmfojjible. «bid 

Ces racines font dites tmagtnatres. jo» 

Xm. Quelles font les Equations âM fécond degré, 

dmt les racines font imaginaires, «»« 



DES MATIERES. 

3aV. Réfolution des Equamm- du fécond èf^réfimr 
kf comfarer à la formule générale, ibid 

XV, Autre Problème du fécond degré. i tp 

XVI. Des deux valeurs précédentes , l'une efi né- 
cejfairement foptive , l'autre négative. ï\* 

XVIL Vfage de la valeur négative. ïbid 

XX. Nouveaux exemples de réfolutions d'Equations du 
fécond degré. i^^ 

XXI. Procédé de l'extraClio» de la racine quarree 
expliqué fur un exemple. i ' * 

XXII. Autres exemples d'extraOlons de racine quar- 
ree. ȕi^ 

XXIII. Exemples de réduSliont de quantités radica^ 
les. i^l^ 

XXIV,. Les quantités qui n'ont point de racines exac- 
tes font dites incommenfurables eu irrationelles. ibid 
L'Addition & la Soufira6lion de ces quantités^ ne 
fuppofent que • leur réduCiion. îbii 

XXV. Mfdtiplication des incommenfurables» i^\ 

XXVL Divifion des incommenfurables. 1^4 

XXVII. Froklime du fécond degré demandant pltffieurs 
. inconnues, '*T 

XXVIII. Autre manière de réfoudre les Equations 
précédentes. 1*7 

XXIX. Exemple d'Equation du fécond degré à deux 
' inconnues plus compliqué que le précèdent. ix8 

Equation finale à laquelle condutfent ces Equations* 

ibid 
XXX* Autre manière de traiter le mime exemple-. 

XXXII. y étant à un degré quelconque , &^ feu- 
lement au fécond degré , on traiteroit de même les^ 
deux Equations. ijl 

XXXIII. Ce qu'il faudroit faire pour arriver à fE- 
quation finale > Urfque x ferait au troifiéme degrés 

XXXIV. C^ ferait la mime chofe fi x montoit à des 
dégrés plus élevés. 1 5 î 

XXXV. Et s'il y avait plus de deux inconnues otupar^ 

Xiij 



^ 



TABLE 

vUniroh i$ même à l't^uation fnaU. 134 

TROISIEME PARTIE. 

Où Ton donne quelques principes généraux pour les 
Equations de tous les degrés , avec la méthode de 
tirer de ces Equations , celies du premier & du fé- 
cond degré qu'elles peuvent renfermer. 

I. Manière de former une Equation far le moyen de 
fes racines^ t^6 

II. Une Equation a autant de racines que de degrés. 

tî7 

III. Propriété des Equations de tous les dégrés. îbid 

IV. Dans une Equation fans fécond terme lafomme 
des racines, fofitives eji igale à celle des négatives. 

11% 

V. Une Equation qui n'a point de terme connu a au 
moins une racine égale à zéro. i^sr 

yi. Condition qu'il faut obferver dans une Equation 
pour y trouver les propriétés précédentes. ibid 

yil. Méthode pour avoir les racines commettfurablet 
d'une Equation. 140 

VlII. Dans une Equation dont tous le» coefficiens font 
entiers ^ l'inconnue ne ffouroit être une fradion: 

TV • ^^' 

JX. Transformation par laquelle on fait évanouir les 

fractions d'une Equation quelconque* 1 4 a 

y. Far cette transformation la méthode précédente s' ap-- 

plique aux Equations fractionnaires. 145 

XI. Inconvénient de la méthode précédente. ibid 

XII. Réflexions qui om fervi à perfectionner cette mé- 
^^hode. ^ - îbid 

XIII. Principe fondamental pour trouver les racines 
commenfurahks. 144 

XIV. Application de la méthode précédente à un exem^ 
f^'- .14^ 

Xyi. Manière d'avoir tous les divifeurs d'un nom^ 
irt* ^ . , is<r 



DES MATIERES. 

XVII. Aufre exemple de la méthode de trouver les rtt- 
cfnes commenfurablei* i^t 

XVIII. Troifiéme exemple de la méthode de trouver les 
racines commenfurahles. ' ï 5 

XIX. Méthode four trouver des Equations du feconà 
degré commenfurahles dans une Equation donnée. 

Mî 

XX. Application de la méthode précédente^ 157 

XXI. Atitre application de la méthode précédente^ 

ï6i 

XXII. Méthode pHir trouver les divifeurs d'une di^ 
menjion lorfque /'x doit avoir un coefficient. 164^ 

XXIIL Application de cette méthode à un exemple^ 

i6é 

XXIV. Méthode pour trouver les divifeurs des deux 
dimenjions lorfque /'x* doit avoir un coefficient, 167 

XXV. Application de cette méthode à un exemple. 

i6f 

XXVI. Tome quantité de moins de fix dimenjions & 
qui a des divifetsrs , en doit avoir d'au-deffous de 
trois dimenjions. 170 

XX Vil. Si la quantité a Jix ou plus de dimenfions , 
elle pourroit n'avoir de divifeurs que de trois ou de 
plus de dimenjions. ibid 

XXIX. Méthode pour trouver tous les divifeurs â deu» 
lettres dans une quantité qui en a trois. I7Z 

XXX. Exemple, ibîd 
XyiXl. Autre exemple* 17} 
XXXII. Méthode pour trouver les divifeurs de trois 

lettres & d'une dimenjion. 174- 

XXXIIL Application de la méthode précédente à un 

exemple. - ^7t 

XXXIV. Autre exemple^ I7(î 

XXXV. Tyofjiéme exemple oîifon trouve les divifeurs 
à deux lettres en même-tems que ceux à trois. 17S 

XXXVî. Méthode pour trouver lès divifeurs de deux 

dimenfions & à trois lettres, i So 

XXXVII. Application de cette méthode à un exemple^ 



TABLE 

XXXVIIL jfutre exemple. j^/ 

AffUcation de la méthode donnée article xiv. pour 
trouver tous les divifews im nombre , aux quimi^ 
tes htterales. ^ -j^-^ 

XL. Ce qu'il fm.faire four trouver les divifeurs des 
quantités qut ne font pas homogènes. ,8g 

XU. Cas ou ledivifeurfe trouve plus facilement qut 
far les méthodes précédentes. 'gj 

QUATRIE'ME PARTIE. 

Réfoludon (fes Equationj de dégrés quelconques lorP 
qu eUej n ont que deiyç termes , ou iorfàu^en ayant 
trois elles peuvent fe réduire à ccUes qui n'en ont que 
deux par h méthode des Equations du fécond degré, 
avec différentes opérations néceffaires pour ces Equa- 
ttons , comme Textradion dej racines , la rédudioii 
dts qusuiQtés radicales ^ç, 

I. Ves Equations du troifiéme degré À deux termes. 

19& 
OKmt m ifyrU eara^ere V pur exprimer ta 

\JfQi ""'^■^^^ '^*" ^ ftuvm avQtr ^u'mfigne i 

IV, Comment an nmltiflie /„ radic«mc cviet. î 54 

V. R^ctntf de l Equation du troiftéme dîgré 4 devx ter^ 

let Equatiotu ne fçaMrçie^t jmgit 4v<>ir */JU 

denx ractnes réelles. ^ j^jj 

Vn nfexions fyr l'élevatio» des fuifamces. 19e 

VIII, ^fpi*f«tmil<tréfi4xU^frécéd«>uesJ tfxtraç. 

**o»desr«f*t"s, ,j, 

ix.. Qt içxm^ion dts racines Içrfm'w « du puif- 
fynces incomplètes. * lU 

51; ^f,??'', ^''*^^' ^^ f«*f 4'«» iinome. ,'.q 

^i\. Méthode qu'il fmtfiiivre poffr trendrt h racine 



DES MATIERES. 

XIII- Premier exemtle, i»i 

XIV* Second exempte. io% 

XV. Additions & i^ouftraêiions des quantités radica^ 
les de toute efpece, 203 

XVI. Multiplication ir Divijion des quantités radi* 
cales qui ont mêmes exfofans. Zo4 
Exemple. îbid 

XVII • Pour faire ces opérations fiir les quantités réh' 
dicaks de différens expo/ans, il faut les réduire au 
même expofant, ' lOÇ 

Mctkode pour cette réduCiion. îbid 

XVIII. Autre manière de faire ht opérations précé-- 
dentés* io6 

XIX. Ce quec'eft qu'une puijfanee fraSHonnaire, m 
Ce que c'ejl qu'une puiffance négative* îbid 
Ce que cefl que la puijfanee o. îbid 

XX. Des Equations à trois termes qui fe réfolvent par 
la méthode du fécond degré, 1 1 4 

XXI* Exemple de la méthode précédente. 1 ■ S 

XXII. Autre exemple. îbid 

XXIII. Troijiéme exemple. »i^ 
H^XIW . Quatrième exemple. îbid 
XXV; Méthode pour trouver les racines quarrées det 

quantités en partie commenfurables & en partie rtt- 
diçales. II7 

XXVII. Application de la méthode précédente à un 
exemple. zio 

XXV III. Autre exemple. îbid 

XXX. Troijiéme exemple. m 

XXXI. Méthode pour trouver ta racine cube des quan-* 
tités en partie commenfurables & en partie incom^ 
fnenfurables. 225 

XXXII. Application de la méthode précédente à un 
exemple. 12 tf 

XXXIII. Autre exemple. îbid 

XXXV. Méthode pour trouver les racines des quanti^ 
tés numériques en partie commenfurables &c. 2ip 

XXXVI. Application de h méthode précédente à un 
i^emple. * j i. 



TABLE 

XXXVII. Autre exemple. ibîJ 

XXXVIII. Simplification de la méthode précédente. 

XXXIX. Application de la nouvelle méthode. ^M 
XL. Cette nouvelle méthode pourroit être fautive dans 

les cas où A &Bfont de fignes différens. 2.34 

Ce qu'il faut faire en ce cas. îbid 

XLI. Cas où la méthode précédente pourroit induire 

dans l'erreur. a 5^ 

Moyen de s'en garantir. *■ 3 7 

XLIII. Ce qt^il faut faire quand la racine cube doit 

être la fomme de deux radicaux. ^ ^^9 

XLIV. Comment on prend la racine quatrième des 

quantités de même efpece que les précédentes, ibid 
XLV. Ce qu'il faut faire toutes les fois que l'expofant 

de la racine efi pair. M^ 

XLVI. Tour les racines cinquièmes. ^ ibid 

XL VU. Tour les racines de tous les dégrés. îbid 

XLVIII. De la manière d'élever un binôme à une puif- 

fance quelconque. ^4* 

Formule générale pour l'élévation de p-|-q à lapuif- 

fance m. H7 

L. Démmftration du théorème de l'art, xltii. ibxa 

IL Application de la formule précédente à un exemple. 

148 
LU. Comment on appKque la formule précédente aux 

quantités de plus de deux termes. *ro 

LIIL Exemple. '^^^^ 

LIV. L'on fait voir que la formule précédente ejl bonne 

encore , lorfque l'expofant eft fradionnaire. ^ y 5 
LV. ha même formule va aux puiffances négatives. 

1(4. 

LVI. Exemple d'une racine quarrèeprife par la formule 
de l'élévation des puijfances. * 5 ^ 

LVIL Lorfque les quantités n'ont point de racines 
exaéies on en trouve d'approchées par la méthode pré- 
ce dente. *^7 

Exemple. ^ . .^^.^ 

Ce que cefi qu'une férié ou fuite infime. ibid 



DES MATIERES. 

IVIIL Toufer fortes de quantités feuvem être réàtui" 
tes in fériés far la formule précédente. 1S9 

CINQUIEME PARTIE. 

Réiblution <ies Equations du troi/îéme & du quatrième 
degré. 

I. Equation du troifiéme degré la plus compofée. x6\ 

II. Transformation par laquelle on fait évanouir 'un 
terme quelconque de cette Equation. ibid 

III. Transformation précédente appliquée à une Equa^ 
tion du quatrième degré, 1^4 
Ce n'efl ordinairement que le fécond terme qu on fait 
évanouir. i^f 

IV. Evanouijfement du fécond terme dans une Equa^ 
tion du cinquième degré. îbid 

V. Dans une Equation du degré quelconque m. ibid 

VI. Réfolution de l'Equation générale x'-+-px-4-q=o. 

i6S 

VII La formule précédente ne donne qu'une des trois 

racines. x6% 

Manière d'avoir les deux autres, it>id 

VHI, Cas où If formule précédente ne fçaurott faire 

connoître x à'caufe des imaginaires quelle renferme. 

^ %6q 

IX. On^démontre cependant qm dans ce cas x eji réel» 

&70 

X. Par la mime méthode on a une valeur approchée d/e 
X. _, 17* 

XI. Les deux autres valeurs tyifont aufji réelles dans 
le mime cas- .. ibid 

XH. Comment (jies racines de l'Equation x'+px4-q=o, 

^ tire celle de l'Equatii>n yi-f-dy*4-ey-|-,f=:o. 

V ' 174 

XIII. Une Equation du troifiéme degré afes trois ra^ 
cines réelles , ou une réelle avec deux imaginaires. 

ibid 

XIV. Comment on dijlinguè ces cas. ibid 



TABLE 

XV. Quellet fom Us racines lorfque J^ f^ efi negM^i 
tif &=\q<i. 17Ç 

XVI. AffUcoHon des méthodes précédentes à un exem^ 
pie. ijS 

XVII. Autre exemple contenant une Equation dufi^ 
xiéme degré qui fe réduit au troifiéme. 177 
Equations plus élevées qui s'y réduir oient aujji, xi% 

XIX. Ç^uatriéme exemple dans lequel la formule de 
l'art. Yi. eft infufffante. 179 
Application de l'art, x. pour approcher des racines. 

ibid 

XX. Inconvénient de la méthode enfeignée art, x. 281 

XXI. Autre méthode d'approximation générale & fa^ 
cile dans la pratique. z%z 

. La méthode qu'on vient d'enfeigner donne d'abord x à 
rnm^ cme ^fgf au moins. 284 

XXII. Manière de rendre l'approximation beaucoup 
' plus exade. ibid 

XXIII. Application de cette méthode à un exemple. i8f 
JiXlV, jiutre exemple, lU 

XXV. Réfolution de l'Equation générale du quatrième 
degré. il 7 
ta réfolution d'une Equation du quatriétne degré 

' dépend é^une Bquadon du troifiéme. 189 

Cette Equation s'appelle la réduite. ibid 

XXVI. I>ans le quatrième degré on peut exprimer 
les quatre racines par une feule formule. 190 

XX VU. On arrive aux mêmes racines d'une Equation 
du quatrième degré quelle que fois celle des racines 
de fa réduite qu on ait prife. 19% 

XXIX. Les racines d'une Equation du quatrième degré 
font tomes réelles ou toutes imaginaires , ou deux ima- 

• ginaires & deux réelles. -• 194 

XXX. Les racines imaginaires du quatrième degré 
font de même nature que celles du fécond. 19c 

XXXI,,Lor/^«e des quatre racines deux font réelles & 
deux imaginaires ^ on réfout exaSement l'Equation. 

196. 



DES MATIERES. 

Xfefl le contraire lorfque les quatre racines font toutit 
réelles ou toutes imaginaires. ibi J 

XXXII. Manière de diflinguer les cas des quatre ra^ 
cines réelles de celui des quatre imaginaires, z^ 
Conditions des quatre racines réelles. tft 
Conditions des quatre racines imaginaires. ibid 

XXXIII. Toute Equation du quatrième degré fans fé- 
cond terme i!r qui a le troifiéme fojitif a des radi- 
nes imaginaires. ibid 

XXXV. Avant^e quon trouve à chercher les divi- 
feurs commenfurables dahs la réduite, flutot que dans 

lafrofofée. . 5°^ 

XXXVI. Manière de cemoitre les Equations du qua- 
trième degré dont les racines n'ont foint d* autres ra^ 
dicaux que ceux du fécond degré. joi 

XXXVII. Ce qu'il faut faire four avoir les valeurs 
affrochées des quatre racines lorfqu elles font réelles. 

XXXVIII. Application des méthodes précédentes à un 
Exemple. ibid 

XXXIX. Autre exemple. 3^4 
XL. Troijiéme exemple. jof 
XLI. Quatrième exemple. 30 f 
XLII. Cinquième exemple tme Equation. 308 
XLIII. Sixième exemple. 3®^ 
XLIV. Septième exemple. 310 
XLV. Manière de fatre évanmir les radicaux d'une 

Equation quelconque. 3^1^ 

Fin de la Table. 



FAUTES A CORRIGER. 

jp^ge 3 à la féconde apoflille au lieu de x met- 

*^ tés •+-. 

^ lig. j , -^ i ^ lifés — \x. 

lig. II, changé, lifés changée. 
7 lig. 6 , a-vH-*^ ■+- 3 ^ . lifés 2Ji:-f- \x. 

lig. 1 2j 1 8oo , lifés 1 8o. 

lîg.26, i^^ = 128, lifés 2^^^=2280. 

lig. 30, 3326 , lifés 3220. 

13 lig 6 , 22 ^ 2; , z4 au lieu de ^3200 lifés 
y 3 20. 

14 lig. 10, 359,lifës35fp. 

Iig-i3»f >'il'^s?- 
18 lig. Il, , lues • 

lig. 12, ^ — 3, lifés ~. 

ïig. dernière -I-2, lifés -4-8. 
19a la fin de la première ligne ajoutés le. 
21 lig. 16, changés réciproquement les mots 

heures & lieues. 
a6 lig. ^ Se 6 changés réciproquement les mots 
fécond & fremier. 

lig. I o, ajoute, lifés ajduté. 
SLJ lig. 1 9 , au lieu de ^i , lifés 2i» 

lig,23, l,lifésf 
28 lig. 9, on , lifés 0». 
34 lig. 20, très , lifés autres. 
37 lig. 27, ^r, lifés ^ac. 
40 lig. 8, 2,b , lifés i. 
^6 lig. p, par r , lifés par de. 

lig. ^o , — ^^ , lifés •; — ac. 
47 1. 2i,2iî'^*— J^*^, lifés 2^5^*— y^4^-+-5^^ 



lîg. dernière 2 sl^c , lifés ia%cK 
ij8 lig. 19. J^^^ j lifés — y^*^. 
53 lig* 4 ^ — '^^ 9 ^fcs — -^^*. 
56^ lig. 20 , 10^^' , lifés — lo^tf J- 
J'y lig, antépénultième 24^6* , lifés 24^4. 
yf lig. 1 6, 2^r^ , lifé$ 2a€d^. 

67 lig.dernicre— — /, lifés— -/r/. 

68 lig. I, 200 , lifés ^500. 

lig. 20, — |j^, lifés — \y. 
lig. 22,^ y, lifés f> 

74;ig.7.^-,lifésH\ ^ 

19 "g* P* au divifcur au lieu de — -?«p^ , lues 

— »ïp'^. 

82 aux deux dernières lignes au lieu de ^ ^ 

lifés ^. 
87 lig. 1 2, — 2gf* lifés — 2q^. 

89 Kg. 24.,-—^^ — rr, lifés — dd — ce. 

po lig. 14, /^ca — ^aa x d 5 lifés 4^^— 4^^ x d. 

lig. 21 , 4^</-+-irr , lifés — ^4^^-+-2rc# 
53 lig. i#, ^;ç., lifés CK,. 

ioilîg.8,jfXi-r ^^, lifés ^ xi-r — . 



000 100 



lig. 1 3 , iïx I — — — ^ qui fe réduit à ;^:— i OQx, 



100 



lifés ^x I— h qui fe réduit à ;if*— loo^* 

100 * 

102 lig. 4, -— loooooo - , lifés 1 000000 j 
1 04 lig.6, c'eft-à-dire {fy lifés c'eft-à- dir« ^p* •